ORTAYA ÇIKAN VEKTÖR: HESAPLAMA, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - FIZIKSEL - 2024

Elde edilen vektör , sonucu aynı zamanda bir vektör olan vektörlerle yapılan bir işlemle elde edilen vektördür. Normalde bu işlem, etkisi eşdeğer olan bir vektörün elde edildiği iki veya daha fazla vektörün toplamıdır.

Bu şekilde ortaya çıkan hız, ivme veya kuvvet gibi vektörler elde edilir. Örneğin, birden fazla kuvvet F ₁ , F ₂ , F ₃ ,… bir cisme etki ettiğinde . tüm bu kuvvetlerin vektörel toplamı, matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilen net kuvvete (sonuçta) eşittir:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R veya F _N

Şekil 1. Karın ağırlığı çatıya dağıtılır ve eylemi, uygun yere uygulanan tek bir sonuç kuvvetiyle değiştirilebilir. Kaynak: Pixabay.

Elde edilen vektör, ister kuvvet ister başka herhangi bir vektör büyüklüğü olsun, vektör toplama kuralları uygulanarak bulunur. Vektörler, sayısal bir değerin yanı sıra yön ve anlam içerdiğinden, oluşan vektöre sahip olmak için modülleri eklemek yeterli değildir.

Bu, yalnızca ilgili vektörlerin aynı yönde olduğu durumda geçerlidir (örneklere bakın). Aksi takdirde, duruma bağlı olarak geometrik veya analitik olabilen vektör toplama yöntemlerini kullanmak gerekir.

Örnekler

Elde edilen vektörü bulmak için geometrik yöntemler, çaprazlama yöntemi ve paralelkenar yöntemidir.

Analitik yöntemlere gelince, Kartezyen bileşenlerine sahip olmamız şartıyla, herhangi bir vektör sisteminden kaynaklanan vektörün bulunabileceği bileşen yöntemi vardır.

İki vektör eklemek için geometrik yöntemler

U ve v vektörlerini varsayalım (skalerlerden ayırmak için onları kalın olarak gösteriyoruz). Şekil 2a) 'da onları uçakta konumlandırdık. Şekil 2 b) 'de, kökeni u'nun sonuyla çakışacak şekilde v vektörüne çevrilmiştir . Elde edilen vektör, ilk ( u ) 'nun başlangıcından sonun ( v ) ucuna gider :

Şekil 2. Vektörlerin grafik toplamından elde edilen vektör. Kaynak: kendi kendine.

Bu durumda ortaya çıkan şekil bir üçgendir (üçgen, 3 kenarlı bir çokgendir). Aynı yönde iki vektörümüz varsa, prosedür aynıdır: vektörlerden birini diğerinin arkasına yerleştirin ve ilkinin başlangıcından veya kuyruğundan sonuncunun ucuna veya sonuna giden birini çizin.

Vektörlerin toplamı değişmeli olduğundan, bu prosedürün gerçekleştirilme sırasının önemli olmadığını unutmayın.

Ayrıca, bu durumda ortaya çıkan vektörün modülünün (uzunluk veya boyut), elde edilen vektörün modülünün toplamından daha küçük olduğu önceki durumdan farklı olarak, eklenen vektörlerin modüllerinin toplamı olduğuna dikkat edin. katılımcı modülleri.

Paralelkenar yöntemi

Bu yöntem, örneğin bir xy koordinat sisteminin orijini ile başlangıç ​​noktaları çakışan iki vektör eklemeniz gerektiğinde çok uygundur. U ve v vektörlerimiz için durumun böyle olduğunu varsayalım (şekil 3a):

Şekil 3. Paralelkenar yöntemini kullanan iki vektörün turkuaz mavisi ile elde edilen vektör ile toplamı. Kaynak: kendi kendine.

Şekil 3b) 'de u ve v'ye paralel noktalı çizgiler yardımıyla bir paralelkenar oluşturulmuştur . Elde edilen vektörün orijini O'dadır ve sonunda noktalı çizgilerin kesiştiği noktada bulunur. Bu prosedür, önceki bölümde anlatılana tamamen eşdeğerdir.

Egzersizler

-1. Egzersiz

Aşağıdaki vektörler verildiğinde, travers yöntemini kullanarak sonuç vektörü bulun.

