POISSON ORANI: KATSAYI, FORMÜLLER, DEĞERLER, ÖRNEKLER - FIZIKSEL - 2026

Poisson sitesindeki oranı her malzemenin özellikleri, boyutsuz bir miktar vardır. Belirli kuvvetlerin uygulanmasından önce bir malzeme parçasının deformasyonunun göstergesidir.

Gerilme veya sıkıştırmaya maruz kalan bir malzeme parçası bir deformasyona uğradığında, enine deformasyon ile uzunlamasına deformasyon arasındaki oran tam olarak Poisson oranıdır.

Şekil 1. Poisson oranı, uzunlamasına gerilme ve enine daralma arasındaki ilişkiyi ölçer. (Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır)

Örneğin, uçlarında gerilime maruz kalan bir kauçuk silindir uzunlamasına yönde gerilir, ancak enine daralır. Şekil 1, orijinal boyutları L uzunluğu ve çapı D olan bir çubuğu göstermektedir.

Çubuk, uçlarında bir T gerilimine maruz kalır ve bu gerilimin bir sonucu olarak bir gerilir, böylece yeni uzunluk L '> L olur.Ancak gerildiğinde çapı da yeni değere daralır: D '<D.

Uzatma (pozitif) ve daralma (negatif) arasındaki bölüm (-1) ile çarpılır, 0 ile 0,5 arasında pozitif bir sayıdır. Bu sayı sözde Poisson oranıdır ν (Yunanca harf nu).

Poisson oran formülü

Poisson oranını hesaplamak için uzunlamasına ve enine gerinimi belirlemek gerekir.

Boyuna gerinim ε _L , germenin orijinal uzunluğa bölünmesiyle elde edilir:

ε _L = (L '- L) / L

Benzer şekilde, enine gerinim ε _T , radyal daralmanın orijinal çapa bölünmesidir:

ε _T = (D '- D) / D

Bu nedenle, Poisson oranı aşağıdaki formülle hesaplanır:

ν = - ε _T / ε _L

Esneklik modülü ve rijitlik modülü ile ilişki

Poisson oranı ν, aşağıdaki formülle E esneklik modülü (veya Young modülü) ve G sertlik modülü ile ilişkilidir:

Malzemeler için Poisson oran değeri

Şekil 2. Paslanmaz çeliğin Poisson oranı 0.30 ile 0.31 arasındadır. Kaynak: Pixabay.

Hesaplama örnekleri

örnek 1

Belirli bir plastik malzemeden bir çubuğun uzunluğu 150 mm ve çapı 20 mm olan dairesel bir kesite sahiptir. 612,25 kg-f'lik bir sıkıştırma kuvvetine F maruz bırakıldığında, 14 mm'lik bir kısalma ve aynı zamanda çubuğun çapında 0,85 mm'lik bir artış gözlenir.

Hesaplamak:

a) Boyuna gerinim.

b) Enine gerinim.

c) Bu malzemenin Poisson oranı.

d) Malzemeye karşılık gelen Young elastisite modülü.

e) Bu plastik için katılık modülü.

Çözüm

Boyuna gerinim εL'nin gerilmenin orijinal uzunluğa bölünmesi olduğunu hatırlayın:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0.0933

Boyuna gerilmenin boyutsuz olduğuna ve bu durumda negatif olduğuna dikkat edin çünkü boylamasına boyutunda bir azalma vardı.

Çözüm b

Benzer şekilde, enine gerinim εT, radyal konikliktir ve orijinal çapa bölünür:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Enine gerinim pozitif olmuştur çünkü çubuğun çapında bir artış olmuştur.

Çözüm c

Poisson oranının hesaplanması için, enine deformasyon ile boyuna deformasyon arasındaki oranın negatifi olarak tanımlandığını hatırlamalıyız:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Poisson oranının pozitif boyutsuz bir sayı olduğu ve çoğu malzeme için 0 ile 0.5 arasında olduğu unutulmamalıdır.

Çözüm d

Young'ın E harfiyle gösterilen esneklik modülü, Hooke yasasındaki orantılılık sabitidir. E ile, normal gerilme σL aşağıdaki gibi εL gerilimi ile ilişkilidir:

σL = E εL

Normal gerilim, normal kuvvet (bu durumda çubuğun eksenine paralel) ile kesit alanı arasındaki bölüm olarak tanımlanır:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Bu alıştırmada, F kuvveti 612.25 kg-f'dir ve bu, SI kuvvet birimi olan Newton'a dönüştürülmelidir:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

A alanının kesiti şu şekildedir:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Son olarak çubuğa uygulanan normal gerilim şöyledir:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

Young'ın elastisite modülünü hesaplamak için Hooke yasasından σL = E εL'den E'yi çözeriz:

E = σL / εL = 19,098,593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Çözüm e

G sertlik katsayısı, Young modülü E ve Poisson oranı ν ile bu formülle ilişkilidir:

E / (2 G) = 1 + ν

Oradan G için çözebiliriz:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Örnek 2

4 mm çapında ve 1 m uzunluğunda bakır kablo bulunmaktadır. Young'ın bakır modülünün 110.000 MPa ve Poisson oranının 0.34 olduğunu bilerek, üzerine 100 kg-f ağırlık asıldığında telin maruz kaldığı esneme ve daralmayı tahmin edin.

Çözüm

Öncelikle, aşağıdaki formülü izleyerek ağırlığın tel üzerine uyguladığı normal çekme gerilimini hesaplamak gerekir:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

F kuvveti 980 N'dir ve kesit alanı:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

O zaman çekme gerilimi:

σL = 980 N / 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77.986.000 Pa

Tel Gerilmesinin Hesaplanması

Young'ın E harfi ile gösterilen elastisite modülü, normal gerilimi σL ile εL gerilimini ilişkilendiren Hooke yasasındaki orantılılık sabitidir:

σL = E εL

Oradan bakır telin boylamasına gerilmesi çözülebilir:

εL = σL / E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4

Enine gerinimin hesaplanması

Öte yandan, enine gerilimi bilmek için Poisson oranı uygulanır:

ν = - εT / εL

Son olarak, enine gerinim:

εT = –ν εL = - 0.34 * 7.09 * 10 ^ -4 = -2.41 * 10 ^ -4

Mutlak kablo gerginliğinin hesaplanması

Son olarak, kablonun mutlak gerginliğini bilmek için aşağıdaki ilişki uygulanmalıdır:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0.709 mm

Yani, bu ağırlıkla kablo 0.709 milimetre zar zor geriliyordu.

Çapta azalmanın hesaplanması

Çapta mutlak büzülmeyi elde etmek için aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

ΔD = εT * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9.64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 milimetre.

Çaptaki bu daralma o kadar küçüktür ki çıplak gözle görmek zordur, hatta ölçümü yüksek hassasiyetli bir alet gerektirir.

Referanslar

1. Bira F .. Malzemelerin mekaniği. 5. Baskı. 2010. Mc Graw Tepesi. 1-130.
2. Hibbeler R. Malzemelerin mekaniği. Sekizinci baskı. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mekaniği. Sekizinci baskı. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fizik: Uygulamalı Prensipler. 6. Baskı Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Genel Fizik Üzerine Notlar. UNAM. 87-98.