X ^ 2 + BX + C BIÇIMINDEKI TRINOMIAL (ÖRNEKLERLE) - MATEMATIK - 2025

X ^ 2 + bx + c biçimindeki üç terimliyi çözmeyi öğrenmeden önce ve hatta üç terimli kavramını bilmeden önce, iki temel kavramı bilmek önemlidir; yani, tek terimli ve polinom kavramları. Bir tek terimli, a * x ⁿ türünde bir ifadedir , burada a rasyonel sayıdır, n doğal sayıdır ve x bir değişkendir.

Bir polinom bir formun monomials doğrusal bir kombinasyonudur _{, n} * x ^{, n} + bir _n-1 * x ^n-1 + … + bir ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , her biri, bir _i , i ile = 0,…, n, rasyonel bir sayıdır, n doğal bir sayıdır ve a_n sıfırdan farklıdır. Bu durumda polinom derecesinin n olduğu söylenir.

Farklı derecelerde yalnızca iki terimin (iki tek terimli) toplamından oluşan bir polinom, iki terimli olarak bilinir.

Trinomialler

Farklı derecelerde yalnızca üç terimin (üç tek terimli) toplamından oluşan bir polinom, üç terimli olarak bilinir. Aşağıdakiler üç terimlilerin örnekleridir:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Birkaç tür üç terimli vardır. Bunlardan mükemmel kare üç terimli, öne çıkıyor.

Mükemmel kare üç terimli

Bir tam kare üç terim, bir iki terimliyi karesinin alınmasının sonucudur. Örneğin:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4XY adresinde yerleşik ⁴ ) ² -2 (1 / 4XY adresinde yerleşik ⁴ ) z + z ² = (1 / 4XY adresinde yerleşik ⁴ z) ²

2. derece trinomiallerin özellikleri

Mükemmel kare

Genel olarak, ax ² + bx + c biçimindeki bir üç terimli , ayırıcı sıfıra eşitse tam bir karedir; yani, eğer b ² -4ac = 0 ise, çünkü bu durumda tek bir kökü olacaktır ve a (xd) ² = (√a (xd)) ² biçiminde ifade edilebilir , burada d daha önce bahsedilen köktür .

Bir polinomun kökü, polinomun sıfır olduğu bir sayıdır; başka bir deyişle, polinom ifadesinde x yerine geçtiğinde sıfırla sonuçlanan bir sayı.

Formül çözümleniyor

Ax ² + bx + c biçimindeki ikinci derece bir polinomun köklerini hesaplamak için genel bir formül, bu köklerin (–b ± √ (b ² -4ac)) / ile verildiğini belirten çözücü formüldür. 2a, burada b ² -4ac ayırt edici olarak bilinir ve genellikle ∆ ile gösterilir. Bu formülden, ax ² + bx + c'nin sahip olduğu sonucu izler :

- ∆> 0 ise iki farklı gerçek kök.

- ∆ = 0 ise tek bir gerçek kök.

- ∆ <0 ise gerçek kökü yoktur.

Aşağıda, yalnızca x ² + bx + c biçimindeki üç terimliler dikkate alınacaktır, burada açıkça c sıfırdan farklı bir sayı olmalıdır (aksi takdirde bir iki terimli olurdu). Bu tür üç terimlilerin, faktoring yaparken ve onlarla çalışırken belirli avantajları vardır.

Geometrik yorumlama

Geometrik olarak, çok terimli x ² + bx + c yukarı doğru açılır ve noktada tepe (b / 2-b olan bir parabol ² x Kartezyen düzleminin / 4 + c) ' ² + bx + c (= x + B / 2) ² -b ² /4 + c.

Bu parabol, Y eksenini (0, c) noktasında ve X eksenini (d ₁ , 0) ve (d ₂ , 0) noktalarında keser ; daha sonra d ₁ ve d ₂ , trinomialin kökleridir. Üç terimliğin tek bir d kökü olabilir, bu durumda X ekseni ile tek kesme (d, 0) olacaktır.

Üç terimliğin herhangi bir gerçek kökü olmadığı da olabilir, bu durumda X ekseniyle hiçbir noktada kesişmez.

Örneğin, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² -Y (0 ° eksene kesişen (-3,0) de tepe noktası ile parabol olduğu, 9) ve X eksenine (-3,0).

Trinomial faktoring

Polinomlarla çalışırken çok kullanışlı bir araç, bir polinomu faktörlerin bir ürünü olarak ifade etmekten oluşan çarpanlara ayırmadır. Genel olarak, x ² + bx + c şeklinde bir üç terimli verildiğinde , iki farklı kök d ₁ ve d _{2 varsa} , (xd ₁ ) (xd ₂ ) olarak çarpanlarına ayrılabilir .

Tek bir d kökü varsa, (xd) (xd) = (xd) ² olarak çarpanlarına ayrılabilir ve gerçek kökü yoksa, aynı kalır; bu durumda, bir çarpanlara ayırmayı kendisinden başka faktörlerin bir ürünü olarak kabul etmez.

Bu, bir trinomialin köklerini zaten oluşturulmuş biçimde bilerek, çarpanlarına ayırmanın kolayca ifade edilebileceği ve yukarıda belirtildiği gibi, bu köklerin her zaman çözücü kullanılarak belirlenebileceği anlamına gelir.

Bununla birlikte, bu tür üç terimlilerin önemli bir miktarı vardır, bu üç terimlilerin ilk önce köklerini bilmeden çarpanlarına ayrılması işi basitleştirir.

Kökler, çözücü formül kullanılmadan doğrudan çarpanlara ayırmadan belirlenebilir; bunlar x ² + (a + b) x + ab biçimindeki polinomlardır . Bu durumda bizde:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Buradan köklerin –a ve –b olduğu kolayca görülmektedir.

Başka bir deyişle, üç terimli bir x ² + bx + c verildiğinde , c = uv ve b = u + v olacak şekilde u ve v olmak üzere iki sayı varsa, o zaman x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Yani, üç terimli bir x ² + bx + c verildiğinde, ilk önce, çarpılarak bağımsız terimi (c) verecek ve eklenmiş (veya duruma göre çıkarılmış), x'e eşlik eden terimi verdikleri doğrulanır ( b).

Bu yöntem tüm trinomlarla değil, bu şekilde uygulanabilir; mümkün olmadığında çözünürlük kullanılır ve yukarıda belirtilenler geçerlidir.

Örnekler

örnek 1

Aşağıdaki üç terimli x ² + 3x + 2'yi çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki şekilde devam edin:

Bunları eklerken sonuç 3 olacak ve onları çarparken sonuç 2 olacak şekilde iki sayı bulmalısınız.

Bir inceleme yaptıktan sonra, aranan sayıların: 2 ve 1 olduğu sonucuna varılabilir. Dolayısıyla, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Örnek 2

Üç terimli x ² -5x + 6'yı çarpanlarına ayırmak için, toplamları -5 ve çarpımı 6 olan iki sayı ararız. Bu iki koşulu karşılayan sayılar -3 ve -2'dir. Bu nedenle, verilen üç terimliğin çarpanlara ayrılması x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2) şeklindedir.

Referanslar

1. Fuentes, A. (2016). TEMEL MATEMATİK. Kalkülüse Giriş. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: ikinci dereceden denklemler: İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF ve Paul, RS (2003). Yönetim ve ekonomi için matematik. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rof Rodríguez, M. ve Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Eşik.
5. Preciado, CT (2005). Matematik Kursu 3. Editör Progreso.
6. Rock, NM (2006). Cebir Kolay! Çok kolay. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Cebir ve Trigonometri. Pearson Education.