EŞZAMANLI VEKTÖRLER: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Eşzamanlı vektörler eksenleri, iç ve dış başka bir açıdan her bir çifti arasında oluşan bir noktada, denk vektörler gruplarıdır. A, B ve C'nin birbiriyle eşzamanlı vektörler olduğu aşağıdaki şekilde net bir örnek görülmektedir.

D ve E diğerlerinin aksine değildir. Eşzamanlı vektörler AB, AC ve CB arasında oluşan açılar vardır. Vektörler arasındaki ilişki açıları olarak adlandırılırlar.

karakteristikleri

- Kökenleri ile örtüşen ortak bir noktaları vardır: Eşzamanlı vektörlerin tüm büyüklükleri ortak bir noktadan kendi uçlarına doğru başlar.

- Menşe, vektörün hareket noktası olarak kabul edilir: eşzamanlı vektörlerin her birinden doğrudan etkilenecek bir eylem noktası belirlenmelidir.

Düzlemde ve uzayda-onun alanı olan R ' ² ve R ³ , sırasıyla: eşzamanlı vektörler, tüm geometrik alanı kapsayacak şekilde serbesttir.

-Aynı vektör grubunda farklı gösterimlere izin verir. Çalışma dallarına göre, vektörlerle yapılan işlemlerde farklı gösterimler mevcuttur.

Vektör türleri

Vektörlerin dalı, bazıları arasında birden fazla alt bölüme sahiptir: paralel, dikey, eş düzlemli, karşılık gelen, zıt ve üniter. Eşzamanlı vektörler burada listelenmiştir ve yukarıda belirtilenler gibi farklı bilimlerde birçok uygulamaları vardır.

Vektörlerin çalışmasında çok yaygındır çünkü onlarla yapılan işlemlerde faydalı bir genellemeyi temsil ederler. Hem düzlemde hem de uzayda, eşzamanlı vektörler genellikle farklı öğeleri temsil etmek ve belirli bir sistem üzerindeki etkilerini incelemek için kullanılır.

Vektör notasyonu

Bir vektör öğesini temsil etmenin birkaç yolu vardır. Ana ve en iyi bilinenler:

Kartezyen

Bu aynı matematiksel yaklaşımla önerilen, her bir eksenin (x, y, z) büyüklüklerine karşılık gelen üçlü vektörleri gösterir.

A: (1, 1, -1) Uzay A: (1, 1) Düzlem

Polar

İntegral analizinde derinlik bileşeni atanmış olmasına rağmen, yalnızca düzlemdeki vektörleri belirtmeye hizmet ederler. Doğrusal büyüklük r ve kutup eksenine Ɵ göre bir açıdan oluşur.

A: (3, 45 ⁰ ) Düzlem A: (2, 45 ⁰ , 3) Uzay

Analitik

Ayetleri kullanarak vektörün büyüklüklerini tanımlarlar. Ayetler (i + j + k), X, Y ve eksenlerine karşılık gelen birim vektörleri temsil eder.

A: 3i + 2j - 3k

Küresel

Kutupsal gösterime benzerler, ancak δ ile sembolize edilen xy düzlemini süpüren ikinci bir açının eklenmesiyle .

A: (4, 60 ^veya , π / 4)

Eşzamanlı vektör işlemleri

Eşzamanlı vektörler çoğunlukla vektörler arasındaki işlemleri tanımlamak için kullanılır, çünkü eşzamanlı olarak sunulduğunda vektörlerin elemanlarını karşılaştırmak daha kolaydır.

Toplam (A + B)

Eşzamanlı vektörlerin toplamı, sonuçta ortaya çıkan V _r vektörünü bulmayı amaçlar . Hangi çalışma dalına göre, nihai bir eyleme karşılık gelir

Örneğin: 3 dizi {A, B, C} bir kutuya bağlanır, dizenin her bir ucu bir özne tarafından tutulur. 3 denekten her biri, ipi diğer 2 den farklı bir yönde çekmelidir.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Kutu yalnızca bir yönde hareket edebilecektir, bu nedenle V _r , kutunun hareketinin yönünü ve yönünü gösterecektir.

Fark (A - B)

Vektörler arasındaki farkla ilgili birçok kriter vardır, birçok yazar bunu dışlamayı seçer ve sadece vektörler arasındaki toplamın öngörüldüğünü belirtir, burada fark zıt vektörün toplamı ile ilgilidir. Gerçek şu ki, vektörler cebirsel olarak çıkarılabilir.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Skaler çarpım (A.B)

Nokta çarpımı olarak da bilinir, çalışma dalına bağlı olarak çeşitli büyüklüklerle ilişkilendirilebilen skaler bir değer üretir.

