Katkı prensibi bize bir etkinlik sırayla, çeşitli alternatifleri olan, yürütülebilir tek bir seferde seçilebilir hangi, yapılacak kaç yolu ölçmek olanak sağlayan bir olasılık sayma tekniğidir. Bunun klasik bir örneği, bir yerden diğerine gitmek için bir ulaşım hattı seçmek istediğiniz zamandır.
Bu örnekte, alternatifler, ister hava, ister deniz veya kara olsun, istenen rotayı kapsayan tüm olası ulaşım hatlarına karşılık gelecektir. Aynı anda iki ulaşım aracını kullanan bir yere gidemeyiz; sadece birini seçmemiz gerekiyor.
Katkı ilkesi bize, bu yolculuğu yapmamız gereken yolların sayısının, istenen yere gitmek için mevcut olan her alternatifin (ulaşım araçları) toplamına karşılık geleceğini, hatta bir yerde mola veren ulaşım araçlarını da içereceğini söyler. (veya yerler) arasında.
Açıkçası, önceki örnekte her zaman olasılıklarımıza en uygun en rahat alternatifi seçeceğiz, ancak olasılıksal olarak bir olayın kaç şekilde gerçekleştirilebileceğini bilmek çok önemlidir.
Olasılık
Genel olarak olasılık, olayları veya fenomenleri ve rastgele deneyleri incelemekten sorumlu olan matematik alanıdır.
Bir deney veya rastgele fenomen, ilk prosedürde hiçbir şeyi değiştirmeden aynı başlangıç koşullarında gerçekleştirilse bile her zaman aynı sonuçları vermeyen bir eylemdir.
Rastgele bir deneyin nelerden oluştuğunu anlamanın klasik ve basit bir örneği, bir bozuk para veya zar atma eylemidir. Eylem her zaman aynı olacaktır, ancak örneğin her zaman "tura" veya "altı" alamayacağız.
Olasılık, belirli bir rastgele olayın ne sıklıkla meydana gelebileceğini belirlemek için teknikler sağlamaktan sorumludur; diğer niyetlerin yanı sıra asıl amaç, belirsiz olan gelecekteki olası olayları tahmin etmektir.
Bir olayın olasılığı
Daha özel olarak, bir A olayının meydana gelme olasılığı, sıfır ile bir arasında gerçek bir sayıdır; yani, aralığa ait bir sayı. P (A) ile gösterilir.
P (A) = 1 ise, A olayının meydana gelme olasılığı% 100'dür ve sıfır ise meydana gelme şansı yoktur. Örnek uzay, rastgele bir deney yapılarak elde edilebilecek tüm olası sonuçların kümesidir.
Vakaya bağlı olarak en az dört olasılık türü veya kavramı vardır: klasik olasılık, sıklıklı olasılık, öznel olasılık ve aksiyomatik olasılık. Her biri farklı vakalara odaklanıyor.
Klasik olasılık, örnek uzayının sonlu sayıda elemana sahip olduğu durumu kapsar.
Bu durumda, bir A olayının meydana gelme olasılığı, istenen sonucu elde etmek için mevcut alternatiflerin sayısının (yani, A kümesindeki elemanların sayısının) örnek uzaydaki elemanların sayısına bölünmesi olacaktır.
Burada, örnek uzayının tüm öğelerinin eşit derecede olası olması gerektiği dikkate alınmalıdır (örneğin, altı sayıdan herhangi birini elde etme olasılığının aynı olduğu, değiştirilmemiş bir verili olarak).
Örneğin, bir kalıbın yuvarlanmasının tek bir sayı alma olasılığı nedir? Bu durumda, A kümesi 1 ile 6 arasındaki tüm tek sayılardan oluşacak ve örnek uzay 1'den 6'ya kadar olan tüm sayılardan oluşacaktır. Yani, A 3 öğeye ve örnek uzay 6'ya sahiptir. Bu nedenle, P (A) = 3/6 = 1/2.
Katkı ilkesi nedir?
Daha önce belirtildiği gibi, olasılık, belirli bir olayın ne sıklıkla meydana geldiğini ölçer. Bu frekansı belirleyebilmenin bir parçası olarak, bu olayın kaç şekilde gerçekleştirilebileceğini bilmek önemlidir. Katkı ilkesi, bu hesaplamayı belirli bir durumda yapmamıza izin verir.