Şekil 4. Poligonal yöntemi kullanarak sonucunu bulmak için vektörler. Alıştırma 1. Kaynak: kendi detaylandırması.

Çözüm

Travers yöntemi, görülen yöntemlerin ilkidir. Vektörlerin toplamının değişmeli olduğunu unutmayın (toplamların sırası toplamı değiştirmez), böylece vektörlerden herhangi biriyle başlayabilirsiniz, örneğin u (şekil 5a) veya r (şekil 5b):

Şekil 5. Poligonal yöntemi kullanan vektörlerin toplamı. Kaynak: kendi kendine.

Elde edilen şekil bir çokgendir ve elde edilen vektör (mavi) R olarak adlandırılır . Başka bir vektörle başlarsanız, oluşan şekil örnekte gösterildiği gibi farklı olabilir, ancak elde edilen vektör aynıdır.

Egzersiz 2

Aşağıdaki şekilde, u ve v vektörlerinin modüllerinin sırasıyla u = 3 keyfi birim ve v = 1.8 keyfi birim olduğunu biliyoruz . Şekilde görüldüğü gibi u'nun pozitif x ekseni ile yaptığı açı 45º, v ise y ekseni ile 60º yapar. Ortaya çıkan vektörü, büyüklüğü ve yönü bulun.

Çözüm

Önceki bölümde, paralelkenar yöntemi uygulanarak elde edilen vektör bulundu (şekilde turkuaz).

Elde edilen vektörü analitik olarak bulmanın kolay bir yolu, toplama vektörlerini Kartezyen bileşenleri cinsinden ifade etmektir; bu, bu örnekteki vektörler gibi, modül ve açı bilindiğinde kolay bir iştir:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2.12; u _y = u. günah 45º = 3x günah 45º = 2.12

v _x = v. günah 60º = 1.8 x günah 60º = 1.56; v _y = -v. çünkü 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektörleri u ve v , iki bileşene her biri, düzlemine ait olan bir vektör. U vektörü birinci çeyrekte ve bileşenleri pozitif, vektör v ise dördüncü çeyrekte; x bileşeni pozitiftir, ancak dikey eksendeki izdüşümü negatif y eksenine düşer.

Elde edilen vektörün Kartezyen bileşenlerinin hesaplanması

Elde edilen vektör, Kartezyen bileşenlerini elde etmek için ilgili x ve y bileşenlerini cebirsel olarak ekleyerek bulunur:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Kartezyen bileşenleri belirlendikten sonra, vektör tam olarak bilinir. Elde edilen vektör, parantez içindeki gösterimle ifade edilebilir:

R = <3.68; 1.22> keyfi birimler

Parantez gösterimi, bir vektörü düzlemdeki (veya uzaydaki) bir noktadan ayırmak için kullanılır. Elde edilen vektörü analitik olarak ifade etmenin başka bir yolu da düzlemde i ve j birim vektörlerini kullanmaktır ( uzayda i , j ve k ):

R = 3.68 i + 1.22 j keyfi birimler

Elde edilen vektörün her iki bileşeni de pozitif olduğu için, vektör R , daha önce grafiksel olarak zaten görülmüş olan birinci çeyreğe aittir.

Elde edilen vektörün büyüklüğü ve yönü

Kartezyen bileşenleri bilerek, R büyüklüğü elde edilen vektör, çünkü Pisagor teoreminin üzerinden hesaplanan R birlikte bileşenleri ile R, _x ve R _ve bir dik üçgen meydana getirir:

Büyüklük veya modül: R = (3.68 ² + 1.22 ² ) ^½ = 3.88

Pozitif x eksenini referans alarak q yönü: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1.22 /3.68) = 18.3 º

Referanslar

1. Vektörler ve Kurallar Ekleme. Newt.phys.unsw.edu.au adresinden alındı
2. Figueroa, D. Serisi: Bilimler ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Kinematik.31-68.
3. Fiziksel. Modül 8: Vektörler. Kurtarıldı: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mühendisler için Mekanik. Statik 6. Baskı. Continental Yayıncılık Şirketi. 15-53.
5. Vektör Toplama Hesaplama. Alınan: www.1728.org