- Formüller ve özellikler
- Eğrinin altındaki alan
- Çözülmüş egzersizler
- - 1. Egzersiz
- Çözüm
- - Egzersiz 2
- Çözüm
- Referanslar
Riemann toplamı bakımından bir sonlu sayıda ayrı bir toplamı aracılığı ile kesin bir integrali yaklaşık hesabı verilen isimdir. Yaygın bir uygulama, bir grafikteki fonksiyonların alanının yaklaşık değeridir.
Belirli bir aralıktaki bir fonksiyonun integralinin titiz bir tanımını ilk kez sunan Alman matematikçi Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) idi. 1854'te yayınlanan bir makalesinde bunu duyurdu.
Şekil 1. Riemann toplamı, bir f fonksiyonunda ve aralıktaki bir bölümlemede tanımlanmıştır. Kaynak: Fanny Zapata.
Riemann toplamı, x kapalı aralığa ait olmak üzere, y = f (x) fonksiyonunda tanımlanır. Bu aralıkta, n elemanlı bir P bölümü yapılır:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Bu, aralığın aşağıdaki gibi bölündüğü anlamına gelir:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Şekil 1, gri dikdörtgenler olan dört alt aralığın bir bölümünde f fonksiyonunun Riemann toplamını grafiksel olarak göstermektedir.
Toplam, dikdörtgenlerin toplam alanını temsil eder ve bu toplamın sonucu, apsis x = x 0 ve x = x 4 arasındaki f eğrisinin altındaki alana sayısal olarak yaklaşır .
Tabii ki, eğrinin altındaki alana yaklaşım, bölümlerin sayısı n büyüdükçe çok gelişir. Böylelikle, bölümlerin n sayısı sonsuza meylettiğinde, toplam eğrinin altındaki alana yakınsar.
Formüller ve özellikler
Bölümdeki f (x) fonksiyonunun Riemann toplamı:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Aralık üzerinden tanımlanır, şu şekilde verilir:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
T k aralıktaki bir değerdir. Riemann toplamında, genellikle x = (b - a) / n genişlik aralıkları kullanılır, burada a ve b apsisin minimum ve maksimum değerleridir, n ise alt bölümlerin sayısıdır.
Bu durumda Riemann sağ toplamı:
Sd (f, n) = * Δx
Şekil 2. Riemann sağ toplamı. Kaynak: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Riemann sol toplamı şu şekilde ifade edilirken:
Eğer (f, n) = * Δx
Şekil 3. Sol Riemann toplamı. Kaynak: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Son olarak merkezi Riemann toplamı:
Original text
Akrep (f, n) = * Δx
Şekil 4. Ara Riemann toplamı. Kaynak: Wikimedia Commons. 09glasgow09
T k noktasının aralıkta nerede bulunduğuna bağlı olarak , Riemann toplamı y = f (x) fonksiyonunun eğrisinin altındaki alanın tam değerini abartabilir veya olduğundan az tahmin edebilir. Başka bir deyişle, dikdörtgenler eğriden dışarı çıkabilir veya biraz altında olabilir.
Eğrinin altındaki alan
Riemann toplamının ve öneminin kaynaklandığı temel özelliği, alt bölümlerin sayısı sonsuza meyilli ise, toplamın sonucunun fonksiyonun belirli integraline yakınsamasıdır:
Çözülmüş egzersizler
- 1. Egzersiz
Fonksiyonun a = -2 ile b = +2 arasındaki belirli integralin değerini hesaplayın:
f (x) = x 2
Riemann toplamından yararlanın. Bunu yapmak için, önce aralığın n normal bölümünün toplamını bulun ve ardından bölüm sayısının sonsuza eğilimi olduğu durum için matematiksel sınırı alın.
Çözüm
İzlenecek adımlar şunlardır:
-İlk olarak, bölüm aralığı şu şekilde tanımlanır:
Δx = (b - bir) / n.
-Sonra sağdaki f (x) fonksiyonuna karşılık gelen Riemann toplamı şöyle görünür:
-Ve sonra, özetlemede dikkatlice ikame edilir:
- Sonraki adım, toplamları ayırmak ve sabit miktarları her bir toplamın ortak faktörü olarak almaktır. Endeksin i olduğunu dikkate almak gerekir, bu nedenle n ile sayılar ve terimler sabit kabul edilir:
-Her toplamı değerlendirilir, çünkü her biri için uygun ifadeler vardır. Örneğin, toplamlardan ilki n verir:
-Son olarak, hesaplanacak integral:
Okuyucu, belirsiz integrali çözerek ve entegrasyon sınırlarını Barrow kuralıyla değerlendirerek elde edilebilecek kesin sonuç olup olmadığını kontrol edebilir.
- Egzersiz 2
İşlevin altındaki alanı yaklaşık olarak belirleyin:
F (x) = (1 / √ (2π)) e (= X 2 /2)
10 bölümlü merkezi bir Riemann toplamı kullanarak x = -1 ve x = + 1 girin. Kesin sonuçla karşılaştırın ve yüzde farkını tahmin edin.
Çözüm
Ardışık iki ayrık değer arasındaki adım veya artış şudur:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0.2
Böylece dikdörtgenlerin tanımlandığı P bölümü şuna benzer:
P = {-1.0; -0,8; -0.6; -0.4; -0,2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}
Ancak istenen şey merkezi toplam olduğundan, f (x) fonksiyonu alt aralıkların orta noktalarında, yani kümede değerlendirilecektir:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}.
(Merkez) Riemann toplamı şuna benzer:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
F fonksiyonu simetrik olduğundan, toplamı sadece 5 terime düşürmek mümkündür ve sonuç ikiyle çarpılır:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Bu örnekte verilen işlev, iyi bilinen Gauss çanından başkası değildir (normalleştirilmiş, ortalama sıfıra eşit ve standart sapma bir). Bu fonksiyon için aralıktaki eğrinin altındaki alan 0,6827 olarak bilinir.
Şekil 5. Riemann toplamı ile yaklaştırılan bir Gauss çanının altındaki alan. Kaynak: F. Zapata.
Bu, sadece 10 terimli yaklaşık çözümün tam çözümü üç ondalık basamağa eşleştirdiği anlamına gelir. Yaklaşık ve tam integral arasındaki yüzde hatası% 0,07'dir.
Referanslar
- Casteleiro, JM ve Gómez-Álvarez, RP (2002). İntegral hesap (Resimli ed.). Madrid: ESIC Editoryal.
- Unican. İntegral kavramının tarihi. Kurtarıldı: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann toplamları. Matematicas.uis.edu.co adresinden kurtarıldı
- Vikipedi. Riemann toplamı. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
- Vikipedi. Riemann entegrasyonu. Kurtarıldı: es.wikipedia.com