- Uygulamalar
- Gösterim ve 3B Vektör Gösterimleri
- Bir Vektörün Açıları ve Direktör Kosinüsü
- Çözülmüş egzersizler
- -1. Egzersiz
- Çözüm
- Egzersiz 2
- Çözüm
- Adım 1: Tüm Noktaların Koordinatlarını Bulun
- Adım 2: Sonun ve başlangıcın koordinatlarını çıkararak her yöndeki vektörleri bulun
- Adım 3: Modülleri ve birim vektörleri hesaplayın
- Adım 4: Tüm gerilmeleri vektör olarak ifade edin
- Adım 5: Statik denge koşulunu uygulayın ve denklem sistemini çözün
- Referanslar
Uzaydaki bir vektör, x, y ve z ile verilen koordinat sistemiyle temsil edilen şeydir. Çoğu zaman xy düzlemi yatay yüzey düzlemidir ve z ekseni yüksekliği (veya derinliği) temsil eder.
Şekil 1'de gösterilen Kartezyen koordinat eksenleri, x - y eksenlerinin düzlemi 4 çeyreğe nasıl böldüğüne benzer şekilde, alanı oktan denilen 8 bölgeye böler. O zaman 1. oktant, 2. oktant vb. Olur.
Şekil 1. Uzayda bir vektör. Kaynak: kendi kendine.
Şekil 1, uzayda bir v vektörünün temsilini içerir . Eğik bir görünüm çizerek elde edilen ekran düzlemi üzerinde üç boyutlu yanılsama yaratmak için biraz perspektif gerekir.
Bir 3B vektörün grafiğini çizmek için, xy yüzeyindeki v'nin izdüşümü veya "gölgesi" nin koordinatlarını ızgara üzerinde belirleyen noktalı çizgiler kullanılmalıdır . Bu izdüşüm O noktasında başlar ve yeşil noktada biter.
Oraya vardığınızda, P'ye ulaşıncaya kadar z'nin değerine göre dikey boyunca gerekli yüksekliğe (veya derinliğe) devam etmeniz gerekir. Vektör O'dan başlayıp P'de biten, örnekte 1. oktantta biten çizilir.
Uygulamalar
Uzayda vektörler mekanikte ve diğer fizik ve mühendislik dallarında yaygın olarak kullanılmaktadır, çünkü bizi çevreleyen yapılar üç boyutlu geometri gerektirir.
Uzaydaki konum vektörleri, nesneleri OR orijini olarak adlandırılan bir referans noktasına göre konumlandırmak için kullanılır, bu nedenle, bunlar aynı zamanda navigasyon için gerekli araçlardır, ancak hepsi bu kadar değil.
Cıvatalar, braketler, kablolar, destekler ve daha fazlası gibi yapılara etki eden kuvvetler, doğada vektördür ve uzayda yönlendirilir. Etkisini bilmek için adresini (ve ayrıca uygulama noktasını) bilmek gerekir.
Ve sıklıkla bir kuvvetin yönü, uzayda kendi hareket çizgisine ait iki noktanın bilinmesiyle bilinir. Bu şekilde kuvvet:
F = F u
F, kuvvetin büyüklüğü veya büyüklüğü ve u , F eylem hattı boyunca yönlendirilen birim vektördür (modül 1) .
Gösterim ve 3B Vektör Gösterimleri
Bazı örnekleri çözmeye geçmeden önce, 3B vektör gösterimini kısaca gözden geçireceğiz.
Şekil 1'deki örnekte, başlangıç noktası başlangıç noktası O ile çakışan ve ucu P noktası olan v vektörü, pozitif xyz koordinatlarına sahipken, y koordinatı negatiftir. Bu koordinatlar: x 1 , y 1 , z 1 , bunlar tam olarak P'nin koordinatlarıdır.
Öyleyse, orijine bağlı, yani başlangıç noktası O ile çakışan bir vektörümüz varsa, en uç noktanın veya P'nin koordinatlarını belirtmek çok kolaydır. Bir nokta ile bir vektörü ayırt etmek için kullanacağız son kalın harfler ve parantezler, şöyle:
v = <x 1 , y 1 , z 1 >
P noktası parantez ile gösterilirken:
P = (x 1 , y 1 , z 1 )
Başka bir gösterim, sırasıyla x, y ve z eksenlerinde uzayın üç yönünü tanımlayan i , j ve k birim vektörlerini kullanır .
