MATEMATIKSEL BEKLENTI: FORMÜL, ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMA - DUDAS - 2026

Matematiksel beklenen ya da rastgele değişken X beklenen değeri, E (x) olarak ifade edilir ve meydana gelen rastgele olayın olasılık ve adı geçen etkinliğin değeri arasındaki çarpımı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

Şekil 1. Matematiksel beklenti borsada ve sigortacılıkta yaygın olarak kullanılmaktadır. Kaynak: Pixabay.

Burada x _i olayın değeridir ve P (x _i ) bunun gerçekleşme olasılığıdır. Toplama, X'in kabul ettiği tüm değerleri kapsar ve eğer bunlar sonluysa, belirtilen toplam E (X) değerine yakınsar, ancak toplam yakınsamazsa, o zaman değişkenin beklenen bir değeri yoktur.

Sürekli değişken x olduğunda, değişken sonsuz değere sahip olabilir ve integraller toplamların yerini alır:

Burada f (x) olasılık yoğunluk fonksiyonunu temsil eder.

Genel olarak, matematiksel beklenti (ağırlıklı ortalama olan), her bir olayın eşit derecede olası olduğu ayrı dağılımlarla uğraşmadığımız sürece, aritmetik ortalamaya veya ortalamaya eşit değildir. O zaman ve ancak o zaman:

Burada n, olası değerlerin sayısıdır.

Kavram, kesinliklerin genellikle eksik olduğu ancak olasılıkların bulunduğu finansal piyasalarda ve sigorta şirketlerinde çok kullanışlıdır.

Matematiksel beklentinin özellikleri

Matematiksel beklentinin en önemli özellikleri arasında şunlar öne çıkıyor:

- İşaret: X pozitifse, E (X) de pozitif olacaktır.

- Bir sabitin beklenen değeri: Gerçek bir sabit k'nin beklenen değeri sabittir.

- Toplamdaki doğrusallık: Rastgele bir değişkenin beklentisi, yani X ve Y iki değişkeninin toplamı, beklentilerin toplamıdır.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Bir sabitle çarpma : Rastgele değişken kX biçimindeyse, burada k bir sabittir (gerçek sayı), beklenen değerin dışında çıkar.

- Ürünün beklenen değeri ve değişkenler arasındaki bağımsızlık : Rastgele bir değişken, bağımsız olan rastgele değişkenler X ve Y'nin ürünü ise, ürünün beklenen değeri, beklenen değerlerin ürünüdür.

Genel olarak, Y = g (X) ise:

- Beklenen değerde sıralama: X ≤ Y ise, o zaman:

Her birinin beklenen değerleri olduğu için.

Bahiste matematiksel beklenti

Ünlü gökbilimci Christian Huygens (1629-1695) gökyüzünü gözlemlemediğinde, kendisini diğer disiplinlerin yanı sıra şans oyunlarındaki olasılıkları incelemeye adadı. Şans oyunları hakkında akıl yürütme başlıklı 1656 çalışmasında matematiksel umut kavramını tanıtan oydu.

Şekil 2. Christiaan Huygens (1629-1625), beklenen değer kavramını borçlu olduğumuz parlak ve çok yönlü bir bilim adamıydı.

Huygens, bahislerin beklenen değere göre üç şekilde sınıflandırılabileceğini buldu:

-Avantajlı oyunlar: E (X)> 0

- Adil bahisler: E (X) = 0

-Dezavantajlı oyun: E (X) <0

Sorun, bir şans oyununda matematiksel beklentinin hesaplanmasının her zaman kolay olmamasıdır. Ve yapabildiğiniz zaman, sonuç bazen bahis yapıp yapmamayı merak edenler için hayal kırıklığı yaratıyor.

Basit bir bahis deneyelim: tura veya tura ve kaybeden 1 dolar kahve öder. Bu bahsin beklenen değeri nedir?

Bir turanın yuvarlanma olasılığı ½, bir kuyruğa eşittir. Rastgele değişken 1 $ kazanmak veya 1 $ kaybetmektir, kazanç + işareti ve kayıp - işareti ile gösterilir.

