SCALENE ÜÇGENI: ÖZELLIKLER, FORMÜL VE ALANLAR, HESAPLAMA - MATEMATIK - 2025

Bir skalen üçgen , üç kenarı olan bir çokgendir ve her biri farklı ölçü veya uzunluklara sahiptir; bu nedenle Latince'de tırmanma anlamına gelen scalene adı verilir.

Üçgenler, üç kenardan, üç açıdan ve üç köşeden oluştukları için geometride en basit olan çokgenlerdir. Ölçek üçgeni söz konusu olduğunda, tüm kenarların farklı olması, üç açısının da olacağı anlamına gelir.

Ölçekli üçgenlerin özellikleri

Eşkenar üçgenler, ikizkenar ve eşkenar üçgenlerin aksine, kenarlarının veya açılarının hiçbiri aynı ölçüye sahip olmadığı için basit çokgenlerdir.

Tüm kenarları ve açıları farklı ölçülere sahip olduğundan, bu üçgenler düzensiz dışbükey çokgenler olarak kabul edilir.

İç açıların genliğine bağlı olarak, skalen üçgenler şu şekilde sınıflandırılır:

• Scalene dik üçgen : tüm taraflar farklıdır. Açılarından biri doğru (90 ^veya ), diğerleri keskin ve farklı ölçülerde.
• Geniş ölçek üçgen : tüm kenarlar farklıdır ve açılarından biri geniş (> 90 ^veya ).
• Scalene akut üçgen : tüm taraflar farklıdır. Tüm açılar akuttur (<90 ^veya ), farklı ölçülerde.

Skalen üçgenlerin bir diğer özelliği de, kenarlarının ve açılarının uyumsuzluğundan dolayı bir simetri eksenine sahip olmamalarıdır.

Bileşenler

Medyan : Bir tarafın orta noktasından başlayıp karşı tepe noktasına ulaşan bir çizgidir. Üç medyan, barycenter veya centroid adı verilen bir noktada buluşur.

Açıortay : Her açıyı eşit ölçüdeki iki açıya bölen bir ışındır . Bir üçgenin açıortayları, incenter denilen bir noktada buluşur.

Açıortay : Ortasında orijini olan, üçgenin kenarına dik bir parçadır . Bir üçgende üç açıortay vardır ve bunlar sünnet merkezi denilen bir noktada buluşurlar.

Yükseklik : Tepeden zıt olan tarafa giden çizgidir ve ayrıca bu çizgi o tarafa diktir. Tüm üçgenlerin orthocenter adı verilen bir noktada çakışan üç yüksekliği vardır.

Özellikleri

Büyük matematikçiler tarafından önerilen teoremlerden kaynaklanan, onları temsil eden birkaç özelliğe sahip oldukları için skalen üçgenleri tanımlanır veya tanımlanır. Onlar:

İç açılar

İç açıların toplamı her zaman 180 ^{° 'ye} eşittir .

Tarafların toplamı

İki tarafın ölçülerinin toplamı her zaman üçüncü tarafın ölçüsü olan a + b> c'den daha büyük olmalıdır.

Uyumsuz taraflar

Ölçekli üçgenlerin tüm kenarları farklı ölçülere veya uzunluklara sahiptir; yani, uyumsuzlar.

Uyumsuz açılar

Ölçek üçgenin tüm kenarları farklı olduğu için açıları da farklı olacaktır. Bununla birlikte, iç açıların toplamı her zaman 180º'ye eşit olacaktır ve bazı durumlarda, açılarından biri geniş veya doğru olabilirken, diğerlerinde tüm açıları dar olacaktır.

Yükseklik, medyan, açıortay ve açıortay çakışmaz

Herhangi bir üçgen gibi, skalende de onu oluşturan çeşitli çizgi segmentleri vardır, örneğin: yükseklik, medyan, bisektör ve bisektör.

Kenarlarının özelliğinden dolayı, bu üçgende bu çizgilerden hiçbiri birde çakışmayacaktır.

