STEINER TEOREMI: AÇIKLAMA, UYGULAMALAR, ALIŞTIRMALAR - FIZIKSEL - 2025

Aynı zamanda paralel eksen teoremi olarak da bilinen Steiner teoremi , nesnenin kütle merkezinden geçen diğerine paralel olan bir eksen etrafında genişletilmiş bir cismin eylemsizlik momentini değerlendirmek için kullanılır.

İsviçreli matematikçi Jakob Steiner (1796 - 1863) tarafından keşfedilmiştir ve şunu ifade etmektedir: I _CM , kütle merkezinden CM geçen bir eksene göre nesnenin eylemsizlik momenti ve I _z başka bir eksene göre eylemsizlik momenti olsun. buna paralel.

Şekil 1. Menteşeleri üzerinde dönen dikdörtgen bir kapı, Steiner'in teoremi uygulanarak hesaplanabilen bir eylemsizlik momentine sahiptir. Kaynak: Pixabay.

Söz konusu cismin her iki eksenini ve M kütlesini ayıran D mesafesini bilerek, bilinmeyen eksene göre eylemsizlik momenti:

Eylemsizlik momenti, bir nesnenin belirli bir eksen etrafında dönmesinin ne kadar kolay olduğunu gösterir. Sadece vücudun kütlesine değil, nasıl dağıldığına da bağlıdır. Bu nedenle Uluslararası Sistem Kg içindeki birimleri olan rotasyonel atalet olarak da bilinir. m ² .

Teorem, eylemsizlik momentinin I _z her zaman eylemsizlik momentinden I _CM , MD ² tarafından verilen bir miktar kadar büyük olduğunu gösterir .

Uygulamalar

Bir nesne çok sayıda eksen etrafında dönebildiğinden ve tablolarda genellikle merkezden geçen eksene göre sadece eylemsizlik momenti verildiğinden, Steiner'in teoremi gövdeleri eksenler üzerinde döndürmek gerektiğinde hesaplamayı kolaylaştırır. buna uymuyor.

Örneğin, bir kapı genellikle kütle merkezi boyunca bir eksen etrafında değil, menteşelerin yapıştığı bir yanal eksen etrafında dönmektedir.

Eylemsizlik momentini bilerek, söz konusu eksen etrafında dönme ile ilişkili kinetik enerjiyi hesaplamak mümkündür. K kinetik enerji ise, I söz konusu eksen etrafındaki eylemsizlik momenti ve ω açısal hız, aşağıdaki gibidir:

Bu denklem, v: K = ½ Mv ² hızında hareket eden M kütleli bir nesnenin kinetik enerji formülüne çok benzer . Ve bu, eylemsizlik momenti veya dönme eylemsizliği I'in, ötelemedeki M kütlesi ile aynı rolü oynamasıdır.

Steiner teoreminin kanıtı

Genişletilmiş bir nesnenin eylemsizlik momenti şu şekilde tanımlanır:

Ben = ∫ r ² dm

Dm, kütlenin sonsuz küçük bir bölümüdür ve r, dm ile dönme ekseni z arasındaki mesafedir. Şekil 2'de bu eksen CM kütle merkezini geçer, ancak herhangi biri olabilir.

Şekil 2. İki paralel eksen etrafında dönerek genişleyen bir nesne. Kaynak: F. Zapata.

Başka bir z ekseni etrafında, eylemsizlik momenti:

Ben _z = ∫ (r ') ² dm

Şimdi, D , r ve r ' vektörlerinin oluşturduğu üçgene göre (sağdaki şekil 2'ye bakın), bir vektör toplamı vardır:

r + r ' = D → r' = D - r

Üç vektör, xy olabilen nesnenin düzleminde bulunur. Koordinat sisteminin orijini (0,0), takip eden hesaplamaları kolaylaştırmak için CM'de seçilir.

Bu şekilde, r ' vektörünün kare modülü :

Şimdi bu gelişme eylemsizlik momentinin integralinde ikame edilir I _z ve ayrıca yoğunluk tanımı dm = ρ.dV kullanılır:

Steiner'in teoreminde görünen M.D ² terimi birinci integralden gelir, ikincisi CM'den geçen eksene göre eylemsizlik momentidir.

Üçüncü ve dördüncü integraller, tanım gereği koordinat sisteminin başlangıcı olarak seçilen CM'nin konumunu oluşturdukları için 0 değerindedir (0,0).

Çözülmüş egzersizler

Çözülmüş egzersiz 1

Şekil 1'deki dikdörtgen kapının kütlesi 23 kg, 1.30 genişliğinde ve 2.10 m yüksekliğindedir. Kapının ince ve düzgün olduğunu varsayarak, menteşelerden geçen eksene göre kapının eylemsizlik momentini belirleyin.

Şekil 3. Çalışılan Örnek için Şema 1. Kaynak: Pixabay'dan değiştirildi.

Çözüm

Bir eylemsizlik momentleri tablosundan, M kütleli ve a ve b boyutlarına sahip dikdörtgen bir plaka için, kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Homojen bir kapı varsayılacaktır (bir yaklaşım, çünkü şekildeki kapı muhtemelen öyle değildir). Böyle bir durumda kütle merkezi geometrik merkezinden geçer. Şekil 3'te, kütle merkezinden geçen ve aynı zamanda menteşelerden geçen eksene paralel olan bir eksen çizilmiştir.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 ² +2.10 ² ) m ² = 11.7 Kg.m ²

Yeşil dönme ekseni için Steiner'in teoremini uygulama:

I = _CM + MD ² = 11.7 Kg.m ² + 23 kg x 0.652 m ² = 21.4 Kg.

Çözülmüş egzersiz 2

Homojen ince bir çubuğun, uçlarından birinden geçen bir eksen etrafında dönerken eylemsizlik momentini bulun, şekle bakın. Merkezi etrafında dönerken eylemsizlik momentinden daha büyük mü yoksa az mı? Neden?

Şekil 4. Çözümlenmiş örnek için şema 2. Kaynak: F. Zapata.

Çözüm

Atalet momentleri tablosuna göre, M kütleli ve L uzunluğundaki ince bir çubuğun eylemsizlik momenti I _CM : I _CM = (1/12) ML ²

Ve Steiner'in teoremi, bir uçtan D = L / 2 geçen bir eksen etrafında döndürüldüğünde, kaldığını belirtir:

Çubuğun diğer yarısı (şekilde gölgelenmemiş) daha büyük bir yarıçapı tanımlayarak döndüğünden, basitçe iki kez değil, 4 kat daha büyük olmasına rağmen daha büyüktür.

Mesafenin dönme eksenine etkisi doğrusal değil, kareseldir. Diğerine göre iki kat daha uzak bir kütle, (2D) ² = 4D ^{2 ile} orantılı bir eylemsizlik momentine sahip olacaktır .

Referanslar

1. Bauer, W. 2011. Mühendislik ve Bilimler için Fizik. Cilt 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia Eyalet Üniversitesi. Dönme Hareketi. Kurtarıldı: phys.nthu.edu.tw.
3. Paralel Eksen Teoremi. Kurtarıldı: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Temel Fizik. Pearson. 190-200.
5. Vikipedi. Paralel eksen teoremi. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı