Herhangi bir tam sayı çiftinin 1'den başka ortak bir bölenine sahip olmaması için göreceli olarak asal (kopprime veya birbirine göre asaldır) denir .
Başka bir deyişle, iki tamsayı, asal sayılara ayrıştırılmalarında ortak bir faktörleri yoksa göreli asallardır.
Örneğin, 4 ve 25 seçilirse, her birinin asal çarpanlara ayırmaları sırasıyla 2² ve 5²'dir. Görülebileceği gibi, bunların herhangi bir ortak faktörü yoktur, bu nedenle 4 ve 25 göreceli asallardır.
Öte yandan 6 ve 24 seçilirse asal çarpanlara ayrıştırılırken 6 = 2 * 3 ve 24 = 2³ * 3 elde ederiz.
Gördüğünüz gibi, bu son iki ifadenin ortak en az bir çarpanı vardır, bu nedenle bunlar göreli asal sayılar değildir.
Akraba Kuzenler
Dikkat edilmesi gereken bir ayrıntı, bir tamsayı çiftinin göreceli asal sayılar olduğunu söylemenin, bunlardan herhangi birinin asal sayı olduğu anlamına gelmemesidir.
Öte yandan, yukarıdaki tanım şu şekilde özetlenebilir: iki tam sayı "a" ve "b", ancak ve ancak bunların en büyük ortak böleni 1, yani gcd ( a, b) = 1.
Bu tanımdan iki acil sonuç şudur:
- «a» (veya «b») bir asal sayı ise, gcd (a, b) = 1.
- «a» ve «b» asal sayılarsa, gcd (a, b) = 1.
Yani, seçilen sayılardan en az biri bir asal sayı ise, o zaman doğrudan sayı çifti göreli asallardır.
Diğer özellikler
İki sayının göreceli asal olup olmadığını belirlemek için kullanılan diğer sonuçlar şunlardır:
-İki tam sayı ardışıksa göreceli asal sayılardır.
-İki doğal sayı "a" ve "b", ancak ve ancak "(2 ^ a) -1" ve "(2 ^ b) -1" sayıları göreli asal sayılarsa göreceli asal sayılardır.
- İki tam sayı "a" ve "b", ancak ve ancak, Kartezyen düzlemde (a, b) noktasının grafiğini çizerken ve orijinden (0,0) ve ( a, b), tamsayı koordinatlı herhangi bir nokta içermez.
Örnekler
1.- 5 ve 12 tam sayılarını düşünün. Her iki sayının asal çarpanlarındaki ayrışmalar sırasıyla: 5 ve 2² * 3'tür. Sonuç olarak, gcd (5,12) = 1, bu nedenle, 5 ve 12 göreceli asallardır.
2.- -4 ve 6. sayıları alalım. Sonra -4 = -2² ve 6 = 2 * 3, böylece LCD (-4,6) = 2 ≠ 1 olsun. Sonuç olarak -4 ve 6 göreceli asal sayılar değildir.
Sıralı çiftlerden (-4.6) ve (0,0) geçen doğrunun grafiğini çizmeye ve söz konusu doğrunun denklemini belirlemeye devam edersek, (-2,3) noktasından geçtiği doğrulanabilir.
Yine -4 ve 6'nın göreceli asal olmadığı sonucuna varılır.
3.- 7 ve 44 sayıları göreceli asal sayılardır ve 7 asal sayı olduğu için yukarıda söylenenler sayesinde hızlıca sonuçlandırılabilir.
4.- 345 ve 346 sayılarını düşünün. Ardışık iki sayı olduğu için gcd (345,346) = 1 olduğu, dolayısıyla 345 ve 346'nın göreceli asal olduğu doğrulanmıştır.
5.- 147 ve 74 sayıları dikkate alınırsa, bunlar göreli asallardır, çünkü 147 = 3 * 7² ve 74 = 2 * 37, dolayısıyla LCD (147,74) = 1'dir.
6. - 4 ve 9 sayıları göreli asal sayılardır. Bunu göstermek için yukarıda bahsedilen ikinci karakterizasyon kullanılabilir. Aslında, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 ve 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Elde edilen sayılar 15 ve 511'dir. Bu sayıların asal çarpanlarına ayırmaları sırasıyla 3 * 5 ve 7 * 73, yani LCD (15,511) = 1.
Gördüğünüz gibi, ikinci karakterizasyonu kullanmak, doğrudan doğrulamaktan daha uzun ve daha zahmetli bir iştir.
7. - -22 ve -27 sayılarını düşünün. Daha sonra bu sayılar şu şekilde yeniden yazılabilir: -22 = -2 * 11 ve -27 = -3³. Bu nedenle, gcd (-22, -27) = 1, yani -22 ve -27 göreceli asallardır.
Referanslar
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. ve Soto, A. (1998). Sayı Teorisine Giriş. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Aritmetik elemanlar. Calleja Dullar ve Çocukları Kütüphanesi.
- Castañeda, S. (2016). Sayı teorisinin temel dersi. Kuzey Üniversitesi.
- Guevara, MH (nd). Tam Sayılar Seti. EUNED.
- Yüksek Öğretmen Eğitimi Enstitüsü (İspanya), JL (2004). Çocuğun ortamındaki sayılar, şekiller ve hacimler. Eğitim Bakanlığı.
- Palmer, CI ve Bibb, SF (1979). Pratik matematik: aritmetik, cebir, geometri, trigonometri ve sürgülü hesap cetveli (yeniden basılmıştır). Reverte.
- Rock, NM (2006). Cebir Kolay! Çok kolay. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Cebir. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Temel Matematik ve Ön Cebir (editör resimli). Kariyer Basını.
- Toral, C. ve Preciado, M. (1985). 2. Matematik Kursu. Editör Progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A. ve Colorado, H. (2010). Aritmetiğin Temel Prensipleri. ELIZCOM SAS