İKIZKENAR ÜÇGEN: ÖZELLIKLER, FORMÜL VE ALAN, HESAPLAMA - MATEMATIK - 2024

Bir ikizkenar üçgen ikisi aynı büyüklük ve üçüncü taraf bir farklı ölçü sahip üç tarafı ile oluşan bir poligondur. Bu son tarafa üs denir. Bu özelliğinden dolayı, Yunanca'da "eşit bacak" anlamına gelen bu isim verilmiştir.

Üçgenler, üç kenardan, üç açıdan ve üç köşeden oluştukları için geometride en basit olan çokgenlerdir. Diğer çokgenlere göre en az kenar ve açıya sahip olanlardır, ancak kullanımları çok geniştir.

İkizkenar üçgenlerin özellikleri

İkizkenar üçgen, kenarlarının ölçüsü kullanılarak bir parametre olarak sınıflandırılmıştır, çünkü iki kenarı uyumludur (aynı uzunluktadırlar).

İç açıların genliğine bağlı olarak ikizkenar üçgenler şu şekilde sınıflandırılır:

• İkizkenar dik üçgen : iki kenarı eşittir. Bir köşe düz (90 ^{ya da} ) ve diğerleri (45 aynı ^{ya da} her biri)
• İkizkenar geniş üçgen : iki kenarı eşittir. Açılardan biri geniş (> 90 ^veya ).
• İkizkenar akut üçgen : iki kenarı eşittir. Her ikisinin de aynı ölçüye sahip olduğu tüm açılar dar (<90 ^veya ).

Bileşenler

• Medyan : Bir tarafın orta noktasından başlayıp karşı tepe noktasına ulaşan bir çizgidir. Üç medyan, barycenter veya centroid adı verilen bir noktada buluşur.
• Açıortay : her tepe noktasının açısını eşit ölçüdeki iki açıya bölen bir ışındır. Bu yüzden simetri ekseni olarak bilinir ve bu tür üçgenlerde sadece bir tane bulunur.
• Açıortay : Ortasında orijini olan, üçgenin kenarına dik bir parçadır . Bir üçgende üç ortam vardır ve bunlar sünnet merkezi denen noktada buluşurlar.
• Yükseklik : Tepeden zıt olan tarafa giden çizgidir ve ayrıca bu çizgi o tarafa diktir. Tüm üçgenlerin orthocenter adı verilen bir noktada çakışan üç yüksekliği vardır.

Özellikleri

İkizkenar üçgenler, büyük matematikçiler tarafından önerilen teoremlerden kaynaklanan, kendilerini temsil eden birkaç özelliğe sahip oldukları için tanımlanır veya tanımlanır:

İç açılar

İç açıların toplamı her zaman 180 ^{° 'ye} eşittir .

Tarafların toplamı

İki tarafın ölçülerinin toplamı her zaman üçüncü tarafın ölçüsü olan a + b> c'den daha büyük olmalıdır.

Uyumlu taraflar

İkizkenar üçgenlerin aynı ölçü veya uzunlukta iki kenarı vardır; yani uyumludurlar ve üçüncü taraf bunlardan farklıdır.

Eş açılar

İkizkenar üçgenler, aynı ölçüye (uyumlu) sahip iki açıya sahip oldukları için, ikizkenar üçgenler olarak da bilinir. Bunlar, üçgenin tabanında, aynı uzunluktaki kenarların karşısında bulunur.

Bundan dolayı, şunu belirten teorem oluşturuldu:

"Bir üçgenin iki uyumlu kenarı varsa, bu kenarların karşısındaki açılar da uyumlu olacaktır." Bu nedenle, bir üçgen ikizkenar ise, tabanlarının açıları uyumludur.

Misal:

Aşağıdaki şekil bir ABC üçgenini göstermektedir. Açıortayını B açısının tepe noktasından tabana doğru çekerek, üçgen iki eşit üçgene bölünür BDA ve BDC:

Bu şekilde, tepe B'nin açısı da iki eşit açıya bölünmüştür. Açıortay artık bu iki yeni üçgen arasındaki ortak taraftır (BD), AB ve BC tarafları ise uyumlu taraflardır. Böylece yan, açı, yan (LAL) uyuşma durumumuz var.

