- Bazların özellikleri
- Baz örnekleri
- ℜ 'de kanonik temel
- ℜ 'de kanonik temel
- ℜ 'deki diğer ortonormal tabanlar
- Çözülmüş egzersizler
- - 1. Egzersiz
- Çözüm
- - Egzersiz 2
- Çözüm
- Referanslar
Bir ortonormal baz olan modülü de 1 (birim vektörleri) olan birbirine dik vektörleri ile oluşur ve. V vektör uzayındaki bir B tabanının, söz konusu uzayı oluşturabilen doğrusal olarak bağımsız vektörler kümesi olarak tanımlandığını hatırlayalım.
Buna karşılık, bir vektör uzayı, elemanları arasında vektör olan, genellikle hız, kuvvet ve yer değiştirme gibi fiziksel büyüklüklerle veya ayrıca matrisler, polinomlar ve fonksiyonlarla ilişkilendirilen soyut bir matematiksel varlıktır.
Şekil 1. Düzlemdeki ortonormal taban. Kaynak: Wikimedia Commons. Quartl.
Vektörlerin üç ayırt edici öğesi vardır: büyüklük veya modül, yön ve anlam. Belirli bir V vektör uzayına ait olan herhangi bir vektör, birimdik tabanı oluşturan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabildiğinden, bir birimdik taban özellikle onlarla temsil etmek ve çalışmak için kullanışlıdır.
Bu şekilde, vektörler arasındaki toplama, çıkarma ve söz konusu boşlukta tanımlanan farklı ürün türleri arasındaki işlemler analitik olarak yürütülür.
Fizikte en yaygın kullanılan temeller arasında , üç boyutlu uzayın üç farklı yönünü temsil eden birim vektörler i , j ve k tarafından oluşturulan taban vardır : yükseklik, genişlik ve derinlik. Bu vektörler, birim kanonik vektörler olarak da bilinir.
Bunun yerine, vektörler bir düzlemde çalışılırsa, bu üç bileşenden ikisi yeterli olurken, tek boyutlu vektörler için yalnızca biri gereklidir.
Bazların özellikleri
1- Bir B tabanı, V vektör uzayını oluşturan mümkün olan en küçük vektör kümesidir.
2- B'nin elemanları doğrusal olarak bağımsızdır.
3- Bir V vektör uzayının herhangi bir B tabanı, V'nin tüm vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilmesini sağlar ve bu form her vektör için benzersizdir. Bu nedenle, B aynı zamanda üretici sistem olarak da bilinir.
4- Aynı vektör uzayı V farklı tabanlara sahip olabilir.
Baz örnekleri
Genel olarak birkaç birimdik taban ve taban örneği:
ℜ 'de kanonik temel
N'nin doğal tabanı veya standart tabanı olarak da adlandırılır , burada ℜ n n boyutlu uzaydır, örneğin üç boyutlu uzay ℜ 3'tür . N'nin değeri vektör uzayının boyutu olarak adlandırılır ve dim (V) olarak belirtilir.
ℜ n'ye ait tüm vektörler , sıralı n-reklamlarla temsil edilir. ℜ n alanı için kanonik temel şu şekildedir :
e 1 = <1,0,. . . , 0>; e 2 = <0.1,. . . , 0>; …… .. e n = <0.0,. . . , 1>
Bu örnekte birim vektörler için parantez veya “parantez” ve koyu gösterimini kullandık e 1 , e 2 , e 3 …
ℜ 'de kanonik temel
Tanıdık vektörler i , j ve k bu aynı gösterimi kabul eder ve üçü de ℜ 3'teki vektörleri temsil etmek için yeterlidir :
i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
Bu, tabanın şu şekilde ifade edilebileceği anlamına gelir:
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
Doğrusal olarak bağımsız olduklarını doğrulamak için, onlarla oluşturulan belirleyici sıfır değildir ve ayrıca 1'e eşittir:
F = <4, -7,0> N = 4 ben -7 j + 0 k N.
Bu nedenle i , j ve k , ℜ 3'lük bir jeneratör sistemi oluşturur .