Orthocenter, bararycenter, incenter ve sünnet merkezi çakışmaz

Yükseklik, medyan, açıortay ve açıortay farklı çizgi segmentleriyle temsil edildiğinden, bir skalen üçgende buluşma noktaları - ortomerkez, incenter ve sünnet merkezi - farklı noktalarda bulunacaktır (çakışmazlar).

Üçgenin akut, sağ veya skalen olmasına bağlı olarak orto merkezin farklı konumları vardır:

için. Üçgen dar ise orto merkez üçgenin içinde olacaktır.

b. Üçgen doğruysa, orto merkez sağ tarafın tepe noktasına denk gelecektir.

c. Üçgen genişse, orto merkez üçgenin dışında olacaktır.

Bağıl yükseklikler

Yükseklikler yanlara göre değişir.

Ölçek üçgeni durumunda, bu yüksekliklerin farklı ölçüleri olacaktır. Her üçgenin üç göreceli yüksekliği vardır ve bunları hesaplamak için Heron formülü kullanılır.

Çevre nasıl hesaplanır?

Bir çokgenin çevresi, kenarlar eklenerek hesaplanır.

Bu durumda, skalen üçgenin tüm kenarları farklı ölçülerde olduğundan, çevresi şöyle olacaktır:

P = a tarafı + b + tarafı c.

Alan nasıl hesaplanır?

Üçgenlerin alanı her zaman aynı formülle hesaplanır, taban ile yükseklik çarpılır ve ikiye bölünür:

Alan = (taban _* h) ÷ 2

Bazı durumlarda, skalen üçgenin yüksekliği bilinmemektedir, ancak matematikçi Herón tarafından, üçgenin üç kenarının ölçüsünü bilerek alanı hesaplamak için önerilen bir formül vardır.

Nerede:

• a, b ve c, üçgenin kenarlarını temsil eder.
• sp, üçgenin yarı çevresine, yani çevrenin yarısına karşılık gelir:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Üçgenin sadece iki kenarının ölçüsüne ve aralarında oluşan açıya sahip olmamız durumunda, alan trigonometrik oranlar uygulanarak hesaplanabilir. Yani yapmanız gereken:

Alan = (yan _* h) ÷ 2

Yükseklik (h), bir tarafın ve zıt açının sinüsünün çarpımıdır. Örneğin, her bir taraf için alan şöyle olacaktır:

• Alan = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Alan = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Alan = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Yükseklik nasıl hesaplanır?

Skalen üçgenin tüm kenarları farklı olduğu için Pisagor teoremi ile yüksekliği hesaplamak mümkün değildir.

Bir üçgenin üç kenarının ölçümlerine dayanan Heron formülünden alan hesaplanabilir.

Yükseklik, alanın genel formülünden silinebilir:

Taraf, a, b veya c kenarının ölçüsü ile değiştirilir.

Açılardan birinin değeri bilindiğinde yüksekliği hesaplamanın başka bir yolu, yüksekliğin üçgenin bir ayağını temsil edeceği trigonometrik oranları uygulamaktır.

Örneğin, yüksekliğin karşısındaki açı bilindiğinde, sinüs tarafından belirlenecektir:

Taraflar nasıl hesaplanır?

İki tarafın ölçüsüne ve bunların karşısındaki açıya sahip olduğunuzda, üçüncü tarafı kosinüs teoremini uygulayarak belirlemek mümkündür.

Örneğin, bir AB üçgeninde, AC segmentine göre yükseklik çizilir. Bu şekilde üçgen iki dik üçgene bölünür.

C tarafını (AB segmenti) hesaplamak için, her üçgene Pisagor teoremini uygulayın:

• Mavi üçgen için elimizde:

c ² = h ² + m ²

M = b - n olduğundan, yerine koyuyoruz:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Pembe üçgen için yapmanız gerekenler:

h ² = bir ² - n ²

Önceki denklemde ikame edilir:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

N = a _* cos C olduğunu bilerek , önceki denklemde ikame edilir ve c tarafının değeri elde edilir:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Kosinüs Yasasına göre taraflar şu şekilde hesaplanabilir:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Üçgenin kenarlarının ölçülerinin bilinmediği, bunun yerine yüksekliklerinin ve köşelerde oluşan açıların bilindiği durumlar vardır. Bu durumlarda alanı belirlemek için trigonometrik oranların uygulanması gerekir.

