NORMAL DAĞILIM: FORMÜL, ÖZELLIKLER, ÖRNEK, EGZERSIZ - MATEMATIK - 2024

Normal dağılım veya Gauss dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonu, bir çan şekline yol açar karesel ve negatif değişken bir üstel fonksiyon tarafından tarif edildiği gibi olduğu bir sürekli değişken bölgesi olasılık dağılımıdır.

Normal dağılımın adı, bu dağılımın belirli bir grup veya popülasyonda bazı sürekli rastgele değişkenin yer aldığı en fazla sayıda durum için geçerli olmasından gelir.

Şekil 1. Normal dağılım N (x; μ, σ) ve olasılık yoğunluğu f (s; μ, σ). (Kendi detaylandırma)

Normal dağılımın uygulandığı örnekler şunlardır: erkeklerin veya kadınların boyu, belirli bir fiziksel büyüklük ölçüsündeki varyasyonlar veya belirli bir ürünün entelektüel bölümü veya tüketim alışkanlıkları gibi ölçülebilir psikolojik veya sosyolojik özellikler.

Öte yandan, buna Gauss dağılımı veya Gauss çanı denir, çünkü 1800 yılında astronomik ölçümlerin istatistiksel hatasını açıklamak için verdiği kullanımdan dolayı keşfiyle tanınan bu Alman matematik dehasıdır.

Ancak, bu istatistiksel dağılımın daha önce 1733'te Abraham de Moivre gibi Fransız kökenli bir başka büyük matematikçi tarafından yayınlandığı belirtiliyor.

formül

Sürekli değişken x'teki normal dağılım fonksiyonu, μ ve σ parametreleriyle ifade edilir:

N (x; μ, σ)

ve açıkça şu şekilde yazılmıştır:

N (x; μ, σ) = ∫ _-∞ ^x f (s; μ, σ) ds

f (u; μ, σ) olasılık yoğunluk fonksiyonudur:

f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s ² / (2σ ² ))

Olasılık yoğunluk fonksiyonunda üstel fonksiyonu çarpan sabite normalleştirme sabiti denir ve şu şekilde seçilmiştir:

N (+ ∞, μ, σ) = 1

Önceki ifade, rastgele değişken x'in -∞ ile + ∞ arasında olma olasılığının 1, yani% 100 olasılık olmasını sağlar.

Μ parametresi, sürekli rastgele değişken x'in aritmetik ortalamasıdır ve σ aynı değişkenin varyansının standart sapması veya kareköküdür. Μ = 0 ve σ = 1 olması durumunda, standart normal dağılıma veya tipik normal dağılıma sahibiz:

N (x; μ = 0, σ = 1)

Normal dağılımın özellikleri

1- Rastgele bir istatistiksel değişken, normal bir olasılık yoğunluğu dağılımını takip ediyorsa f (s; μ, σ), verilerin çoğu ortalama değer μ etrafında gruplandırılır ve etrafına öyle bir şekilde dağılır: Verilerin ⅔'si μ - σ ile μ + σ arasındadır.

2- Standart sapma σ her zaman pozitiftir.

3- Yoğunluk fonksiyonunun şekli f bir zile benzer, bu nedenle bu fonksiyon genellikle bir Gauss zili veya Gauss fonksiyonu olarak adlandırılır.

4- Bir Gauss dağılımında ortalama, medyan ve mod çakışır.

5- Olasılık yoğunluk fonksiyonunun bükülme noktaları tam olarak μ - σ ve μ + σ'dadır.

6- f fonksiyonu, ortalama değeri μ üzerinden geçen bir eksen etrafında simetriktir ve x ⟶ + ∞ ve x ⟶ -∞ için asimptotik olarak sıfıra sahiptir.

7- σ değeri ne kadar yüksekse, ortalama değer etrafındaki verilerin dağılımı, gürültüsü veya mesafesi o kadar büyük olur. Başka bir deyişle, σ ne kadar yüksekse, çan şekli daha açıktır. Öte yandan, σ küçük, zarların ortalamaya yakın olduğunu ve zilin şeklinin daha kapalı veya sivri olduğunu gösterir.