Bu, A ve C köşelerinin açılarının aynı ölçüye sahip olduğunu gösterir ve ayrıca BDA ve BDC üçgenleri uyumlu olduğu için AD ve DC kenarlarının da uyumlu olduğu gösterilebilir.

Yükseklik, medyan, açıortay ve açıortay çakışır

Tabanın karşısındaki tepe noktasından ikizkenar üçgenin tabanının orta noktasına kadar çizilen çizgi, aynı zamanda tabanın zıt açısına göre yükseklik, medyan ve açıortay ve açıortaydır.

Tüm bu bölümler, onları temsil eden birinde çakışıyor.

Misal:

Aşağıdaki şekil, tabanı BM ve CM segmentlerine ayıran orta noktası M olan ABC üçgenini göstermektedir.

M noktasından karşı tepe noktasına bir parça çizerek, tanım gereği tepe A ve BC tarafına göre medyan AM elde edilir.

AM segmenti ABC üçgenini AMB ve AMC olmak üzere iki eşit üçgene böldüğünden, bu, eşleşme tarafı, açı, kenar durumunun olacağı ve dolayısıyla AM'nin BÂC'nin açıortayörü olacağı anlamına gelir.

Bu nedenle, açıortay her zaman medyana eşit olacaktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Segment AM, AMB ve AMC üçgenleri için aynı ölçüye sahip açıları oluşturur; yani, her birinin ölçüsü şöyle olacak şekilde tamamlayıcıdırlar:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^veya

2 _* Ort. (AMC) = 180 ^veya

Med. (AMC) = 180 ^veya ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^veya

Üçgenin tabanına göre AM segmenti tarafından oluşturulan açıların doğru olduğu bilinebilir, bu da bu segmentin tabana tamamen dik olduğunu gösterir.

Bu nedenle, M'nin orta nokta olduğunu bilerek yüksekliği ve açıortayı temsil eder.

Bu nedenle, AM satırı:

• BC'nin yüksekliğinde temsil eder.
• Orta boydur.
• BC'nin açıortayında bulunur.
• Köşe açısının açıortasıdır Â

Bağıl yükseklikler

Eşit kenarlara göre yükseklikler de aynı ölçüme sahiptir.

İkizkenar üçgenin iki eşit kenarı olduğundan, bunların iki yükseklikleri de eşit olacaktır.

Ortocenter, barycenter, incenter ve tesadüfi çevreleme merkezi

Tabana göre yükseklik, medyan, açıortay ve açıortay aynı anda aynı segment ile temsil edildiğinden, ortomerkez, barycenter incenter ve sünnet merkezi eşdoğrusal noktalar olacak, yani aynı satırda bulunacaklar:

Çevre nasıl hesaplanır?

Bir çokgenin çevresi, kenarlar eklenerek hesaplanır.

Bu durumda ikizkenar üçgenin aynı ölçüye sahip iki kenarı olduğu gibi, çevresi aşağıdaki formülle hesaplanır:

P = 2 _* (a tarafı) + (b tarafı).

Yükseklik nasıl hesaplanır?

Yükseklik tabana dik olan çizgidir, üçgeni zıt tepe noktasına uzanırken iki eşit parçaya böler.

Yükseklik karşı bacağı (a), tabanın ortası (b / 2) bitişik bacağı ve “a” tarafı hipotenüsü temsil eder.

Pisagor teoremini kullanarak, yüksekliğin değeri belirlenebilir:

bir ² + b ² = c ²

Nerede:

a ² = yükseklik (h).

b ² = b / 2.

c ² = a tarafı.

Bu değerleri Pisagor teoreminde ikame edip yüksekliği çözerek:

h ² + (b / 2) ² = bir ²

h ² + B ² /4 = bir ²

h ² = bir ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4) '.

Uyumlu kenarların oluşturduğu açı biliniyorsa, yükseklik aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Alan nasıl hesaplanır?

Üçgenlerin alanı her zaman aynı formülle hesaplanır, taban yükseklikle çarpılır ve ikiye bölünür:

Üçgenin sadece iki kenarının ölçümlerinin ve aralarında oluşan açının bilindiği durumlar vardır. Bu durumda, alanı belirlemek için trigonometrik oranların uygulanması gerekir:

Üçgenin tabanı nasıl hesaplanır?

