- Anlık hızın hesaplanması: geometrik yorumlama
- Anlık hızın hesaplanmasında bazı özel durumlar
- Anlık hız için çözülmüş egzersizler
- 1. Egzersiz
- Yanıtlar
- Egzersiz 2
- cevap
- Referanslar
Ani hız zaman kaymasından anlık bir değişiklik olarak tanımlanır. Hareket etüdüne büyük hassasiyet katan bir kavramdır. Ve bilgileri çok genel olan ortalama hıza göre bir ilerlemedir.
Anlık hızı elde etmek için, olabildiğince küçük bir zaman aralığına bakalım. Diferansiyel hesap, bu fikri matematiksel olarak ifade etmek için mükemmel bir araçtır.
Anlık hız, mobilin yolculuğunun her noktasındaki hızını gösterir. Kaynak: Pixabay.
Başlangıç noktası ortalama hızdır:
Bu sınır türev olarak bilinir. Diferansiyel hesap gösteriminde elimizde:
Hareket düz bir çizgiyle sınırlı olduğu sürece, vektör gösterimi kaldırılabilir.
Anlık hızın hesaplanması: geometrik yorumlama
Aşağıdaki şekil türev kavramının geometrik yorumunu göstermektedir: teğet doğrunun x (t) eğrisine olan eğimidir. t her noktada.
P'deki anlık hız, sayısal olarak x eğrisine karşılık teğet doğrunun eğimine eşittir. t P noktasında Kaynak: Kaynak: す じ に く シ チ ュ ー.
Q noktasına yavaş yavaş P noktasına yaklaşılırsa, sınırı nasıl elde edeceğinizi hayal edebilirsiniz. Her iki noktanın da çok yakın olduğu bir an gelecek ve birini diğerinden ayırt edemeyeceksiniz.
Onları birleştiren çizgi daha sonra sekant olmaktan (iki noktada kesişen çizgi) teğete (eğriye sadece bir noktada dokunan çizgi) geçecektir. Bu nedenle, hareket eden bir parçacığın anlık hızını bulmak için sahip olmamız gerekenler:
- Zamanın bir fonksiyonu olarak parçacığın konumunun grafiği. Her an için teğet doğrunun eğime olan eğimini bulduğumuzda, parçacığın kapladığı her noktadaki anlık hıza sahibiz.
Peki:
- Hız fonksiyonunu v (t) elde etmek için türetilen x (t) parçacığının konum fonksiyonu, daha sonra bu fonksiyon her t anında uygun şekilde değerlendirilir. Konum fonksiyonunun türevlenebilir olduğu varsayılır.
Anlık hızın hesaplanmasında bazı özel durumlar
-P'deki eğriye teğet doğrunun eğimi 0'dır. Sıfır eğim, mobilin durdurulduğu ve hızının elbette 0 olduğu anlamına gelir.
-P'deki eğriye teğet doğrunun eğimi 0'dan büyüktür. Hız pozitiftir. Yukarıdaki grafikte, cep telefonunun O'dan uzaklaştığı anlamına gelir.
-P'deki eğriye teğet doğrunun eğimi 0'dan küçüktür. Hız negatif olacaktır. Yukarıdaki grafikte böyle noktalar yoktur, ancak bu durumda parçacık O'ya yaklaşacaktır.
- Eğriye teğet doğrunun eğimi P ve diğer tüm noktalarda sabittir. Bu durumda grafik düz bir çizgidir ve mobil tekdüze doğrusal hareket MRU'ya sahiptir (hızı sabittir).
Genel olarak, v (t) fonksiyonu aynı zamanda bir türeve sahip olabilen bir zaman fonksiyonudur. Ya x (t) ve v (t) fonksiyonlarının türevlerini bulmak mümkün olmasaydı?
X (t) durumunda, eğim - anlık hız - aniden işaret değiştiriyor olabilir. Veya hemen sıfırdan farklı bir değere gideceğini.
Eğer öyleyse, x (t) grafiği ani değişikliklerin olduğu yerlerde noktalar veya köşeler sunacaktır. Önceki görüntüde temsil edilen durumdan çok farklıdır; burada x (t) eğrisi, noktalar, köşeler, süreksizlikler veya ani değişiklikler olmaksızın pürüzsüz bir eğridir.
