KISMI TÜREVLER: GÖSTERIM, ÖRNEKLER VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Kısmi türev , diğer değişkenler sabit kalır çok değişkenli bir fonksiyonun, değişkenlerden biri son derece küçük bir varyasyonu olan fonksiyon değişim oranını belirlemek olanlardır.

Fikri daha somut hale getirmek için, iki değişkenli bir fonksiyonun durumunu varsayalım: z = f (x, y). F fonksiyonunun x değişkenine göre kısmi türevi, x'e göre sıradan türev olarak hesaplanır, ancak y değişkeni sabitmiş gibi alınır.

Şekil 1. Fonksiyon f (x, y) ve P noktasında kısmi türevleri ∂ _x f y ∂ _y f (Geogebra ile R. Pérez tarafından detaylandırılmıştır)

Kısmi türev gösterimi

F (x, y) fonksiyonunun x değişkeni üzerindeki kısmi türev işlemi, aşağıdaki yollardan biriyle gösterilir:

Kısmi türevlerde, türev için d harfinin kullanıldığı tek değişkenli fonksiyonların sıradan türevinin aksine, ∂ sembolü (Jacobi'nin d olarak da adlandırılan bir tür yuvarlatılmış d harfi) kullanılır.

Genel anlamda, çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, değişkenlerinden birine göre, orijinal fonksiyonun aynı değişkenlerinde yeni bir fonksiyonla sonuçlanır:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Kısmi türevin hesaplanması ve anlamı

X eksenine paralel yönde belirli bir nokta (x = a, y = b) için fonksiyonun değişim oranını veya eğimini belirlemek için:

1- ∂ _x f (x, y) = g (x, y) fonksiyonu , x değişkenindeki adi türev alınarak ve y değişkenini sabit veya sabit bırakarak hesaplanır.

2- Ardından, x = a ve y = b noktalarının değeri ikame edilir ve burada fonksiyonun x yönündeki değişim oranını bilmek istiyoruz:

{(A, b) noktasında x yönündeki eğim} = ∂ _x f (a, b).

3- (a, b) koordinat noktasında y yönündeki değişim oranını hesaplamak için önce ∂ _ve f (x, y) = h (x, y) hesaplayınız .

4- Daha sonra (x = a, y = b) noktası önceki sonuçta ikame edilir:

{(A, b) noktasında y yönündeki eğim} = ∂ _y f (a, b)

Kısmi türev örnekleri

Kısmi türevlerin bazı örnekleri aşağıdaki gibidir:

örnek 1

İşlev göz önüne alındığında:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

F fonksiyonunun x değişkenine ve y değişkenine göre kısmi türevlerini bulun.

Çözüm:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

F fonksiyonunun x değişkenine göre kısmi türevini hesaplamak için, x'e göre olağan türev gerçekleştirildi, ancak y değişkeninin sabitmiş gibi alındığına dikkat edin. Benzer şekilde, f'nin y'ye göre kısmi türevinin hesaplanmasında, x değişkeni bir sabitmiş gibi alınmıştır.

F (x, y) fonksiyonu, şekil 1'de koyu sarı renkte gösterilen paraboloit olarak adlandırılan bir yüzeydir.

Örnek 2

Örnek 1'deki f (x, y) fonksiyonunun X ekseni yönünde ve (x = 1, y = 2) noktası için Y ekseni yönünde değişim oranını (veya eğimini) bulun.

Çözüm: Verilen noktada x ve y yönlerindeki eğimleri bulmak için, noktanın değerlerini ∂ _x f (x, y) fonksiyonuna ve ∂ _y f (x, y) fonksiyonuna koyun :

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _ve f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Şekil 1, f (x, y) fonksiyonunun y = 2 düzlemi ile kesişmesi ile belirlenen eğriye teğet çizgisini (kırmızı renkte) göstermektedir, bu doğrunun eğimi -2'dir. Şekil 1 ayrıca f fonksiyonunun x = 1 düzlemi ile kesişimini tanımlayan eğriye teğet çizgisini (yeşil) göstermektedir; Bu çizginin eğimi -4.

Egzersizler

1. Egzersiz

Belirli bir zamanda konik bir cam su içerir, böylece suyun yüzeyinin yarıçapı r ve derinliği h olur. Ancak camın dibinde, saniyede C santimetre küp oranında suyun kaybolduğu küçük bir delik vardır. Saniyede santimetre cinsinden su yüzeyinden alçalma oranını belirleyin.

Çözüm:

Her şeyden önce, verilen andaki su hacminin şu olduğunu hatırlamak gerekir:

Hacim, yarıçap r ve derinlik h: V (r, h) olmak üzere iki değişkenin bir fonksiyonudur.

Hacim sonsuz küçük bir miktarda dV değiştiğinde, su yüzeyinin yarıçapı r ve suyun derinliği h da aşağıdaki ilişkiye göre değişir:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

V'nin kısmi türevlerini sırasıyla r ve h'ye göre hesaplamaya devam ediyoruz:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Ayrıca, yarıçap r ve derinlik h aşağıdaki ilişkiyi karşılar:

Her iki üyeyi de zaman farkına göre bölmek dt şunu verir:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Ancak dV / dt, saniyede C santimetre olduğu bilinen birim zamanda kaybedilen su hacmidir, dh / dt ise v olarak adlandırılacak serbest su yüzeyinin alçalma hızıdır. Yani, verilen anda su yüzeyi aşağıdakiler tarafından verilen bir v (cm / s cinsinden) hızında alçalır:

v = C / (π r ^ 2).

Sayısal bir uygulama olarak, r = 3 cm, h = 4 cm ve kaçak oranının C 3 cm ^ 3 / s olduğunu varsayalım. O zaman yüzeyin o andaki alçalma hızı:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / sn = 1,1 mm / sn.

Egzersiz 2

Clairaut-Schwarz teoremi, bir fonksiyonun bağımsız değişkenlerinde sürekli olması ve bağımsız değişkenlere göre kısmi türevlerinin de sürekli olması durumunda, ikinci dereceden karışık türevlerin birbirleriyle değiştirilebileceğini belirtir. Fonksiyon için bu teoremi kontrol edin

f (x, y) = x ^ 2 y, yani f _xy f = ∂ _yx f olduğu doğru olmalıdır .

Çözüm:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) iken ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Schwarz teoreminin geçerli olduğu kanıtlanmıştır, çünkü f fonksiyonu ve kısmi türevleri tüm gerçek sayılar için süreklidir.

Referanslar

1. Frank Ayres, J. ve Mendelson, E. (2000). Hesaplama 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Analitik geometri ile hesaplama. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. ve Rigdon, SE (2007). Hesaplama. Meksika: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferansiyel hesap. Hipotenüs.
5. Saenz, J. (2006). Integral hesabı. Hipotenüs.
6. Vikipedi. Kısmi türev. Kurtarıldı: es.wikipedia.com