İkizkenar üçgenin iki eşit kenarı olduğundan, tabanının değerini belirlemek için en azından yüksekliğin ölçüsünü veya açılarından birini bilmeniz gerekir.

Yüksekliği bilerek, Pisagor teoremi kullanılır:

bir ² + b ² = c ²

Nerede:

a ² = yükseklik (h).

c ² = a tarafı.

b ² = b / 2, bilinmiyor.

B ^2'yi formülden ayırıyoruz ve elimizde:

b ² = bir ² - c ²

b = √ bir ² - c ²

Bu değer tabanın yarısına karşılık geldiğinden, ikizkenar üçgenin tabanının tam ölçüsünü elde etmek için ikiyle çarpılmalıdır:

b = 2 _* (√ bir ² - c ² )

Yalnızca eşit kenarlarının değerinin ve aralarındaki açının bilinmesi durumunda, trigonometri uygulanır ve ikizkenar üçgeni iki dik üçgene bölen tabana tepe noktasından bir çizgi çizilir.

Bu şekilde tabanın yarısı şu şekilde hesaplanır:

Sadece tabanın karşısındaki tepe noktasının yüksekliğinin ve açısının değerinin bilinmesi de mümkündür. Bu durumda, trigonometri ile baz belirlenebilir:

Egzersizler

İlk egzersiz

İki kenarının 10 cm ve üçüncü kenarının 12 cm olduğunu bilerek ikizkenar üçgen ABC'nin alanını bulun.

Çözüm

Üçgenin alanını bulmak için, eşit kenarlar arasında oluşan açının değeri bilinmediğinden, Pisagor teoremi ile ilgili alan formülünü kullanarak yüksekliği hesaplamak gerekir.

İkizkenar üçgenin aşağıdaki verilerine sahibiz:

• Eşit taraflar (a) = 10 cm.
• Taban (b) = 12 cm.

Değerler formülde ikame edilir:

İkinci egzersiz

Bir ikizkenar üçgenin iki eşit kenarının uzunluğu 42 cm'dir, bu kenarların birleşimi 130 ^veya . Üçüncü kenarın değerini, bu üçgenin alanını ve çevresini belirleyin.

Çözüm

Bu durumda kenarların ölçüleri ve aralarındaki açı bilinmektedir.

Eksik kenarın değerini, yani o üçgenin tabanını bilmek için, açıyı iki eşit parçaya bölerek oluşan her dik üçgene bir tane olmak üzere ona dik bir çizgi çizilir.

• Eşit taraflar (a) = 42 cm.
• Açı (Ɵ) = 130 ^o

Şimdi trigonometri ile bazın yarısının değeri hesaplanır, bu da hipotenüsün yarısına karşılık gelir:

Alanı hesaplamak için, trigonometri veya Pisagor teoremi ile hesaplanabilen bu üçgenin yüksekliğini bilmek gerekir, şimdi tabanın değeri zaten belirlendi.

Trigonometriye göre:

Çevre hesaplanır:

P = 2 _* (a tarafı) + (b tarafı).

P = 2 _* (42cm) + (76cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Üçüncü egzersiz

Tabanın açısının  = 55 olduğunu bilerek ikizkenar üçgenin iç açılarını hesaplayın ^veya

Çözüm

İki eksik açıyı (Ê ve Ô) bulmak için üçgenin iki özelliğini hatırlamak gerekir:

• Her üçgenin iç açılarının toplamı her zaman = 180 ^veya :

 + Ê + Ô = 180 ^veya

• Bir ikizkenar üçgende, tabanın açıları her zaman uyumludur, yani aynı ölçüye sahiptirler, bu nedenle:

 = Ô

Ê = 55 ^veya

Ê açısının değerini belirlemek için, ilk kuraldaki diğer açıların değerlerini değiştiririz ve Ê için çözeriz:

55 ^veya + 55 ^veya + Ô = 180 ^veya

110 ^veya + Ô = 180 ^veya

Ô = 180 ^O - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Referanslar

1. Álvarez, E. (2003). Geometrinin unsurları: çok sayıda alıştırma ve pusula geometrisi ile. Medellin Üniversitesi.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknik Çizim: etkinlik defteri.
3. Melek, AR (2007). Temel Cebir. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematik 2.
7. Tuma, J. (1998). Mühendislik Matematiği El Kitabı. Wolfram MathWorld.