Gerçek şu ki, gerçek cep telefonları için düzgün eğriler nesnenin davranışını en iyi temsil edenlerdir.
Genel olarak hareket oldukça karmaşıktır. Cep telefonları bir süre durdurulabilir, hıza sahip olmak için hareketsiz durumdan hızlanabilir ve başlangıç noktasından uzaklaşabilir, hızı bir süre koruyabilir, ardından tekrar durmak için fren yapabilir vb.
Yine yeniden başlayıp aynı yönde devam edebilirler. Ya tersi çalıştırın ve geri dönün. Buna tek boyutta çeşitli hareket denir.
İşte anlık hızın hesaplanmasına ilişkin bazı örnekler, verilen tanımların kullanımını netleştirecektir:
Anlık hız için çözülmüş egzersizler
1. Egzersiz
Bir parçacık, aşağıdaki hareket yasasına göre düz bir çizgi boyunca hareket eder:
Tüm birimler Uluslararası Sistemdedir. Bul:
a) Parçacığın t = 3 saniyedeki konumu.
b) t = 0 s ile t = 3 s aralığında ortalama hız.
c) t = 0 s ile t = 3 s arasındaki ortalama hız.
d) Bir önceki sorudaki parçacığın t = 1 s'deki anlık hızı.
Yanıtlar
a) Parçacığın konumunu bulmak için hareket yasası (konum fonksiyonu) t = 3'te değerlendirilir:
x (3) = (-4/3) .3 3 + 2. 3 2 + 6.3 - 10 m = -10 m
Pozisyonun negatif olması sorun değil. (-) işareti, parçacığın orijinin O'nun solunda olduğunu gösterir.
b) Ortalama hızın hesaplanmasında, belirtilen zamanlarda parçacığın nihai ve başlangıç pozisyonları gereklidir: x (3) ve x (0). T = 3'teki konum x (3) 'tür ve önceki sonuçtan bilinmektedir. T = 0 saniyedeki konum x (0) = -10 m'dir.
Nihai konum ilk konumla aynı olduğundan, hemen ortalama hızın 0 olduğu sonucuna varılır.
c) Ortalama hız, katedilen mesafe ile geçen süre arasındaki orandır. Şimdi, mesafe, yer değiştirmenin modülü veya büyüklüğüdür, bu nedenle:
mesafe = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m
Kat edilen mesafenin her zaman pozitif olduğunu unutmayın.
v m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s
d) Burada pozisyonun zamana göre ilk türevini bulmak gerekir. Daha sonra t = 1 saniye için değerlendirilir.
x '(t) = -4 t 2 + 4 t + 6
x '(1) = -4,1 2 + 4,1 + 6 m / sn = 6 m / sn
Egzersiz 2
Aşağıda bir cep telefonunun konumunun zamanın bir fonksiyonu olarak grafiği yer almaktadır. T = 2 saniyedeki anlık hızı bulun.
Bir cep telefonu için konum ve zaman grafiği. Kaynak: kendi kendine.
cevap
T = 2 saniyede eğriye teğet çizgiyi çizin, ardından doğrudaki herhangi iki noktayı alarak eğimini bulun.
Belirtilen noktadaki anlık hızı hesaplamak için, o noktaya teğet doğrusunu çizin ve eğimini bulun. Kaynak: kendi kendine.
Bu örnekte, koordinatları (2 s, 10 m) ve dikey eksenle (0 s, 7 m) kesilmiş olan, kolayca görselleştirilebilen iki noktayı alacağız:
Referanslar
- Giancoli, D. Physics. Uygulamalar ile İlkeler. 6 inci Baskı. Prentice Hall. 22-25.
- Resnick, R. (1999). Fiziksel. Cilt 1. İspanyolca Üçüncü baskı. Meksika. Compañía Editoryal Continental SA de CV 21-22.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Bilim ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. 7 ma . Baskı. Meksika. Cengage Öğrenim Editörleri. 23-25.