MOIVRE TEOREMI: ISPAT VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Moivre teoremi gibi karmaşık sayı güçlerin ve çıkarılması kökler olarak cebri temel işlemleri uygulanır. Teorem, karmaşık sayıları trigonometri ile ilişkilendiren ünlü Fransız matematikçi Abraham de Moivre (1730) tarafından ifade edildi.

Abraham Moivre bu ilişkiyi sinüs ve kosinüs ifadeleriyle kurdu. Bu matematikçi, z karmaşık sayısını 1'den büyük veya ona eşit pozitif bir tam sayı olan n kuvvetine yükseltmenin mümkün olduğu bir tür formül üretti.

Moivre teoremi nedir?

Moivre teoremi şunları belirtir:

Kutupsal formda karmaşık bir sayıya _sahipsek , burada r, z karmaşık sayısının modülüdür ve Ɵ açısı, n– değerini hesaplamak için 0 ≤ Ɵ ≤ 2π olan herhangi bir karmaşık sayının genliği veya argümanı olarak adlandırılır. iktidar, onu n kez kendisiyle çarpmaya gerek olmayacak; yani, aşağıdaki ürünü yapmak gerekli değildir:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n kez.

Aksine, teorem, z'yi trigonometrik biçiminde yazarken, n'inci kuvveti hesaplamak için şu şekilde ilerlediğimizi söyler:

Eğer z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ise z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Örneğin n = 2 ise z ² = r ^{2 olur} . N = 3 ise, z ³ = z ² _* z. Ayrıca:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Bu şekilde, açının trigonometrik oranları bilindiği sürece, bir açının katları için sinüs ve kosinüsün trigonometrik oranları elde edilebilir.

Aynı şekilde, karmaşık bir z sayısının n'inci kökü için daha kesin ve daha az kafa karıştırıcı ifadeler bulmak için kullanılabilir, böylece z ⁿ = 1 olur.

Moivre teoremini kanıtlamak için matematiksel tümevarım ilkesi kullanılır: eğer bir tam sayı "a" bir "P" özelliğine sahipse ve "n" tamsayısı "a" dan büyükse "P" özelliğine sahipse Bu, n + 1'in aynı zamanda "P" özelliğine sahip olduğunu ve ardından "a" dan büyük veya eşit olan tüm tam sayıların "P" özelliğine sahip olmasını sağlar.

gösteri

Böylece teoremin ispatı aşağıdaki adımlarla yapılır:

Endüktif taban

Önce n = 1 için kontrol edilir.

Z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ olduğundan, teorem n = 1 için geçerlidir.

İndüktif hipotez

Formülün bazı pozitif tamsayılar için doğru olduğu varsayılır, yani n = k.

z ^k = (r (marul Ɵ + i _* günah Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* günah k Ɵ).

Doğrulama

N = k + 1 için doğru olduğu kanıtlanmıştır.

Z ^{k + 1} = z ^k _* z olduğundan, z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Sonra ifadeler çarpılır:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* günah kƟ) _* (cosƟ) + (i _* günah kƟ) _* (i _* senƟ)).

Bir an için r ^{k + 1} faktörü göz ardı edilir ve ortak faktör i alınır:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + ben (cos kƟ) _* (sinƟ) + ben (günah kƟ) _* (cosƟ) + ben ² (günah kƟ) _* (sinƟ).

İ ² = -1 olduğundan, onu ifadede değiştiririz ve şunu elde ederiz:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + ben (cos kƟ) _* (sinƟ) + ben (günah kƟ) _* (cosƟ) - (günah kƟ) _* (sinƟ).

Şimdi gerçek kısım ve hayali kısım sıralanmıştır:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (günah kƟ) _* (sinƟ) + ben.

İfadeyi basitleştirmek için, kosinüs ve sinüs için açıların toplamının trigonometrik özdeşlikleri uygulanır:

cos (A + B) = cos A _* cos B - günah A _* günah B.

günah (A + B) = günah A _* cos B - cos A _* cos B.

Bu durumda değişkenler Ɵ ve kƟ açılarıdır. Trigonometrik kimlikleri uygularsak:

cos kƟ _* cosƟ - günah kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

günah kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = günah (kƟ + Ɵ)

Bu şekilde ifade şu şekildedir:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (marul (kƟ + Ɵ) + ben _* günah (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* günah).

Böylece sonucun n = k + 1 için doğru olduğu gösterilebilir. Matematiksel tümevarım ilkesine göre, sonucun tüm pozitif tamsayılar için doğru olduğu sonucuna varılmıştır; yani n ≥ 1.

Negatif tam sayı

Moivre teoremi n ≤ 0 olduğunda da uygulanır. Negatif bir tamsayı "n" düşünelim; daha sonra "n" "-m" olarak yazılabilir, yani n = -m, burada "m" pozitif bir tamsayıdır. Böylece:

(marul Ɵ + ben _* günah Ɵ) ⁿ = (marul Ɵ + i _* günah Ɵ) ^-m

Pozitif bir şekilde "m" üstelini elde etmek için, ifade tersine yazılır:

(marul Ɵ + ben _* günah Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* günah Ɵ) ^m

(marul Ɵ + ben _* günah Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* günah mƟ)

Şimdi, z = a + b * i karmaşık bir sayı ise, 1 ÷ z = ab * i kullanılır. Böylece:

(marul Ɵ + ben _* günah Ɵ) ⁿ = marul (mƟ) - ben _* günah (mƟ).