Geometri için, paralelkenar yöntemiyle eşzamanlı vektör çiftinin oluşturduğu paralelkenarın alanını belirtin. Mekanik fizik için, bir cismi Δr mesafesinde hareket ettirirken bir F kuvvetinin yaptığı işi tanımlar .

ѡ = F . Δr

Adından da anlaşılacağı gibi, skaler bir değer üretir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

A ve B vektörleri olsun

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analitik form:

(A. B) = -A-.- B-.Cos θ

Θ, her iki vektör arasındaki iç açıdır

Cebirsel form:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Çapraz çarpım (A x B)

İki vektör arasındaki vektör çarpımı veya iç çarpım, B ve C'ye dik olma kalitesine sahip üçüncü bir C vektörünü tanımlar . Fizikte tork vektörü τ, dönme dinamiğinin temel unsurudur.

-Analitik form:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

Cebirsel form:

(A x B) = = (eksen By - ay. Bx) - (eksen Bz - az. Bx) j + (eksen By - ay. Bx) k

Bağıl hareket: r _{A / B}

Göreliliğin temeli göreceli harekettir ve eşzamanlı vektörler göreli hareketin temelidir. Göreli konumlar, hızlar ve ivmeler aşağıdaki fikir sırasını uygulayarak çıkarılabilir.

r _{A / B} = r _A - r _B ; A'nın B'ye göre göreceli konumu

v _{A / B} = v _A - v _B ; B'ye göre A'nın bağıl hızı

a _{A / B} = a _A - bir _B ; A'nın B'ye göre bağıl ivmesi

Örnekler: çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

A, B ve C eşzamanlı vektörler olsun.

Bir = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

Elde edilen vektör V _r = 2A - 3B + C'yi tanımlayın

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Dot ürünü tanımlayın (A.C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(A. C) = 3

-A ve C arasındaki açıyı hesaplayın

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Burada θ vektörler arasındaki en kısa açıdır

θ = 88,63 ⁰

-A ve B'ye dik bir vektör bulun

Bunun için vektör çarpımını (-1, 3, 5) ve (3, 5, -2) arasında tanımlamak gerekir. Daha önce açıklandığı gibi, ilk satırın üçlü birim vektörlerden (i, j, k) oluştuğu bir 3 x 3 matris oluşturulur. Daha sonra 2. ve 3. sıralar operasyonel sıraya göre çalışacak vektörlerden oluşur.

(Bir x B) = = ben - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2-15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 ben + 13 j - 14 k

Egzersiz 2

V olsun _bir V _{b olması} , sırasıyla A ve B hız vektörleri. A'dan görülen B'nin hızını hesaplayın.

V _bir = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Bu durumda, B'nin A V _{B / A'ya} göre bağıl hızı talep edilir.

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Bu, A'dan görülen B'nin hız vektörüdür. Burada B'nin hızının yeni bir vektörü, A konumunda bulunan bir gözlemciden referans alınarak ve A'nın hızıyla hareket eden tanımlanır.

Önerilen egzersizler

1-Eşzamanlı olan 3 A, B ve C vektörü oluşturun ve aralarındaki 3 işlemi pratik bir alıştırma ile ilişkilendirin.

2-A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) ve C: (-2, -1, 10) vektörlerini alalım. Aşağıdakilere dik vektörleri bulun: A ve B, C ve B, A + B + C toplamı.

4-Koordinat eksenlerini hesaba katmadan birbirine dik olan 3 vektörü belirleyin.

5-5 kg ​​kütleli bir bloğu 20 m derinliğindeki bir kuyunun dibinden kaldıran bir kuvvetin yaptığı işi tanımlayınız.

6-Vektörlerin çıkarılmasının karşıt vektörün toplamına eşit olduğunu cebirsel olarak gösterin. Önerilerinizi doğrulayın.

7-Bu yazıda geliştirilen tüm gösterimlerde bir vektör belirtiniz. (Kartezyen, kutupsal, analitik ve küresel).

8-Masanın üzerinde duran bir mıknatısa uygulanan manyetik kuvvetler aşağıdaki vektörlerle verilmiştir; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Tüm manyetik kuvvetler aynı anda hareket ederse, mıknatısın hangi yönde hareket edeceğini belirleyin.

Referanslar

1. Öklid Geometrisi ve Dönüşümler. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 Ocak 2004
2. Uygulamalı Matematik Problemleri Nasıl Çözülür L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 Nisan 2013
3. Geometrinin Temel Kavramları. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 Ekim. 2012
4. Vektörler. Rocío Navarro Lacoba, 7 Haziran. 2014
5. Lineer Cebir. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006