Bilgileri bir tabloda düzenleriz:

Sütunların değerlerini çarpıyoruz: 1. ½ = ½ ve (-1). ½ = -½ ve son olarak sonuçlar eklenir. Toplam 0'dır ve katılımcıların kazanmasının veya kaybetmesinin beklendiği adil bir oyundur.

Fransız ruleti ve piyango, bahisçilerin çoğunun kaybettiği handikap oyunlardır. Daha sonra, çözülmüş egzersizler bölümünde biraz daha karmaşık bir bahis var.

Örnekler

İşte matematiksel beklenti kavramının sezgisel olduğu ve kavramı netleştirdiği bazı basit örnekler:

örnek 1

Dürüst bir zar atarak başlayacağız. Lansmanın beklenen değeri nedir? Peki, eğer kalıp dürüstse ve 6 tura sahipse, herhangi bir değerin (X = 1, 2, 3… 6) yuvarlanma olasılığı 1 / 6'dır, şöyle:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Şekil 3. Dürüst bir kalıbın rulosunda, beklenen değer olası bir değer değildir. Kaynak: Pixabay.

Bu durumda beklenen değer ortalamaya eşittir, çünkü her yüz aynı çıkma olasılığına sahiptir. Ancak E (X) olası bir değer değildir çünkü hiçbir tura 3,5 değerinde değildir. Bu, bazı dağıtımlarda tamamen mümkündür, ancak bu durumda sonuç bahisçiye pek yardımcı olmaz.

İki jeton atışı ile başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

İki dürüst madeni para havaya fırlatılır ve X rastgele değişkenini yuvarlanan tura sayısı olarak tanımlarız. Meydana gelebilecek olaylar şunlardır:

-Hiçbir tura gelmez: 2 tura eşit 0 tura.

- 1 kafa ve 1 pul veya yazı çıkar.

-İki yüz çıkıyor.

C bir kafa ve T bir mühür olsun, bu olayları tanımlayan örnek alan şu şekildedir:

S _m = {Mühür-Mühür; Conta yüzeyi; Yüz-Seal; Yüz Yüz} = {TT, TC, CT, CC}

Gerçekleşen olayların olasılıkları:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tablo, elde edilen değerlerle oluşturulmuştur:

Başta verilen tanıma göre matematiksel beklenti şu şekilde hesaplanır:

Değişim değerleri:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Bu sonuç şu şekilde yorumlanır: Bir kişinin iki jetonu atarak çok sayıda deney yapmak için yeterli zamanı varsa, her atışta bir kafa alması beklenir.

Ancak, 2 etiketli sürümlerin tamamen mümkün olduğunu biliyoruz.

Egzersiz çözüldü

İki dürüst jeton atıldığında, aşağıdaki bahis yapılır: 2 tur gelirse 3 dolar kazanırsınız, 1 tur gelirse 1 dolar kazanırsınız, ancak iki pul çıkarsa 5 dolar ödemeniz gerekir. Bahsin beklenen kazancını hesaplayın.

Şekil 4. Bahse bağlı olarak, iki dürüst jeton atıldığında matematiksel beklenti değişir. Kaynak: Pixabay.

Çözüm

Rastgele değişken X, paranın bahiste aldığı değerlerdir ve olasılıklar önceki örnekte hesaplanmıştır, bu nedenle bahis tablosu:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Beklenen değer 0 olduğundan, bu adil bir oyundur, dolayısıyla burada bahisçinin kazanmaması ve kaybetmemesi beklenir. Bununla birlikte, bahsi bir handikap oyunu veya bir handikap oyunu yapmak için bahis miktarları değiştirilebilir.

Referanslar

1. Brase, C. 2009. Anlaşılabilir İstatistikler. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Rastgele bir değişkenin beklenen değeri veya matematiksel beklentisi kavramına giriş. Kurtarıldı: personal.us.es.
3. İstatistikler LibreTexts. Kesikli Rastgele Değişkenlerin Beklenen Değeri. Kurtarıldı: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Temel İstatistik. 11.. Ed Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Olasılık ve Bilim ve Mühendislik için İstatistik. 8. Baskı. Pearson Education.