Bu cos (x) = cos (-x) ve -sen (x) = sin (-x) 'i kullanarak:

(marul Ɵ + ben _* günah Ɵ) ⁿ =

(marul Ɵ + ben _* günah Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + ben _* günah (-mƟ)

(marul Ɵ + ben _* günah Ɵ) ⁿ = marul (nƟ) - ben _* günah (nƟ).

Bu nedenle teoremin "n" nin tüm tam sayı değerleri için geçerli olduğu söylenebilir.

Çözülmüş egzersizler

Pozitif güçlerin hesaplanması

Kutupsal formunda karmaşık sayıların kullanıldığı işlemlerden biri bunlardan ikisinin çarpımıdır; bu durumda modüller çarpılır ve argümanlar eklenir.

İki karmaşık sayınız z _{1 ve} z _{2 varsa} ve (z ₁ * z ₂ ) ^2'yi hesaplamak istiyorsanız, şu şekilde devam edin:

z ₁ z ₂ = *

Dağıtım özelliği geçerlidir:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (marul Ɵ _{1 *} marul Ɵ ₂ + i _* marul Ɵ _{1 *} i _* günah Ɵ ₂ + i _* günah Ɵ _{1 *} marul Ɵ ₂ + ben ² _* günah Ɵ _{1 *} günah Ɵ ₂ ).

İfadelerin ortak faktörü olarak "i" terimini alarak gruplandırılırlar:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

İ ² = -1 olduğundan, ifadede ikame edilir:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Gerçek terimler gerçekle ve hayali ile yeniden gruplandırılır:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Son olarak, trigonometrik özellikler geçerlidir:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Sonuç olarak:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

1. Egzersiz

Karmaşık sayıyı z = - 2 -2i ise kutupsal biçimde yazın. Sonra Moivre teoremini kullanarak z ^4'ü hesaplayın .

Çözüm

Karmaşık sayı z = -2 -2i, z = a + bi dikdörtgen biçiminde ifade edilir, burada:

a = -2.

b = -2.

Kutupsal formun z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) olduğunu bilerek, "r" modülünün değerini ve "Ɵ" argümanının değerini belirlememiz gerekir. R = √ (a² + b²) olduğundan, verilen değerler ikame edilir:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Daha sonra, «Ɵ» değerini belirlemek için, aşağıdaki formülle verilen dikdörtgen şekli uygulanır:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Tan (Ɵ) = 1 olduğundan ve <0'a sahip olduğumuz için:

Ɵ = arktan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

«R» ve «Ɵ» değerleri zaten elde edildiğinden, karmaşık sayı z = -2 -2i, değerleri değiştirerek kutupsal biçimde ifade edilebilir:

z = 2√2 (marul (5Π / 4) + ben _* günah (5Π / 4)).

Şimdi z ^4'ü hesaplamak için Moivre teoremini kullanıyoruz :

z ⁴ = 2√2 (marul (5Π / 4) + ben _* günah (5Π / 4)) ⁴

= 32 (marul (5Π) + ben _* günah (5Π)).

Egzersiz 2

Karmaşık sayıların çarpımını kutupsal biçimde ifade ederek bulun:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Sonra (z1 * z2) ²'yi hesaplayın.

Çözüm

Önce verilen sayıların çarpımı oluşturulur:

z ₁ z ₂ = *

Daha sonra modüller birbirleriyle çarpılır ve argümanlar eklenir:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

İfade basitleştirilmiştir:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* günah 150 ^o ).

Son olarak, Moivre teoremi geçerlidir:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Negatif güçlerin hesaplanması

İki karmaşık sayıyı z _{1 ve} z ₂ kutupsal biçimlerinde bölmek için modül bölünür ve argümanlar çıkarılır. Dolayısıyla, bölüm z ₁ ÷ z _2'dir ve aşağıdaki gibi ifade edilir:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Önceki durumda olduğu gibi, (z1 ÷ z2) ³ hesaplamak istersek, önce bölme yapılır ve ardından Moivre teoremi kullanılır.

Egzersiz 3

Dices:

z1 = 12 (marul (3π / 4) + i * günah (3π / 4)),

z2 = 4 (marul (π / 4) + ben * günah (π / 4)),

hesaplayın (z1 ÷ z2) ³.

Çözüm

Yukarıda açıklanan adımların ardından şu sonuca varılabilir:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * günah (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (marul (π / 2) + ben * günah (π / 2))) ³

= 27 (marul (3π / 2) + ben * günah (3π / 2)).

Referanslar

1. Arthur Goodman, LH (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Moivre'nin Tetik Kimlikler Teoreminden. Wolfram Gösteriler Projesi.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematik Ansiklopedisi.
4. Max Peters, WL (1972). Cebir ve Trigonometri.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (tarihsiz). Lineer Cebir. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Ön hesaplama. Pearson Education.