8- Dağılım fonksiyonu N (x; μ, σ), rastgele değişkenin x'ten küçük veya ona eşit olma olasılığını gösterir. Örneğin, Şekil 1'de (yukarıda), x değişkeninin 1.5'ten küçük veya eşit olma olasılığı P% 84'tür ve olasılık yoğunluk fonksiyonu f (x; μ, σ) altındaki alana karşılık gelir. -∞ ila x.

Güvenilirlik aralığı

9- Veriler normal dağılım gösteriyorsa bunların% 68,26'sı μ - σ ile μ + σ arasındadır.

Normal dağılımı izleyen verilerin% 10- 95,44'ü μ - 2σ ile μ + 2σ arasındadır.

Normal dağılım izleyen verilerin% 11- 99,74'ü μ - 3σ ile μ + 3σ arasındadır.

12- Rastgele bir değişken x bir N (x; μ, σ) dağılımını takip ediyorsa, o zaman değişken

z = (x - μ) / σ, standart normal dağılım N (z; 0.1) 'yi izler.

Değişken x'in z'ye değiştirilmesi, standardizasyon veya tipleme olarak adlandırılır ve standart dağılımın tablolarını standart olmayan normal dağılımı izleyen verilere uygularken çok kullanışlıdır.

Normal dağılım uygulamaları

Normal dağılımı uygulamak için, analitik bakış açısından kolay olmayan ve her zaman sayısal hesaplamasına izin veren bir bilgisayar programı olmayan olasılık yoğunluğunun integralinin hesaplanmasından geçmek gerekir. Bu amaçla, μ = 0 ve σ = 1 durumunda normal dağılımdan başka bir şey olmayan normalleştirilmiş veya standartlaştırılmış değerler tabloları kullanılır.

Standartlaştırılmış normal dağılım tablosu (kısım 1/2)

Standartlaştırılmış normal dağılım tablosu (bölüm 2/2)

Bu tabloların negatif değerler içermediğine dikkat edilmelidir. Bununla birlikte, Gauss olasılık yoğunluk fonksiyonunun simetri özelliklerini kullanarak karşılık gelen değerler elde edilebilir. Aşağıda gösterilen çözülmüş alıştırma, bu durumlarda tablonun kullanımını göstermektedir.

Misal

Diyelim ki, ortalama 10 ve standart sapma 2 normal dağılımını izleyen bir dizi rastgele x veriniz var.

a) Rastgele değişken x, 8'den küçük veya 8'e eşittir.

b) 10'dan küçük veya 10'a eşit.

c) x değişkeninin 12'nin altında olması.

d) Bir x değerinin 8 ile 12 arasında olma olasılığı.

Çözüm:

a) İlk soruyu cevaplamak için şunları hesaplamanız yeterlidir:

N (x; μ, σ)

X = 8, μ = 10 ve σ = 2 ile. Temel fonksiyonlarda analitik bir çözüme sahip olmayan bir integral olduğunun farkındayız, ancak çözüm, erf (x) hata fonksiyonunun bir fonksiyonu olarak ifade edilir.

Öte yandan, GeoGebra gibi birçok hesap makinesi, hesap tablosu ve bilgisayar programının yaptığı gibi integrali sayısal biçimde çözme olasılığı vardır. Aşağıdaki şekil, ilk duruma karşılık gelen sayısal çözümü göstermektedir:

Şekil 2. Olasılık yoğunluğu f (x; μ, σ). Gölgeli alan P (x ≤ 8) 'i temsil eder. (Kendi detaylandırma)

ve cevap, x'in 8'in altında olma olasılığı:

P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) Bu durumda, rastgele değişken x'in ortalamanın altında olma olasılığını bulmaya çalışırız ki bu durumda bu 10 değerindedir. Verilerin yarısının aşağıda olduğunu bildiğimiz için yanıt herhangi bir hesaplama gerektirmez. ortalama ve diğer yarısı ortalamanın üzerinde. Bu nedenle cevap şudur:

P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) Bu soruyu cevaplamak için, istatistiksel fonksiyonlara sahip bir hesap makinesi veya GeoGebra gibi bir yazılım aracılığıyla yapılabilecek N (x = 12; μ = 10, σ = 2) 'yi hesaplamamız gerekir:

Şekil 3. Olasılık yoğunluğu f (x; μ, σ). Gölgeli alan P (x ≤ 12) 'yi temsil eder. (Kendi detaylandırma)

C bölümünün cevabı şekil 3'te görülebilir ve şu şekildedir:

P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) x rastgele değişkeninin 8 ile 12 arasında olma olasılığını bulmak için a ve c bölümlerinin sonuçlarını aşağıdaki gibi kullanabiliriz:

P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 =% 68,26.

Egzersiz çözüldü

Bir şirketin hisse senedinin ortalama fiyatı 25 dolar ve standart sapma 4 dolar. Olasılığı belirleyin:

a) Bir eylemin maliyeti 20 dolardan azdır.

b) Maliyeti 30 dolardan fazla.

c) Fiyat 20 ila 30 ABD Doları arasındadır.

Cevapları bulmak için standart normal dağılım tablolarını kullanın.

Çözüm:

Tablolardan yararlanabilmek için normalleştirilmiş veya yazılan z değişkenine geçmek gerekir:

Normalleştirilmiş değişkendeki 20 $ z = (20 $ - 25 $) / 4 $ = -5/4 = -1.25 ve

Normalleştirilmiş değişkendeki 30 $ z = (30 $ - 25 $) / 4 $ = +5/4 = +1.25'e eşittir.

a) Normalleştirilmiş değişkende 20 $ -1.25'e eşittir, ancak tablo negatif değerlere sahip değildir, bu nedenle 0.8944 değerini veren +1.25 değerini yerleştiririz.

Bu değerden 0,5 çıkarılırsa, sonuç 0 ile 1,25 arasındaki alan olur ve bu arada -1,25 ile 0 arasındaki alanla aynıdır (simetri ile). Çıkarma sonucu 0,8944'tür - 0,5 = 0,3944, -1,25 ile 0 arasındaki alandır.

Ancak -∞ ile -1.25 arasındaki alan ilgi çekicidir ve bu 0.5 - 0.3944 = 0.1056 olacaktır. Bu nedenle, bir hissenin 20 doların altında olma olasılığının% 10,56 olduğu sonucuna varılmıştır.

b) Yazılan z değişkenindeki 30 $ 1,25'tir. Bu değer için tablo, 0.8944 sayısını gösterir ve bu sayı -∞ ile +1.25 arasındaki alana karşılık gelir. +1,25 ile + ∞ arasındaki alan (1 - 0,8944) = 0,1056'dır. Başka bir deyişle, bir hissenin 30 dolardan fazlaya mal olma olasılığı% 10,56'dır.

c) Bir eylemin maliyetinin 20 ila 30 ABD Doları arasında olma olasılığı aşağıdaki şekilde hesaplanacaktır:

% 100 -% 10,56 -% 10,56 =% 78,88

Referanslar

1. İstatistik ve olasılık. Normal dağılım. Kurtarıldı: projectdescartes.org
2. Geogebra. Klasik geogebra, olasılık hesabı. Geogebra.org'dan kurtarıldı
3. MathWorks. Gauss dağılımı. Es.mathworks.com adresinden kurtarıldı
4. Mendenhall, W. 1981. Yönetim ve Ekonomi için İstatistik. 3 üncü. baskı. Grupo Editoryal Iberoamérica.
5. Stat Trek. Kendinize İstatistikleri öğretin. Poisson Dağılımı. Kurtarıldı: stattrek.com,
6. Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11.. Ed. Pearson Education.
7. Vigo Üniversitesi. Ana sürekli dağılımlar. Anapg.webs.uvigo.es adresinden kurtarıldı
8. Vikipedi. Normal dağılım. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı