KONVEKS ÇOKGEN: TANIM, ELEMANLAR, ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Bir dışbükey çokgen bu içindeki tüm diyagonalleri vardır ve açıları az 180 ° den ölçmek için, özelliği olan bir düzlemde bulunan bir geometrik bir rakamdır. Özellikleri arasında şunlar yer almaktadır:

1) Segmentlerin sonuncusunun birinciye katıldığı n ardışık segmentten oluşur. 2) Segmentlerin hiçbiri, bir iç bölge ve bir dış bölgedeki düzlemi sınırlandıracak şekilde kesişmez. 3) İç bölgedeki her açı, kesinlikle bir düzlem açısından daha küçüktür.

Şekil 1. Çokgenler 1, 2 ve 6 dışbükeydir. (Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır).

Bir çokgenin dışbükey olup olmadığını belirlemenin basit bir yolu, iki yarım düzlemi belirleyen, yanlarından birinden geçen çizgiyi dikkate almaktır. Bir taraftan geçen her çizgide, çokgenin diğer kenarları aynı yarı düzlemdeyse, o zaman dışbükey bir çokgendir.

Bir çokgenin elemanları

Her çokgen aşağıdaki unsurlardan oluşur:

- Yanlar

- Köşeler

Kenarlar, çokgeni oluşturan ardışık bölümlerin her biri. Bir çokgende, onu oluşturan parçaların hiçbiri açık uca sahip olamaz, bu durumda çokgen bir çizgi olur ama bir çokgen olmaz.

Tepe noktaları, iki ardışık bölümün birleşim noktalarıdır. Bir çokgende, köşelerin sayısı her zaman kenarların sayısına eşittir.

Bir çokgenin iki kenarı veya parçası kesişirse, çapraz bir çokgene sahipsiniz demektir. Kesişme noktası bir tepe noktası olarak kabul edilmez. Çapraz çokgen, dışbükey olmayan bir çokgendir. Yıldız çokgenleri çapraz çokgenlerdir ve bu nedenle dışbükey değildir.

Bir çokgenin tüm kenarları aynı uzunlukta olduğunda, o zaman normal bir çokgene sahip oluruz. Tüm normal çokgenler dışbükeydir.

Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenler

Şekil 1 birkaç çokgeni göstermektedir, bunların bazıları dışbükeydir ve bazıları değildir. Onları inceleyelim:

1 sayısı üç kenarlı bir çokgendir (üçgen) ve tüm iç açılar 180º'den küçüktür, bu nedenle dışbükey bir çokgendir. Tüm üçgenler dışbükey çokgenlerdir.

2 sayısı, kenarların hiçbirinin kesişmediği ve her bir iç açının 180º'den küçük olduğu dört kenarlı bir çokgendir (dörtgen). Daha sonra, dört kenarlı (dışbükey dörtgen) dışbükey bir çokgendir.

Öte yandan, 3 rakamı dört kenarlı bir çokgendir, ancak iç açılarından biri 180º'den büyüktür, bu nedenle dışbükeylik koşulunu karşılamaz. Yani, içbükey dörtgen adı verilen dışbükey olmayan dört kenarlı bir çokgendir.

4 rakamı, ikisi kesişen dört segmenti (kenarları) olan bir çokgendir. Dört iç açı 180º'den azdır, ancak iki taraf kesiştiği için dışbükey olmayan çapraz bir çokgendir (çapraz dörtgen).

Diğer bir durum 5 sayısıdır. Bu, beş kenarlı bir çokgendir, ancak iç açılarından biri 180º'den büyük olduğu için içbükey bir çokgene sahibiz.

Son olarak, yine beş kenarı olan 6 sayısı, tüm iç açıları 180º'den küçüktür, bu nedenle beş kenarı olan dışbükey bir çokgendir (dışbükey beşgen).

Dışbükey çokgenin özellikleri

1- Çaprazlanmamış bir çokgen veya basit bir çokgen, kendisini içeren düzlemi iki bölgeye ayırır. İç bölge ve dış bölge, çokgen iki bölge arasındaki sınırdır.

Ancak poligon ek olarak dışbükey ise, o zaman basitçe bağlanmış bir iç bölgeye sahibiz, yani iç bölgeden herhangi iki nokta alındığında, her zaman tamamen iç bölgeye ait olan bir segmentle birleştirilebilir.

Şekil 2. Dışbükey bir çokgen basitçe bağlanırken içbükey bir çokgen bağlanmaz. (Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır).

2- Bir dışbükey çokgenin her iç açısı bir düzlem açısından (180º) daha küçüktür.

3- Bir dışbükey çokgenin tüm iç noktaları, her zaman iki ardışık köşeden geçen çizginin tanımladığı yarı düzlemlerden birine aittir.

4- Dışbükey bir çokgende, tüm köşegenler tamamen iç çokgen bölgede bulunur.

5- Dışbükey bir çokgenin iç noktaları, her bir iç açı ile tanımlanan tamamen dışbükey açısal sektöre aittir.

6- Tüm köşelerinin bir çevresi üzerinde olduğu her çokgen, döngüsel çokgen adı verilen dışbükey bir çokgendir.

7- Her döngüsel çokgen dışbükeydir, ancak her dışbükey çokgen döngüsel değildir.

8- Tüm kenarları eşit uzunlukta olan herhangi bir çaprazlanmamış çokgen (basit çokgen) dışbükeydir ve normal bir çokgen olarak bilinir.

Dışbükey çokgenlerde köşegenler ve açılar

9- N kenarlı bir dışbükey çokgenin köşegenlerinin toplam N sayısı aşağıdaki formülle verilir:

N = ½ n (n - 3)

İspat: Her tepe noktasının n kenarı olan bir dışbükey çokgende, n - 3 köşegen çizilir, çünkü köşenin kendisi ve iki bitişik olan hariçtir. N tane köşe olduğundan, toplam n (n - 2) köşegen çizilir, ancak her köşegen iki kez çizilir, bu nedenle köşegen sayısı (tekrar olmadan) n (n-2) / 2'dir.

10- N kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılarının S toplamı aşağıdaki ilişki ile verilir:

S = (n - 2) 180º

Örnekler

örnek 1

Döngüsel altıgen, altı kenarı ve altı köşesi olan bir çokgendir, ancak tüm köşeler aynı çevrededir. Her döngüsel çokgen dışbükeydir.

Döngüsel altıgen.

Örnek 2

Normal bir enegonun iç açılarının değerini belirleyin.

Çözüm: Enegon 9 kenarlı bir çokgendir, ancak aynı zamanda düzgünse, tüm kenarları ve açıları eşittir.

9 kenarlı bir çokgenin tüm iç açılarının toplamı:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Ancak eşit ölçülerde α 9 iç açı vardır, bu nedenle aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır:

S = 9 α = 1260º

Buradan, normal enegonun her iç açısının ölçüsü α'nın aşağıdaki gibi olduğu sonucuna varılır:

α = 1260º / 9 = 140º