BILEŞIK ORANTILILIK: AÇIKLAMA, ÜÇÜN BILEŞIK KURALI, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Bileşik ya da birden fazla orantı veri ve bilinmeyen arasında doğrudan gözlenebilir üzerinde iki büyüklük oranının, ve ters yüzdesini. Her iki prosedürde kullanılan teknikler benzer olsa da, bu basit orantılılığın daha gelişmiş bir versiyonudur.

Örneğin, 10 ton malı 3 saatte boşaltmak için 7 kişiye ihtiyaç duyulursa, 4 saatte 15 tonu boşaltmak için kaç kişinin gerekeceğini hesaplamak için bileşik orantılılık kullanılabilir.

Kaynak: Pixabay.com

Bu soruyu cevaplamak için, büyüklükleri ve bilinmeyenleri incelemek ve ilişkilendirmek için bir değerler tablosu yapmak uygundur.

Her büyüklük ile şimdiki bilinmeyen arasındaki ilişki türlerini analiz etmeye devam ediyoruz, bu durumda bu durum çalışacak insan sayısına karşılık gelir.

Malın ağırlığı arttıkça, onu boşaltmak için gereken kişi sayısı da artar. Bu nedenle kilo ile çalışanlar arasındaki ilişki doğrudandır.

Öte yandan işçi sayısı arttıkça çalışma saatleri azalmaktadır. Bu nedenle, insanlar ve çalışma saatleri arasındaki ilişki ters tiptedir.

Bileşik orantılar nasıl hesaplanır

Yukarıdaki gibi örnekleri çözmek için çoğunlukla üç yöntemin bileşik kuralı kullanılır. Bu, miktarlar ve bilinmeyenler arasındaki ilişki türlerini oluşturmaktan ve ardından kesirler arasındaki bir ürünü temsil etmekten oluşur.

İlk örneğe göre, değerler tablosuna karşılık gelen kesirler aşağıdaki gibi düzenlenmiştir:

Ancak bilinmeyeni çözmeden ve çözmeden önce, ters ilişkiye karşılık gelen kesirler tersine çevrilmelidir. Bu durum için değişken zamana karşılık gelir. Bu şekilde çözülecek işlem şöyle olacaktır:

Tek farkı 4/3 zaman değişkenine karşılık gelen kesrin tersine çevrilmesidir. X'in değerini çalıştırmaya ve temizlemeye devam ediyoruz.

Bu nedenle, 15 ton malı 4 saatte veya daha kısa sürede boşaltabilmek için on birden fazla kişiye ihtiyaç vardır.

açıklama

Orantılılık, değişime tabi olan miktarlar arasındaki sabit ilişkidir ve ilgili miktarların her biri için simetrik olacaktır. Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler vardır, bu nedenle basit veya bileşik orantılılık parametrelerini tanımlar.

Doğrudan üç kuralı

Değişkenler arasında, değiştirildiğinde aynı davranışı gösteren bir orantı ilişkisinden oluşur. Yüzden farklı büyüklüklere atıfta bulunan yüzdelerin hesaplanmasında, temel yapısının takdir edildiği çok sık görülür.

Örnek olarak 63'ün% 15'i hesaplanabilir, ilk bakışta bu yüzde kolayca anlaşılamaz. Ancak üç kuralı uygulayarak, aşağıdaki ilişki kurulabilir:% 100, 63, o zaman% 15 ise, ne kadar olur?

% 100 - 63

% 15 --– X

Ve ilgili işlem:

(% 15. 63) /% 100 = 9,45

Yüzde işaretlerinin basitleştirildiği ve 9.45 rakamı elde edildiği, 63'ün% 15'ini temsil eder.

Ters üç kuralı

Adından da anlaşılacağı gibi, bu durumda değişkenler arasındaki ilişki tam tersidir. Hesaplamaya geçmeden önce ters ilişki kurulmalıdır. Prosedürü, hesaplanacak fraksiyondaki yatırım haricinde, doğrudan üç kuralına benzerdir.

Örneğin, 3 ressam bir duvarı bitirmek için 5 saate ihtiyaç duyar. 4 ressam kaç saatte bitirir?

Bu durumda ilişki tersidir çünkü ressam sayısı arttıkça çalışma süresi kısalmalıdır. İlişki kurulur;

3 ressam - 5 saat

4 ressam - X saat

İlişki tersine döndüğünde, işlem sırası tersine döner. Bu doğru yoldur;

(3 ressam). (5 saat) / 4 ressam = 3.75 saat

Ressamlar terimi basitleştirilmiştir ve sonuç 3,75 saattir.

Durum

Bir bileşik veya çoklu orantılılığın mevcudiyetinde olmak için, büyüklükler ve değişkenler arasında her iki tür ilişki de bulmak gerekir.

- Doğrudan: Değişken bilinmeyenle aynı davranışa sahiptir. Yani biri arttığında veya azaldığında diğeri eşit olarak değişir.

- Ters: Değişken, bilinmeyene karşı bir zıtlık davranışına sahiptir. Değişken ve bilinmeyen arasındaki ters orantılı ilişkiyi temsil etmek için, değerler tablosunda adı geçen değişkeni tanımlayan kesir tersine çevrilmelidir.

Sonuçların doğrulanması

Bileşik oranlarla çalışırken büyüklük sırasını karıştırmak çok yaygındır, doğası çoğunlukla doğrudan ve basit bir üç kuralıyla çözülebilir olan olağan oran hesaplamalarında olanlardan farklı olarak.

Bu nedenle, sonuçların mantıksal sırasını incelemek, üçlü bileşik kuralıyla üretilen rakamların tutarlılığını doğrulamak önemlidir.

İlk örnekte, böyle bir hata yapmak sonuç olarak 20 ile sonuçlanacaktır. Yani 20 kişi 4 saatte 15 ton malı boşaltacak.

İlk bakışta çılgın bir sonuç gibi görünmüyor, ancak üründeki artış% 50 ve hatta daha büyük bir zaman aralığı olduğunda, personelde neredeyse% 200'lük bir artış (7'den 20 kişiye) merak ediyor. iş.

Bu nedenle, sonuçların mantıksal olarak doğrulanması, üçlü bileşik kuralının uygulanmasında önemli bir adımı temsil eder.

Boşluk

Doğası gereği matematiksel eğitim açısından daha temel olmasına rağmen, açıklık orantılılık durumlarında önemli bir adımı temsil eder. Yanlış bir açıklık, üç basit veya bileşik kuralda elde edilen herhangi bir sonucu geçersiz kılmak için yeterlidir.

Tarih

Üçün kuralı, Batı'da çeşitli yazarların yayınlarıyla Araplar aracılığıyla tanındı. Bunların arasında Al-Jwarizmi ve Al-Biruni.

Al-Biruni, çok kültürlü bilgisi sayesinde, üçün kuralına ilişkin en kapsamlı belgelerden sorumlu olan Hindistan'a yaptığı seyahatlerde bu uygulama ile ilgili geniş bilgiye erişim sağladı.

Araştırmasında, üç kuralının yaygınlaştığı ilk yerin Hindistan olduğunu belirtiyor. Yazar, doğrudan, ters ve hatta birleştirilmiş versiyonlarında akıcı bir şekilde gerçekleştirildiğini garanti eder.

Üçün kuralının Hindistan'ın matematiksel bilgisinin bir parçası haline geldiği kesin tarih hala bilinmemektedir. Ancak, bu uygulamayı ele alan en eski belge olan Bakhshali elyazması 1881'de keşfedildi. Şu anda Oxford'da bulunuyor.

Birçok matematik tarihçisi, bu el yazmasının günümüzün başlangıcına ait olduğunu iddia ediyor.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Bir havayolu şirketi 1.535 kişi taşımalıdır. 3 uçakla son yolcuyu varış noktasına ulaştırmanın 12 gün alacağı biliniyor. Havayoluna 450 kişi daha geldi ve bu göreve yardımcı olmak için 2 uçağın tamir edilmesi emredildi. Havayolunun her son yolcuyu varış noktasına ulaştırması kaç gün sürer?

İnsan sayısı ile çalışma günleri arasındaki ilişki doğrudandır, çünkü insan sayısı arttıkça, bu işi yapmak o kadar çok gün alacaktır.

Öte yandan, uçaklar ile günler arasındaki ilişki ters orantılıdır. Uçak sayısı arttıkça tüm yolcuların taşınması için gereken günler azalmaktadır.

Bu duruma atıfta bulunan değerler tablosu yapılır.

İlk örnekte detaylandırıldığı gibi, bilinmeyene göre ters değişkene karşılık gelen kesirde pay ve payda ters çevrilmelidir. İşlem şu şekildedir:

X = 71460/7675 = 9,31 gün

1985 kişiyi 5 uçakla nakletmek 9 günden fazla sürüyor.

Egzersiz 2

25 tonluk mısır mahsulü kargo kamyonlarına götürülüyor. Geçen yıl 150 işçi maaş bordrosu ile 8 saat sürdüğü biliniyor. Bu yıl için maaş bordrosu% 35 artarsa, kargo kamyonlarını 40 tonluk mahsulle doldurmaları ne kadar sürer?

Değerler tablosunu temsil etmeden önce, bu yıl için çalışan sayısı tanımlanmalıdır. Bu, 150 işçi olan ilk rakamdan% 35 arttı. Bunun için doğrudan üç kuralı kullanılır.

% 100 - 150

% 35 --– X

X = (35,100) / 100 = 52,5. Bu, elde edilen miktarın yuvarlanmasından sonra toplam 203 işçi elde eden bir önceki yıla göre ek işçi sayısıdır.

İlgili veri tablosunu tanımlamaya devam ediyoruz

Bu durumda ağırlık, bilinmeyen zamanla doğrudan ilişkili bir değişkeni temsil eder. Öte yandan, işçiler değişkeninin zamanla ters bir ilişkisi vardır. Çalışan sayısı arttıkça çalışma günü kısalır.

Bu hususları hesaba katarak ve işçi değişkenine karşılık gelen kesri ters çevirerek hesaplamaya devam ederiz.

X = 40600/6000 = 6,76 saat

Yolculuk 7 saatin biraz altında sürecektir.

Önerilen egzersizler

- 2875'in% 73'ünü tanımlayın.

- Gün içindeki toplamın sadece% 7'sini uyuduğu biliniyorsa Teresa'nın uyuduğu saatlerin sayısını hesaplayın. Haftada kaç saat uyuduğunuzu tanımlayın.

- Bir gazete sadece 2 baskı makinesi kullanarak her 5 saatte bir 2000 kopya yayınlamaktadır. 7 makine kullanırsa 1 saatte kaç kopya çıkaracak? 4 makine kullanarak 10.000 kopya üretmek ne kadar sürer?

Referanslar

1. Ansiklopedi Alvarez-inisiyasyon. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. İlk ve yüksek ilköğretim eğitiminin eksiksiz el kitabı: hevesli öğretmenlerin ve özellikle Eyaletteki Normal Okulların öğrencilerinin kullanımı için, Cilt 1. Joaquín Avendaño. D. Dionisio Hidalgo'nun baskısı, 1844.
3. Gerçek Fonksiyonların Rasyonel Yaklaşımı. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 Mart. 2011.
4. Orta Amerika'daki okullarda ve kolejlerde öğretim için temel aritmetik. Darío González. İpucu. Arenales, 1926.
5. Matematik Çalışması: Matematiğin çalışması ve zorlukları üzerine. Augustus De Morgan. Baldwin ve Cradock, 1830.