AĞIRLIK MERKEZI: ÖZELLIKLER, HESAPLAMA, ÖRNEKLER - FIZIKSEL - 2025

Ağırlık merkezi ölçülebilir büyüklükte bir vücut ağırlığı uygulanacak kabul edilir bir nokta. Bu nedenle Statiğin ana kavramlarından biridir.

Temel Fizik problemlerinde ilk yaklaşım, herhangi bir nesnenin bir nokta kütlesi gibi davrandığını, yani boyutları olmadığını ve tüm kütlenin tek bir noktada yoğunlaştığını varsaymaktan ibarettir. Bu bir kutu, bir araba, bir gezegen veya bir atom altı parçacık için geçerlidir. Bu model, parçacık modeli olarak bilinir.

Şekil 1. Yüksek atlamada sporcu, ağırlık merkezi vücudun dışında olacak şekilde yönetir. Kaynak: Pixabay

Elbette bu, birçok uygulama için çok iyi çalışan bir yaklaşımdır. Herhangi bir nesnenin içerebileceği binlerce ve milyonlarca parçacığın bireysel davranışını değerlendirmek kolay bir iş değildir.

Ancak, gerçeğe daha yakın sonuçlar elde edilecekse, şeylerin gerçek boyutları dikkate alınmalıdır. Genel olarak Dünya'nın yakınında olduğumuz için, herhangi bir cisim üzerinde her zaman mevcut olan kuvvet tam olarak ağırlıktır.

Ağırlık merkezini bulmak için dikkat edilmesi gerekenler

Vücut ölçüsü dikkate alınacaksa, ağırlık özellikle nereye uygulanmalıdır? Rasgele şekillendirilmiş sürekli bir nesneye sahip olduğunuzda, ağırlığı, onu oluşturan parçacıkların her biri arasında dağıtılan bir kuvvettir.

Bu parçacıklar m ₁ , m ₂ , m _{3 olsun} … Her biri karşılık gelen çekim kuvveti m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g… yaşar , hepsi paraleldir. Bu böyledir, çünkü Dünya'nın yerçekimi alanı çoğu durumda sabit kabul edilir, çünkü nesneler gezegenin boyutuna göre küçüktür ve yüzeyine yakın.

Şekil 2. Cismin ağırlığı, dağıtılmış bir kütledir. Kaynak: kendi kendine.

Bu kuvvetlerin vektörel toplamı, nesnenin ağırlığının, şekilde CG olarak belirtilen ağırlık merkezi olarak adlandırılan noktaya uygulanmasına neden olur ve bu daha sonra kütle merkezi ile çakışır. Kütle merkezi, tüm kütlenin yoğunlaştığı kabul edilebilecek noktadır.

Ortaya çıkan ağırlık, Mg büyüklüğüne sahiptir, burada M nesnenin toplam kütlesidir ve elbette dikey olarak Dünya'nın merkezine doğru yönlendirilir. Toplama notasyonu, vücudun toplam kütlesini ifade etmek için kullanışlıdır:

Ağırlık merkezi her zaman maddi bir nokta ile çakışmaz. Örneğin, bir halkanın CG'si, kütlenin kendisinin olmadığı geometrik merkezindedir. Öyle olsa bile, bir çember üzerine etki eden kuvvetleri analiz etmek istiyorsanız, ağırlığı bu kesin noktaya uygulamalısınız.

Nesnenin keyfi bir şekle sahip olduğu durumlarda, homojen ise, kütle merkezi yine de şeklin ağırlık merkezi veya ağırlık merkezi bulunarak hesaplanabilir.

Ağırlık merkezi nasıl hesaplanır?

Prensip olarak, ağırlık merkezi (CG) ve kütle merkezi (cm), yerçekimi alanı tekdüze olduğu için çakışırsa, cm hesaplanabilir ve ona ağırlık uygulanabilir.

İki durumu ele alalım: Birincisi, kütle dağılımının kesikli olduğu durumdur; yani, sistemi oluşturan her kütle sayılabilir ve önceki örnekte yapıldığı gibi bir i numarası atanabilir.

Ayrık bir kütle dağılımı için kütle merkezinin koordinatları şunlardır:

Doğal olarak, tüm kütlelerin toplamı, yukarıda belirtildiği gibi M sisteminin toplam kütlesine eşittir.

Üç denklem, kütle merkezinin vektörü r _cm veya konum vektörü dikkate alındığında kompakt bir forma indirgenir :

Ve parçacıkların farklı büyüklükte olduğu ve onları saymak için ayırt edilemediği sürekli bir kütle dağılımı durumunda, toplam, söz konusu nesnenin kapladığı hacim üzerinden yapılan bir integral ile değiştirilir:

R, diferansiyel kütle dm'nin konum vektörü olduğunda ve kütle yoğunluğu tanımı, hacim diferansiyel dV'de bulunan kütle diferansiyel dm'yi ifade etmek için kullanılır:

Özellikleri

Kütle merkezi ile ilgili bazı önemli hususlar aşağıdaki gibidir:

- Konumları belirlemek için bir referans sistemi gerekmesine rağmen kütle merkezi, nesnenin bir özelliği olduğu için sistemin seçimine bağlı değildir.

- Nesne bir eksene veya simetri düzlemine sahipse, kütle merkezi o eksen veya düzlem üzerindedir. Bu durumdan yararlanmak hesaplama süresinden tasarruf sağlar.

- Nesneye etki eden tüm dış kuvvetler kütle merkezine uygulanabilir. Bu noktanın hareketini takip etmek, nesnenin hareketine genel bir bakış sağlar ve davranışını incelemeyi kolaylaştırır.