Köşelerinden birinin açısını bilerek bacaklar tanımlanır ve karşılık gelen trigonometrik oran kullanılır:

Örneğin, AB ayağı C açısının tersi, ancak A açısına bitişik olacaktır. Yüksekliğe karşılık gelen kenara veya ayağa bağlı olarak, diğer taraf bunun değerini elde etmek için temizlenir.

Egzersizler

İlk egzersiz

ABC skalen üçgeninin alanını ve yüksekliğini hesaplayın, kenarlarının:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Çözüm

Veri olarak, skalen üçgenin üç kenarının ölçüleri verilmiştir.

Yükseklik değeri mevcut olmadığı için Heron formülü uygulanarak alan belirlenebilir.

Önce yarı çevre ölçer hesaplanır:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Şimdi değerler Heron formülünde ikame edilir:

Alanı bilerek, b tarafına göre yükseklik hesaplanabilir. Genel formülden, onu temizleyerek, elimizde:

Alan = (yan _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* saat) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92.94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

İkinci egzersiz

Ölçüleri olan ABC üçgeni göz önüne alındığında:

• AB Segmenti = 25 m.
• BC Segmenti = 15 m.

B tepe noktasında 50º'lik bir açı oluşur. Bu üçgenin c kenarına, çevresine ve alanına göre yüksekliği hesaplayın.

Çözüm

Bu durumda iki tarafın ölçümlerine sahibiz. Yüksekliği belirlemek için üçüncü tarafın ölçümünü hesaplamak gerekir.

Verilen taraflara zıt açı verildiğinden, AC (b) tarafının ölçüsünü belirlemek için kosinüs yasasını uygulamak mümkündür:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Nerede:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Veriler değiştirilir:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* çünkü 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482.025)

b ² = 367.985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Üç kenarın değerine zaten sahip olduğumuz için, bu üçgenin çevresi hesaplanır:

P = a tarafı + b + c tarafı

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Artık Heron formülünü uygulayarak alanı belirlemek mümkündür, ancak önce yarı çevre ölçüsü hesaplanmalıdır:

sp = P ÷ 2

sp = 59.18 m ÷ 2

sp = 29.59 m.

Kenarların ve yarı yarıçapın ölçüleri Heron'un formülünde ikame edilir:

Son olarak alanı bilerek, c tarafına göre yükseklik hesaplanabilir. Genel formülden temizleyerek yapmanız gerekenler:

Alan = (yan _* h) ÷ 2

143.63 m ² = (25 m _* saat) ÷ 2

h = (2 _* 143.63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Üçüncü egzersiz

Ölçek üçgeninde ABC b kenarı 40 cm, c kenarı 22 cm ve apeks A, bir açı 90 oluşur ^veya . Bu üçgenin alanını hesaplayın.

Çözüm

Bu durumda, ABC skalen üçgeninin iki tarafının ölçüleri ve A tepe noktasında oluşan açı verilir.

Alanı belirlemek için a tarafının ölçüsünü hesaplamak gerekli değildir, çünkü trigonometrik oranlar aracılığıyla açı onu bulmak için kullanılır.

Yüksekliğin karşısındaki açı bilindiğinden, bir tarafın çarpımı ve açının sinüsü ile belirlenecektir.

Elimizdeki alan formülünde ikame etmek:

• Alan = (yan _* h) ÷ 2
• h = c _* günah A

Alan = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Alan = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Alan = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Alan = 880 cm ² ÷ 2

Alan = 440 cm ² .

Referanslar

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknik Çizim: etkinlik defteri.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometriler. CR teknolojisi ,.
3. Melek, AR (2007). Temel Cebir. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
5. Barbosa, JL (2006). Düzlem Öklid Geometrisi. Rio de Janeiro ,.
6. Coxeter, H. (1971). Geometrinin Temelleri. Meksika: Limusa-Wiley.
7. Daniel C.Alexander, GM (2014). Üniversite Öğrencileri için Temel Geometri. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Geometrik Grup Teorisinde Konular. Chicago Press Üniversitesi.