Bu vektörler birbirine diktir ve ortonormal bir temel oluşturur (bkz. Şekil 2). Bu, bir 3B vektörün şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:
v = v x i + v y j + v z k
Bir Vektörün Açıları ve Direktör Kosinüsü
Şekil 2 ayrıca v vektörünün sırasıyla x, y ve z eksenleri ile yaptığı γ 1 , γ 2 ve γ 3 yönlendirici açılarını gösterir . Bu açıları ve vektörün büyüklüğünü bilerek, tamamen belirlenir. Ek olarak, yönetmen açılarının kosinüsü aşağıdaki ilişkiyle karşılaşır:
(marul γ 1 ) 2 + (marul γ 2 ) 2 + (marul γ 3 ) 2 = 1
Şekil 2. i, j ve k birim vektörleri uzayın 3 tercihli yönünü belirler. Kaynak: kendi kendine.
Çözülmüş egzersizler
-1. Egzersiz
Şekil 2'de 50 modülünün v vektörünün koordinat eksenleriyle oluşturduğu γ 1 , γ 2 ve γ 3 açıları sırasıyla: 75.0º, 60.0º ve 34.3º'dir. Bu vektörün Kartezyen bileşenlerini bulun ve onu i , j ve k birim vektörleri cinsinden temsil edin .
Çözüm
V vektörünün x eksenine izdüşümü v x = 50'dir. çünkü 75º = 12,941. Aynı şekilde, v'nin y eksenindeki izdüşümü v y = 50 cos 60 º = 25 ve son olarak z eksenindeki izdüşümü v z = 50'dir. Cos 34.3 º = 41.3. Şimdi v şu şekilde ifade edilebilir:
v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k
Egzersiz 2
Ağırlık 30 N ise dengede olan şekilde kepçeyi tutan kabloların her birindeki gerilimi bulun.
Şekil 3. Egzersiz 2 için stres diyagramı.
Çözüm
Kova olarak, serbest gövde diyagramı gösterir , T D (yeşil) ağırlık uzaklıklar W , bu nedenle, T (sarı) D = W = 30 N
Düğümde, T D vektörü dikey olarak aşağı doğru yönlendirilir, sonra:
T D = 30 (- k ) N.
Kalan voltajları belirlemek için şu adımları izleyin:
Adım 1: Tüm Noktaların Koordinatlarını Bulun
A = (4.5,0,3) (A xz duvarının düzlemi üzerindedir)
B = (1.5,0,0) (B x ekseni üzerindedir)
C = (0, 2.5, 3) (C duvarın düzlemindedir ve z)
D = (1.5, 1.5, 0) (D yatay xy düzlemi üzerindedir)
Adım 2: Sonun ve başlangıcın koordinatlarını çıkararak her yöndeki vektörleri bulun
DA = <3; -1.5; 3>
DC = <-1,5; bir; 3>
DB = <0; -1.5; 0>
Adım 3: Modülleri ve birim vektörleri hesaplayın
Şu ifade vasıtasıyla bir birim vektör elde edilir: u = r / r, r (kalın) vektördür ve r (kalın olmadan) bahsedilen vektörün modülüdür.
DA = (3 2 + (-1,5) 2 + 3 2 ) ½ = 4,5; DC = ((-1,5) 2 + 1 2 + 3 2 ) ½ = 3,5
u DA = <3; -1.5; 3> 4,5 = <0,67; -0.33; 0.67>
u DC = <-1,5; bir; 3> 3,5 = <-0,43; 0.29; 0.86>
u DB = <0; -bir; 0>
u D = <0; 0; -1>
Adım 4: Tüm gerilmeleri vektör olarak ifade edin
T DA = T DA u DA = T DA <0.67; -0.33; 0.67>
T DC = T DC u DC = T DC <-0,43; 0.29; 0.86>
T DB = T DB u DB = T DB <0; -bir; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
Adım 5: Statik denge koşulunu uygulayın ve denklem sistemini çözün
Son olarak, statik denge koşulu kovaya uygulanır, böylece düğüm üzerindeki tüm kuvvetlerin vektör toplamı sıfır olur:
T DA + T DC + T db + T D = 0
Gerilmeler uzayda olduğundan, gerilmelerin her bileşeni (x, y ve z) için üç denklem sistemi ile sonuçlanacaktır.
0,67 T DA -0,43 T DC + 0 T DB = 0
-0,33 T DA + 0,29 T DC - T DB = 0
0,67 T DA + 0,86 T DC +0 T DB - 30 = 0
Çözüm şudur: T DA = 14,9 N; T DA = 23,3 N; T DB = 1,82 N
Referanslar
- Bedford, 2000. A. Mühendislik Mekaniği: Statik. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Serisi: Bilimler ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Kinematik.31-68.
- Fiziksel. Modül 8: Vektörler. Kurtarıldı: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mühendisler için Mekanik. Statik 6. Baskı. Continental Yayıncılık Şirketi. 15-53.
- Vektör Toplama Hesaplama. Kurtarıldı: 1728.org