Yeşil sitesindeki teoremi bağlantı hattı integraller çift integraller veya yüzey alanı için kullanılan bir hesaplama yöntemi. İlgili fonksiyonlar vektör alanları olarak gösterilmeli ve C yolu içinde tanımlanmalıdır.
Örneğin, bir çizgi integral ifadesini çözmek çok zor olabilir; ancak Green teoremini uygulayarak, çift katlı integraller oldukça basit hale gelir. Yörüngenin pozitif yönüne saygı duymak her zaman önemlidir, bu saatin tersi yönünü ifade eder.
Green teoremi, vektör fonksiyonunun projeksiyonunun xy düzleminde gerçekleştirildiği Stokes teoreminin özel bir durumudur.
Tanım
Green Teoreminin ifadesi aşağıdaki gibidir:
İlk terim, "F" vektör fonksiyonu ile "r" vektörününki arasındaki skaler çarpımın yolu "C" tarafından tanımlanan çizgi integralini gösterir.
C: O düzlem için tanımlandığı sürece vektör fonksiyonunun yansıtılacağı tanımlanmış yoldur.
F: Vektör işlevi, bileşenlerinin her birinin böyle bir işlevle tanımlandığı (f, g).
r: Üzerinde integralin tanımlandığı R bölgesine teğet bir vektördür. Bu durumda, bu vektörün bir diferansiyeli ile çalışıyoruz.
İkinci terimde, g ve f'nin kısmi türevlerinin farkının R bölgesinde tanımlanan çift katlı integralin x ve y'ye göre sırasıyla gözlendiği Green teoreminin geliştirildiğini görüyoruz. İki boyutlu diferansiyellerin (dx.dy) ürününden başka bir şey olmayan bir alan diferansiyeline göre.
Bu teorem, uzay ve yüzey integralleri için mükemmel şekilde uygulanabilir.
gösteri
Green teoremini basit bir şekilde kanıtlamak için bu görev 2 kısma ayrılacaktır. Her şeyden önce, F vektör fonksiyonunun sadece i. Ayetinde bir tanımı olduğunu varsayacağız . J ayetine karşılık gelen "g" fonksiyonu sıfıra eşit olacaktır.
Yazar
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x ben + y j
dr = dx i + dy j
İlk olarak, yolun önce a'dan b'ye ve sonra b'den a'ya giden 2 bölüme ayrıldığı C yolu üzerinden çizgi integralini geliştiriyoruz.
Analizin temel teoreminin tanımı, belirli bir integral için uygulanır.
İfade, tek bir integrale yeniden düzenlenir, negatif, ortak bir faktör haline getirilir ve faktörlerin sırası tersine çevrilir.
Bu ifadeyi detaylı bir şekilde incelediğimizde, ilkel fonksiyon kriterlerini uygularken, f'den türetilen ifadenin y'ye göre integralinin varlığındayız. Parametrelerde değerlendirildi
Şimdi, F vektör fonksiyonunun sadece g (x, y) j için tanımlandığını varsaymak yeterlidir . Önceki duruma benzer bir şekilde çalıştırıldığında, aşağıdakiler elde edilir:
Bitirmek için, vektör fonksiyonunun her iki ayet için de değer aldığı durumda 2 prova alınır ve birleştirilir. Bu şekilde, tek boyutlu bir yörünge olarak tanımlanıp kabul edildikten sonra çizgi integralinin düzlem ve uzay için nasıl tam olarak geliştirilebileceği gösterilmiştir.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Bu şekilde Green teoremi kanıtlanmış olur.
Uygulamalar
Green teoreminin uygulamaları fizik ve matematik dallarında geniştir. Bunlar, hat entegrasyonuna verilebilecek herhangi bir uygulama veya kullanıma kadar uzanır.
Bir C yolu boyunca F kuvveti tarafından yapılan mekanik iş, Green teoremi ile bir alanın çift katlı integrali olarak ifade edilen bir çizgi integrali ile geliştirilebilir.
Farklı uygulama noktalarında dış kuvvetlere maruz kalan birçok cismin eylemsizlik momentleri, Green teoremi ile geliştirilebilen çizgi integrallerine de yanıt verir.
Bunun, kullanılan malzemelerin direnç çalışmalarında birden çok işlevi vardır. Dış değerlerin ölçülebildiği ve çeşitli unsurların geliştirilmesinden önce dikkate alınabildiği yerler.
Genel olarak, Green teoremi, vektör fonksiyonlarının bir yol boyunca bir bölgeye göre tanımlandığı alanların anlaşılmasını ve tanımlanmasını kolaylaştırır.
Tarih
1828'de İngiliz matematikçi George Green tarafından yazılan Elektrik ve manyetizma teorilerinin Matematiksel analizi adlı çalışmasında yayınlandı. İçinde, potansiyel fonksiyonlar kavramı, Green'in fonksiyonları ve kendi başlıklı teoreminin uygulamaları gibi, fizikte analiz uygulamasında oldukça belirleyici bölümler incelenmiştir.
George Green, şimdiye kadar tamamen kendi kendini yetiştiren bir matematikçi olarak 40 yaşında öğrenci kariyerini resmileştirdi. Cambridge Üniversitesi'nde okuduktan sonra araştırmalarına devam ederek bugün hala geçerli olan akustik, optik ve hidrodinamik alanlarında katkılar yaptı.
Diğer teoremlerle ilişki
Green teoremi özel bir durumdur ve kalkülüs alanındaki diğer 2 önemli teoremden ortaya çıkar. Bunlar Kelvin-Stokes teoremi ve diverjans veya Gauss Ostrogradski teoremidir.
İki teoremden birinden başlayarak, Green teoremine ulaşılabilir. Bu tür ispatları geliştirmek için belirli tanımlar ve önermeler gereklidir.
Egzersizler
- Aşağıdaki alıştırma, bir çizgi integralinin bir R bölgesine göre çift katlı integrale nasıl dönüştürüleceğini göstermektedir.
Orijinal ifade şudur:
Karşılık gelen af ve g işlevlerinin alındığı yerden
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Green teoremini uygularken entegrasyon sınırlarını tanımlamanın tek bir yolu yoktur. Ancak tanımlandıktan sonra integrallerin daha basit olabileceği yollar vardır. Bu nedenle, entegrasyon sınırlarının optimizasyonu ilgiyi hak ediyor.
İntegralleri çözerken elde ettiğimiz yer:
Bu değer, kübik birimlerde vektör fonksiyonunun altındaki bölgeye ve C ile tanımlanan üçgen bölgeye karşılık gelir.
Green yöntemini uygulamadan çizgi integrali durumunda, bölgenin her bölümündeki fonksiyonları parametreleştirmek gerekli olurdu. Yani, çözüm için 3 parametreli integral gerçekleştirin. Bu, Robert Green'in teoremiyle birlikte hesaba getirdiği verimliliğin yeterli kanıtıdır.
Referanslar
- Süreklilik Mekaniğine Giriş. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 Temmuz. 2009
- Çok Değişkenli Kalkülüs. James Stewart. Cengage Learning, 22 Mart 2011
- Green Teoreminin Resmi Olmayan Tarihi ve İlişkili Fikirler. James Joseph Cross. Matematik Bölümü, Melbourne Üniversitesi, 1975
- Yeşil Fonksiyonlarını Kullanarak Isı İletimi. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 Temmuz 2010
- Green Teoreminin Doğrusal İntegrallerin Ekstremizasyonuna Uygulanması. Savunma Teknik Bilgi Merkezi, 1961