Ekleme ilkesi şunları belirler: Eğer A, "a" gerçekleştirilme yollarına sahip bir olaysa ve B, "b" gerçekleştirilme yollarına sahip başka bir olaysa ve ek olarak, yalnızca A veya B meydana gelebilir ve ikisi birden aynı zamanda, A veya B'yi (A deB) gerçekleştirme yolları a + b'dir.
Genel olarak, bu sonlu sayıda kümenin birleşimi için belirtilir (2'den büyük veya 2'ye eşit).
Örnekler
İlk örnek
Bir kitapçı edebiyat, biyoloji, tıp, mimarlık ve kimya alanlarında 15 farklı türde edebiyat, 25 biyoloji, 12 tıp, mimarlık 8 ve kimya üzerine 10 kitap satıyorsa, bir kişinin kaç seçeneği vardır? bir mimari kitap mı yoksa biyoloji kitabı mı seçmelisiniz?
Ekleme prensibi bize bu seçimi yapmanın seçenek veya yollarının sayısının 8 + 25 = 33 olduğunu söyler.
Bu ilke, tek bir olayın söz konusu olduğu ve bunun da farklı alternatiflerin gerçekleştirilmesi durumunda da uygulanabilir.
Diyelim ki belirli bir aktivite veya A olayını gerçekleştirmek istiyorsunuz ve bunun için birkaç alternatif var, mesela n.
Buna karşılık, ilk alternatif sahip 1 yapılmaktadır yollarını, ikinci alternatif sahip 2 yapılmaktadır yollarını ve böylece, alternatif n sayısı yapılabilir N yollar.
Ekleme prensibi, A olayının 1 + ila 2 +… + arasında n şekilde gerçekleştirilebileceğini belirtir .
İkinci örnek
Bir kişinin bir çift ayakkabı almak istediğini varsayalım. Ayakkabı mağazasına geldiğinde, ayakkabı numarasının sadece iki farklı modelini bulur.
Birinin iki rengi ve diğerinin beş rengi mevcuttur. Bu kişinin bu satın alma işlemini yapması için kaç yol var? Toplam prensibine göre cevap 2 + 5 = 7'dir.
Her ikisini aynı anda değil, bir olayı veya diğerini gerçekleştirmenin yolunu hesaplamak istediğinizde ek ilkesi kullanılmalıdır.
Bir olayı diğeriyle birlikte ("ve") gerçekleştirmenin farklı yollarını - yani her iki olayın da aynı anda gerçekleşmesi gerektiğini - hesaplamak için çarpma ilkesi kullanılır.
Ekleme ilkesi, aşağıdaki gibi olasılık açısından da yorumlanabilir: A olayının B ile aynı anda oluşamayacağını bilerek, P (A∪B) ile gösterilen bir olay A veya bir B olayının meydana gelme olasılığı, P (A∪B) = P (A) + P (B) ile verilir.
Üçüncü örnek
Bir zar atarken 5 elde etme veya bozuk para atarken tura çıkma olasılığı nedir?
Yukarıda görüldüğü gibi, genel olarak bir kalıbı yuvarlarken herhangi bir sayıyı alma olasılığı 1 / 6'dır.
Özellikle 5 alma olasılığı da 1 / 6'dır. Benzer şekilde, yazı tura atarken tura çıkma olasılığı 1 / 2'dir. Dolayısıyla bir önceki sorunun cevabı P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.
Referanslar
- Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Klasik Olasılık ve Uygulamaları İçin Hazırlık Yapmak. CRC Basın.
- Cifuentes, JF (2002). Olasılık Teorisine Giriş. Kolombiya vatandaşı.
- Daston, L. (1995). Aydınlanmada Klasik Olasılık. Princeton University Press.
- Hopkins, B. (2009). Ayrık Matematik Öğretimi için Kaynaklar: Sınıf Projeleri, Tarih Modülleri ve Makaleler.
- Johnsonbaugh, R. (2005). Ayrık Matematik. Pearson Education.
- Larson, HJ (1978). Olasılık teorisine ve istatistiksel çıkarıma giriş. Editör Limusa.
- Lütfiyya, LA (2012). Sonlu ve Ayrık Matematik Problem Çözücü. Araştırma ve Eğitim Derneği Editörleri.
- Martel, PJ ve Vegas, FJ (1996). Olasılık ve matematiksel istatistikler: klinik uygulama ve sağlık yönetimindeki uygulamalar. Díaz de Santos sürümleri.
- Padró, FC (2001). Ayrık Matematik. Politèc. Catalunya.
- Steiner, E. (2005). Uygulamalı bilimler için matematik. Reverte.