TERS MATRIS: HESAPLAMA VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMA - MATEMATIK - 2024

Ters matris belirli bir matrisin orijinal çarpılır matris birim matrisi sahip olmasıdır. Ters matris, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanışlıdır, dolayısıyla nasıl hesaplanacağını bilmenin önemi vardır.

Matrisler, karmaşık problemleri çözmek için kompakt bir araç oldukları için fizik, mühendislik ve matematikte çok kullanışlıdır. Ters çevrilebilir olduklarında matrislerin faydası artar ve tersi de bilinir.

Şekil 1. Genel bir 2 × 2 matris ve ters matrisi gösterilmektedir. (Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır)

Grafik işleme, Büyük Veri, Veri Madenciliği, Makine Öğrenimi ve diğerleri alanlarında, çok büyük n'ye sahip nxn matrislerinin binlerce veya milyonlar mertebesinde ters matrisini değerlendirmek için verimli ve hızlı algoritmalar kullanılır.

Ters matrisin bir doğrusal denklem sistemini ele alırken kullanımını göstermek için, hepsinin en basit haliyle başlayacağız: 1 × 1 matrisler.

En basit durum: tek bir değişkenin doğrusal denklemi dikkate alınır: 2 x = 10.

Fikir x'in değerini bulmaktır, ancak "matris" yapılacaktır.

(X) vektörünü çarpan M = (2) matrisi, vektör (10) ile sonuçlanan 1 × 1 bir matristir:

M (x) = (10)

M matrisinin tersi M ^-1 ile gösterilir .

Bu "doğrusal sistemi" yazmanın genel yolu şudur:

MX = B, burada X (x) vektörü ve B vektör (10).

Tanım olarak, ters matris, orijinal matrisle çarpılan matris, kimlik matrisi I:

M ^-1 M = I

Ele alınan durumda, M ^-1 matrisi (½) matristir, yani M ^-1 = (½) çünkü M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Bilinmeyen X = (x) vektörünü bulmak için önerilen denklemde her iki üye de ters matris ile çarpılır:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Yalnızca karşılık gelen öğeleri eşit olduğunda, yani x = 5 olduğunda eşit olan iki vektörün eşitliğine ulaşılmıştır.

Bir matrisin tersini hesaplamak

Ters matrisin hesaplanmasını motive eden şey, aşağıdaki 2 × 2 sistemi gibi doğrusal sistemlerin çözümü için evrensel bir yöntem bulmaktır:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Önceki bölümde incelenen 1 × 1 durumundaki adımları takip ederek denklem sistemini matris formunda yazıyoruz:

Şekil 2. Matris formundaki doğrusal sistem.

Bu sistemin kompakt vektör gösteriminde aşağıdaki gibi yazıldığını unutmayın:

MX = B

nerede

Bir sonraki adım, M'nin tersini bulmaktır.

Yöntem 1: Gauss Eliminasyonunu Kullanma

Gauss eleme yöntemi uygulanacaktır. Matrisin satırları üzerinde temel işlemler yapmaktan oluşan bu işlemler şunlardır:

- Bir satırı sıfır olmayan bir sayı ile çarpın.

- Bir satırdan başka bir satırı veya başka bir satırın katını ekleyin veya çıkarın.

- Sıraları değiştirin.

Amaç, bu işlemlerle orijinal matrisi kimlik matrisine dönüştürmektir.

Bu yapıldığında, M matrisinde tam olarak aynı işlemler kimlik matrisine uygulanır. Satırlar üzerindeki birkaç işlemden sonra, M birim matrisine dönüştürüldüğünde, başlangıçta birim olan, M'nin ters matrisi, yani M ^{-1 olur} .

1- İşleme M matrisini ve yanında birim matrisini yazarak başlıyoruz:

2- İki satırı ekliyoruz ve sonucu ikinci satıra koyuyoruz, bu şekilde ikinci satırın ilk elemanında sıfır elde ediyoruz:

3- İkinci satırda 0 ve 1 elde etmek için ikinci satırı -1 ile çarpıyoruz:

4- İlk satır ½ ile çarpılır:

5- İkinci ve birincisi eklenir ve sonuç ilk satıra yerleştirilir:

6- Şimdi işlemi bitirmek için, ilk satır 2 ile çarpılarak ilk satırdaki özdeşlik matrisi ve ikinci satırdaki orijinal matris M'nin ters matrisi elde edilir:

Demek ki:

Sistem çözümü

Ters matris elde edildikten sonra, denklem sistemi, kompakt vektör denkleminin her iki üyesine ters matris uygulanarak çözülür:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Açıkça şuna benzeyen:

Ardından, X vektörünü elde etmek için matris çarpımı gerçekleştirilir:

Yöntem 2: Ekli matrisi kullanma

Bu ikinci yöntemde, ters matris, orijinal A matrisinin bitişik matrisinden hesaplanır .

Aşağıdaki şekilde verilen bir A matrisini varsayalım:

burada _{i, j} , A matrisinin i satırındaki ve j sütunundaki öğedir .

A matrisinin eki Adj (A) olarak adlandırılacaktır ve elemanları şunlardır:

ad _{ben, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

Burada Ai, j , orijinal matris A'nın i satırı ve j sütunu ortadan kaldırılarak elde edilen tamamlayıcı alt matristir . ¦ ¦ çubukları determinantın hesaplandığını gösterir, yani , Ai, j min, küçük tamamlayıcı matrisin determinantıdır.

Ters matris formülü

Orijinal matrisin bitişik matrisinden başlayarak ters matrisi bulma formülü aşağıdaki gibidir:

, Ters matris mi A , A ^-1 , bir eşlenik arasında devrik olan A belirleyicisi bölünür A .

Devrik bir ^T bir matris A sütun için satırlar değiştirilmesi ile elde edilir olduğunu, ilk satır birinci kolon olur ve ikinci sıra ikinci sütun ve bu orijinal matris n satır tamamlanana kadar açık konumuna gelir.

Egzersiz çözüldü

A matrisi aşağıdaki gibi olsun:

A'nın bitişik matrisinin her bir elemanı hesaplanır: Adj (A)

Sonuç olarak, A'nın eş matrisi, Adj (A) aşağıdaki gibidir:

Daha sonra matris A, det (A) 'nın determinantı hesaplanır:

Son olarak, A'nın ters matrisi elde edilir:

Referanslar

1. Anthony Nicolaides (1994) Belirleyiciler ve Matrisler. Yayını geç.
2. Awol Assen (2013) 3 × 3'ün Determinantlarının Hesaplanması Üzerine Bir Araştırma
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Doğrusal cebire giriş. ESIC Editoryal.
4. Dave Kirkby (2004) Matematik Bağlantısı. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Matematik: Bir Öğrencinin Hayatta Kalma Rehberi. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30 Saniyelik Matematik: Matematikte En Zihin Genişleyen 50 Teori. Ivy Press Limited.
7. Matris. Lap Lambert Akademik Yayınları.