ARŞIMET PRENSIBI: FORMÜL, KANIT, UYGULAMALAR - FIZIKSEL - 2025

Arşimet ' prensibi bir gövde tamamen ya da kısmen daldırılmış olduğu durumları, itme adı verilen bir dikey yukarı doğru bir kuvvet alır olan vücut tarafından yeri değiştirilen sıvı hacminin ağırlığına denk.

Bazı nesneler suda yüzer, bazıları batar ve bazıları kısmen batar. Bir plaj topunu batırmak için çaba sarf etmek gerekir, çünkü onu hemen yüzeye geri döndürmeye çalışan kuvvet algılanır. Bunun yerine metal bir küre hızla batar.

Şekil 1. Yüzen balonlar: Arşimet prensibi uygulamada. Kaynak: Pixabay.

Öte yandan, su altındaki nesneler daha hafif görünür, bu nedenle ağırlığa karşı gelen sıvının uyguladığı bir kuvvet vardır. Ancak yerçekimini her zaman tam olarak telafi edemez. Ve su ile daha belirgin olmasına rağmen, gazlar da bu kuvveti içlerine batırılmış nesneler üzerinde üretebilirler.

Tarih

Tarihin en büyük bilim adamlarından biri olarak bu prensibi keşfetmiş olması gereken Syracuse Arşimet (MÖ 287-212) idi. Syracuse Kralı II. Hiero'nun bir kuyumcunun kendisine belirli miktarda altın verdiği yeni bir taç yapmasını emrettiğini söylüyorlar.

Arşimet

Kral yeni tacı aldığında bu doğru ağırlıktı, ancak kuyumcunun onu altın yerine gümüş ekleyerek aldattığından şüpheleniyordu. Tacı yok etmeden bunu nasıl kanıtlayabilirdi?

Hiero, bir bilim insanı olarak ünü iyi bilinen Arşimet'i sorunu çözmesine yardımcı olması için aradı. Efsane, Arşimet'in cevabı bulduğunda küvete daldığını ve duygusu öyle olduğunu, kralı aramak için Syracuse sokaklarında çıplak koştuğunu ve "onu buldum" anlamına gelen "eureka" diye bağırdığını belirtir.

Arşimet ne buldu? Peki, banyo yaparken, küvetteki su seviyesi girdiğinde yükseldi, bu da suya batmış bir cismin belirli bir hacimdeki sıvının yerini aldığı anlamına geliyor.

Ve eğer tacı suya batırırsa, bu aynı zamanda taç altından yapılmışsa belirli bir hacimde suyun, gümüş ile alaşımdan yapılmışsa farklı bir hacmin yerini almalıydı.

Formül

Arşimet prensibinin atıfta bulunduğu kaldırma kuvveti, hidrostatik itme veya kaldırma kuvveti olarak bilinir ve daha önce de söylediğimiz gibi, suya daldırıldığında vücut tarafından yer değiştiren sıvı hacminin ağırlığına eşittir.

Yer değiştiren hacim, tamamen veya kısmen su altında kalan nesnenin hacmine eşittir. Herhangi bir şeyin ağırlığı mg ve sıvının kütlesi yoğunluk x hacim olduğundan, itmenin büyüklüğünü B olarak ifade ettiğinden, matematiksel olarak elimizde:

B = m _akışkan xg = _akışkanın yoğunluğu x Batık hacim x yerçekimi

B = ρ _akışkan x V _batık xg

Yunanca ρ ("rho") harfinin yoğunluğu ifade ettiği yer.

Görünen ağırlık

Nesnelerin ağırlığı, bilinen mg ifadesi kullanılarak hesaplanır, ancak suya batırıldığında nesneler daha hafif hissedilir.

Bir nesnenin görünen ağırlığı, suya veya başka bir sıvıya batırıldığında sahip olduğu şeydir ve bunu bilerek, aşağıda görüleceği gibi, Kral Hiero'nun tacı gibi düzensiz bir nesnenin hacmi elde edilebilir.

Bunu yapmak için, tamamen suya batırılır ve bir dinamometreye bağlı bir ipe tutturulur - kuvvetleri ölçmek için kullanılan bir yayla donatılmış bir alet. Nesnenin ağırlığı arttıkça, aparatta sağlanan bir ölçekte ölçülen yayın uzaması da o kadar büyük olur.