Statik dengede bir cismin ağırlık merkezini bulma

Önceki şeklin gövdesini statik dengede yapmak istediğinizi, yani O olabilen gelişigüzel bir dönme ekseni etrafında çevirmediğini veya dönmediğini varsayalım.

Şekil 3. Ağırlığın torkunu O noktasına göre hesaplama şeması.

Çözülmüş örnek

İnce bir homojen malzeme çubuğu 6 m uzunluğunda ve 30 N ağırlığındadır. Sol ucuna 50 N ağırlık, sağ ucuna 20 N ağırlık asılır. Aşağıdakileri bulun: a) Çubuğun dengesini korumak için gerekli yukarı doğru kuvvetin büyüklüğü, b) Düzeneğin ağırlık merkezi.

Çözüm

Kuvvet diyagramı aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Çubuğun ağırlığı, geometrik merkezi ile çakışan ağırlık merkezine uygulanır. Hesaplanan çubuğun tek boyutu uzunluğu, çünkü ifade ince olduğunu bildiriyor.

Şekil 4. Çubuk için kuvvetlerin diyagramı.

Çubuk + ağırlık sisteminin öteleme dengesinde kalması için kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır. Kuvvetler dikeydir, + işaretini ve aşağı işaretini düşünürsek - o zaman:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Bu kuvvet, öteleme dengesini garanti eder. Sistemin en solundan geçen bir eksene göre tüm kuvvetlerin burulma momentlerini alıp, tanımı uygulayarak:

t = rx F

Tüm bu kuvvetlerin seçilen nokta etrafındaki momentleri çubuğun düzlemine diktir:

Böylece:

Bar + ağırlık setinin ağırlık merkezi, barın sol ucundan 2.10 metre uzaklıkta yer almaktadır.

Kütle merkezinden fark

Dikkate alınacak nesnenin tüm noktaları için Dünya'nın yerçekimi alanı sabit olduğu sürece, ağırlık merkezi, belirtildiği gibi kütle merkezi ile çakışır. Dünyanın yerçekimi alanı daha g = 9,8 m, iyi bilinen ve aşina değerden daha başka bir şey değildir / s ² dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilmiş.

G'nin değeri enlem ve yüksekliğe göre değişmekle birlikte, bunlar genellikle çoğu zaman tartışılan nesneleri etkilemez. Dünya'nın çevresinde büyük bir cisim, örneğin gezegene çok yakın bir asteroidi düşünürseniz çok farklı olurdu.

Asteroidin kendi kütle merkezi vardır, ancak ağırlık merkezinin artık bununla çakışması gerekmeyecektir, çünkü asteroidin boyutu ve her bir parçacığın ağırlıkları paralel olmayabileceği düşünüldüğünde, g muhtemelen büyüklükte önemli değişiklikler yaşayacaktır.

Diğer bir temel fark, kütle merkezinin nesneye uygulanan ağırlık denilen bir kuvvet olup olmadığına bakılmaksızın bulunmasıdır. Bize kütlesinin geometrisine göre nasıl dağıldığını ortaya çıkaran nesnenin kendine özgü bir özelliğidir.

Ağırlık uygulanıp uygulanmadığına bakılmaksızın kütle merkezi mevcuttur. Ve nesne yerçekimi alanının farklı olduğu başka bir gezegene hareket etse bile aynı konumda bulunur.

Öte yandan, önceki paragraflarda gördüğümüz gibi, ağırlık merkezi açıkça ağırlık uygulamasına bağlıdır.

Ağırlık merkezi örnekleri

Düzensiz nesnelerin ağırlık merkezi

Fincan gibi düzensiz bir nesnenin ağırlık merkezinin nerede olduğunu bulmak çok kolaydır. İlk olarak, herhangi bir noktadan asılır ve oradan dikey bir çizgi çizilir (Şekil 5'te, soldaki resimde fuşya çizgisidir).

Daha sonra başka bir noktadan askıya alınır ve yeni bir dikey çizilir (sağdaki resimde turkuaz çizgi). Her iki çizginin kesişme noktası, fincanın ağırlık merkezidir.

Şekil 5. Kupanın CG konumu. Kaynak: Pixabay'dan değiştirildi.

Dengeleme nesneleri

Yolda giden bir kamyonun dengesini inceleyelim. Ağırlık merkezi forkliftin tabanının üzerinde olduğunda forklift devrilmeyecektir. Soldaki görüntü en sabit konumdur.

Şekil 6. Forkliftin dengelenmesi. Kaynak: kendi kendine.

Kamyon sağa yaslandığında bile, dikey hala tabandan geçtiği için orta çizimde olduğu gibi sabit bir denge konumuna geri dönebilecektir. Ancak bu hat dışarı çıktığında kamyon devrilecek.

Diyagram dayanak noktasındaki kuvvetleri göstermektedir: normal sarı renkte, ağırlık yeşil renkte ve statik sürtünme solda fuşya. Dönme eksenine normal ve sürtünme uygulanır, böylece tork uygulamazlar. Bu nedenle forkliftin devrilmesine katkıda bulunmazlar.

Neyse ki saat yönünün tersine bir tork uygulayan ve kamyonu denge konumuna döndürme eğiliminde olan ağırlık kalır. Dikey çizginin lastik olan destek yüzeyinden geçtiğine dikkat edin.

Kamyon en sağ konumda olduğunda, ağırlığın torku saat yönünde değişir. Başka bir zaman karşı koyulamazsa, kamyon devrilir.

Referanslar

1. Bauer, W. 2011. Mühendislik ve Bilimler için Fizik. Cilt 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fizik: Uygulamalı Prensipler. 6. .. Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fiziksel. Cilt 1. İspanyolca 3. Baskı. Compañía Editoryal Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Temel Fizik. Pearson. 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Modern Fizikle Üniversite Fiziği. 14. Ed. Cilt 1,340-346.