ℜ 'deki diğer ortonormal tabanlar
Önceki bölümde açıklanan standart taban, ℜ 3'teki tek birimdik taban değildir . Burada örneğin temellerimiz var:
B 1 = {
B 2 = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}
Bu bazların birimdik olduğu gösterilebilir, bunun için karşılanması gereken koşulları hatırlıyoruz:
Tabanı oluşturan vektörler birbirine dik olmalıdır.
-Her biri üniter olmalı.
Bunu, oluşturdukları determinantın sıfır olmaması ve 1'e eşit olması gerektiğini bilerek doğrulayabiliriz.
B 1 tabanı , uzayda vektörleri ifade etmenin başka bir yolu olan ρ, φ ve z'nin silindirik koordinatlarınınkidir.
Şekil 2. Silindirik koordinatlar. Kaynak: Wikimedia Commons. Matematik tutkunu.
Çözülmüş egzersizler
- 1. Egzersiz
Baz B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} birimdiktir.
Çözüm
Vektörlerin birbirine dik olduğunu göstermek için, iki vektörün iç veya iç çarpımı olarak da adlandırılan skaler çarpımı kullanacağız.
Herhangi iki vektör u ve v olsun , bunların iç çarpımı şu şekilde tanımlanır:
u • v = uv cosθ
Modüllerinin vektörlerini ayırt etmek için birinci için koyu, ikincisi için normal harfler kullanacağız. θ, u ve v arasındaki açıdır , bu nedenle dik iseler, bu, θ = 90º ve skaler çarpımın sıfır olduğu anlamına gelir.
Alternatif olarak, vektörler bileşenleri açısından verildiyse: u =
u • v = u x .v x + u y .v y + u z .v z
Bu şekilde, her bir vektör çifti arasındaki skaler ürünler sırasıyla:
i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0
ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0
iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0
İkinci koşul için, her vektörün modülü şu şekilde elde edilen hesaplanır:
│u │ = √ (u x 2 + u y 2 + u z 2 )
Böylece, her vektörün modülleri şunlardır:
│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <0, 0.1> │ = √ = 1
Bu nedenle üçü de birim vektörlerdir. Son olarak, oluşturdukları determinant sıfır değildir ve 1'e eşittir:
- Egzersiz 2
W = <2, 3,1> vektörünün koordinatlarını yukarıdaki tabana göre yazın.
Çözüm
Bunu yapmak için aşağıdaki teorem kullanılır:
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 +… < w • v n > v n
Bu, vektörü < w • v 1 >, < w • v 2 >,… < w • v n > katsayılarını kullanarak B tabanına yazabileceğimiz anlamına gelir, bunun için belirtilen skaler ürünleri hesaplamamız gerekir:
<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5
<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5
<2, 3,1> • <0,0,1> = 1
Elde edilen skaler ürünlerle w koordinat matrisi adı verilen bir matris oluşturulur.
Bu nedenle, B tabanındaki w vektörünün koordinatları şu şekilde ifade edilir:
B =
Koordinat matrisi vektör değildir, çünkü bir vektör koordinatlarıyla aynı değildir. Bunlar, vektörü olduğu gibi değil, yalnızca belirli bir tabanda ifade etmeye yarayan bir sayı kümesidir. Ayrıca seçilen tabana da bağlıdırlar.
Son olarak, teoremi takiben, w vektörü aşağıdaki gibi ifade edilecektir:
w = (18/5) v 1 + (1/5) v 2 + v 3
İle: v 1 = <3/5, 4 / 5,0>; v 2 = <- 4/5, 3 / 5.0>; v 3 = <0,0,1>}, yani B tabanının vektörleri.
Referanslar
- Larson, R. Doğrusal Cebirin Temelleri. 6. Baskı. Cengage Learning.
- Larson, R. 2006. Calculus. 7. Baskı. Cilt 2. McGraw Hill.
- Salas, J. Lineer Cebir. Ünite 10. Ortonormal tabanlar. Kurtarıldı: ocw.uc3m.es.
- Sevilla Üniversitesi. Silindirik koordinatlar. Vektör tabanı. Kurtarıldı: laplace.us.es.
- Vikipedi. Ortonormal taban. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.