Şekil 2. Batık bir nesnenin görünen ağırlığı. Kaynak: F. Zapata tarafından hazırlanmıştır.

Nesnenin hareketsiz olduğunu bilerek Newton'un ikinci yasasını uygulamak:

ΣF _y = B + T - W = 0

Görünen ağırlık W _a , T dizisindeki gerilime eşittir:

Baskı, ağırlığı telafi ettiğinden, akışkan kısmı hareketsiz olduğundan, o zaman:

Bu ifadeden, itme kuvvetinin silindirin üst yüzü ile alt yüzü arasındaki basınç farkından kaynaklandığı anlaşılmaktadır. W = mg = ρ akışkan olduğundan. V. g, şunları yapmak zorundadır:

Bir önceki bölümde bahsedilen itme kuvvetinin tam olarak ifadesidir.

Uygulamalar

Arşimet prensibi, aralarında şunları sayabileceğimiz birçok pratik uygulamada ortaya çıkar:

- Aerostatik balon. Ortalama yoğunluğu nedeniyle, çevreleyen havadan daha az olan, itme kuvveti nedeniyle içinde yüzer.

- Gemiler. Gemilerin gövdesi sudan daha ağırdır. Ancak tüm gövde artı içerideki hava dikkate alınırsa, toplam kütlenin hacme oranı sudan daha azdır ve gemilerin yüzmesinin nedeni budur.

- Can yeleği. Hafif ve gözenekli malzemelerden yapıldıkları için yüzebilirler çünkü kütle-hacim oranı sudan daha düşüktür.

- Bir su tankının doldurma musluğunu kapatmak için şamandıra. Suyun üzerinde yüzen büyük hacimli hava dolu bir küredir, bu da itme kuvvetinin - kaldıraç etkisiyle çarpılarak - su tankının dolum musluğunun kapağını seviyeye ulaştığında kapatmasına neden olur. Toplam.

Örnekler

örnek 1

Efsaneye göre Kral Hiero kuyumcuya bir taç yapması için belirli bir miktar altın verdi, ancak güvensiz hükümdar, kuyumcunun tacın içine altından daha az değerli bir metal yerleştirerek hile yapmış olabileceğini düşünüyordu. Ama tacı yok etmeden nasıl bilebilirdi?

Kral sorunu Arşimet'e emanet etti ve bu, çözümü arayan ünlü prensibini keşfetti.

Koronanın havada 2,10 kg-f ve tamamen suya batırıldığında 1,95 kg-f ağırlığında olduğunu varsayalım. Bu durumda aldatma var mı yoksa yok mu?

Şekil 5. Kral Heron'un tacının serbest cisim diyagramı. Kaynak: F. Zapata tarafından hazırlanmıştır.

Kuvvetlerin diyagramı yukarıdaki şekilde gösterilmektedir. Bu kuvvetler şunlardır: tacın ağırlığı P , tartıdan sarkan ipin baskısı E ve gerilimi T.

P = 2.10 kg-f ve T = 1.95 kg-f olarak bilinir, E itme kuvvetinin büyüklüğünü belirlemeye devam eder :

Öte yandan, Arşimet prensibine göre, E itme kuvveti, tacın kapladığı alandan yer değiştiren suyun ağırlığına, yani suyun yoğunluğu çarpı yerçekiminin ivmesinden dolayı taç hacmine eşittir:

Taç hacminin hesaplanabileceği yerden:

Tacın yoğunluğu, tepenin sudan çıkan kütlesi ile hacmi arasındaki orandır:

Saf altının yoğunluğu benzer bir prosedürle belirlenebilir ve sonuç 19300 kg / m ^ 3'tür.

İki yoğunluğu karşılaştırdığımızda, tacın saf altın olmadığı açıktır!

Örnek 2

Örnek 1'deki verilere ve sonuca dayanarak, altının bir kısmının yoğunluğu 10.500 kg / m ^ 3 olan gümüş ile değiştirilmiş olması durumunda kuyumcu tarafından ne kadar altın çalındığını belirlemek mümkündür.

Taç yoğunluğu ρ c, ρo altının yoğunluğu ve ρ _p gümüşün yoğunluğu diyeceğiz .

Tacın toplam kütlesi:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Tacın toplam hacmi, gümüşün hacmi artı altının hacmidir:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Denklemde kütle için ikame şu şekildedir:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Yani, toplam V hacminin tacını içeren altın Vo hacmi:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

Tacın içerdiği altın cinsinden ağırlığı bulmak için, Vo ile altının yoğunluğunu çarpıyoruz:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Tacın kütlesi 2,10 kg olduğu için, 0,94858 kg altının kuyumcu tarafından çalındığını ve yerine gümüşün geçtiğini biliyoruz.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Büyük bir helyum balonu bir kişiyi dengede tutabilir (yukarı veya aşağı gitmeden).

Kişinin ağırlığı artı sepet, ipler ve balonun 70 kg olduğunu varsayalım. Bunun gerçekleşmesi için gereken helyum hacmi nedir? Balon ne kadar büyük olmalı?

Çözüm

İtme kuvvetinin esas olarak helyum hacmi tarafından üretildiğini ve geri kalan bileşenlerin itme kuvvetinin çok daha fazla hacim kaplayan helyuma kıyasla çok küçük olduğunu varsayacağız.

Bu durumda, 70 kg + helyum ağırlığı kadar bir itme sağlayabilen bir hacimde helyum gerektirecektir.

Şekil 6. Helyum dolu balonun serbest cisim diyagramı. Kaynak: F. Zapata tarafından hazırlanmıştır.

İtme, helyum hacmi ile helyum yoğunluğu ile yerçekiminin ivmesinin çarpımıdır. Bu itme, helyumun ağırlığı ile geri kalan her şeyin ağırlığını dengelemelidir.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

buradan V = M / (Da - Dh) olduğu sonucuna varılmıştır.

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Yani, atmosfer basıncında yükselmenin olması için 65.4 m ^ 3 helyum gereklidir.

Küresel bir küre varsayarsak, onun yarıçapını bir kürenin hacmi ve yarıçapı arasındaki ilişkiden bulabiliriz:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Nereden R = 2.49 m. Yani helyumla doldurulmuş 5 m çapında bir balona ihtiyaç duyacaktır.

Egzersiz 2

Sudan daha düşük yoğunluğa sahip malzemeler, içinde yüzer. Polistiren (beyaz mantar), tahta ve buz küpleriniz olduğunu varsayalım. Metreküp başına kg cinsinden yoğunlukları sırasıyla: 20, 450 ve 915'tir.

Toplam hacmin ne kadarının su dışında olduğunu ve su yüzeyinin üzerinde ne kadar yüksek olduğunu bulun, ikincisinin yoğunluğu metre küp başına 1000 kilogram olsun.

Çözüm

Yüzdürme, vücudun ağırlığı sudan dolayı itme kuvvetine eşit olduğunda oluşur:

E = M⋅g

Şekil 7. Kısmen suya batmış bir nesnenin serbest cisim diyagramı. Kaynak: F. Zapata tarafından hazırlanmıştır.

Ağırlık, cismin yoğunluğunun hacmi V ve yerçekimi ivmesi g ile çarpımıdır.

İtme, Arşimet prensibine göre yer değiştiren sıvının ağırlığıdır ve suyun yoğunluğu D ile batık hacim V 've yerçekimi ivmesi çarpılarak hesaplanır.

Yani:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Bu, batık hacim oranının, cismin yoğunluğu ile su yoğunluğu arasındaki bölüme eşit olduğu anlamına gelir.

Yani, olağanüstü hacim oranı (V '' / V)

H küpün çıkıntı yüksekliği ve L ise küpün kenarıysa, hacim oranı şu şekilde yazılabilir:

Dolayısıyla, sipariş edilen malzemeler için sonuçlar:

Polistiren (beyaz mantar):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) =% 98 sudan

Odun:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) =% 55 sudan

Buz:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) =% 8.5 su dışında

Referanslar

1. Bauer, W. 2011. Mühendislik ve Bilimler için Fizik. Cilt 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Akışkanlar Mekaniği. Temel bilgiler ve uygulamalar. İlk baskı. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Seri: Bilim ve Mühendislik için Fizik. Cilt 4. Akışkanlar ve Termodinamik. Douglas Figueroa (USB) tarafından düzenlendi. 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Akışkanların ve hidroliğin mekaniği. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Temel Fizik. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fizik: Kavramlar ve Uygulamalar. 7. Baskı. McGraw Hill.