TORRICELLI TEOREMI: NELERDEN OLUŞUR, FORMÜLLER VE ALIŞTIRMALAR - FIZIKSEL - 2025

Teoremi Toricelli bir nesnenin yükseklikten serbest bırakılan elde etmek ya da ilke Toricelli bir tank ya da kap çeperinde deliğinden çıkan sıvı oranı, özdeş olduğu yüzeyine eşit belirtmektedir deliğe sıvı içermez.

Teorem aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:

Torricelli Teoreminin İllüstrasyonu. Kaynak: kendi kendine.

Torricelli teoremine bağlı olarak, sıvının serbest yüzeyinin altında h yüksekliğindeki bir delikten sıvının çıkış hızının aşağıdaki formülle verildiğini söyleyebiliriz:

Burada g yerçekiminin ivmesidir ve h, delikten sıvının serbest yüzeyine olan yüksekliktir.

Evangelista Torricelli, 1608 yılında İtalya'nın Faenza şehrinde doğmuş bir fizikçi ve matematikçiydi. Torricelli cıva barometresinin icadıyla tanınır ve bir milimetre cıvaya eşdeğer "torr" adı verilen bir basınç birimi vardır. (mm Hg).

Teoremin kanıtı

Torricelli teoreminde ve hızı veren formülde viskozite kayıplarının ihmal edilebilir olduğunu varsayar, tıpkı serbest düşüşte olduğu gibi düşen nesneyi çevreleyen havadan kaynaklanan sürtünmenin ihmal edilebilir olduğu varsayılır.

Yukarıdaki varsayım çoğu durumda mantıklıdır ve ayrıca mekanik enerjinin korunmasını içerir.

Teoremi ispatlamak için, ilk önce tanktaki sıvı yüzeyiyle aynı yükseklikten sıfır başlangıç ​​hızıyla salınan bir nesnenin hızının formülünü bulacağız.

Enerjinin korunumu ilkesi, düşen nesnenin hızını, delikten serbest yüzeye doğru h yüksekliğine eşit bir yüksekliğe indiğinde elde etmek için uygulanacaktır.

Sürtünme kayıpları olmadığından mekanik enerjinin korunumu prensibinin uygulanması geçerlidir. Düşen nesnenin m kütlesine sahip olduğunu ve h yüksekliğinin sıvının çıkış seviyesinden ölçüldüğünü varsayalım.

Düşen nesne

Nesne, sıvının serbest yüzeyininkine eşit bir yükseklikten salındığında, enerjisi sadece yerçekimi potansiyelidir, çünkü hızı sıfırdır ve bu nedenle kinetik enerjisi sıfırdır. Potansiyel enerji Ep şu şekilde verilir:

Ep = mgh

Deliğin önünden geçtiğinde yüksekliği sıfırdır, bu durumda potansiyel enerji sıfırdır, bu nedenle sadece aşağıdaki şekilde verilen kinetik enerji Ec'e sahiptir:

Ec = ½ mv ²

Enerji elde edildiğinden Ep = Ec korunduğu için:

½ mv ² = mgh

V hızını bulmak için Torricelli formülü elde edilir:

Delikten çıkan sıvı

Daha sonra, serbestçe düşen bir nesne için yeni hesaplananla çakıştığını göstermek için sıvının delikten çıkış hızını bulacağız.

Bunun için, sıvılara uygulanan enerjinin korunmasından başka bir şey olmayan Bernoulli ilkesine dayandıracağız.

Bernoulli ilkesi şu şekilde formüle edilmiştir:

Bu formülün yorumu şu şekildedir:

• İlk terim sıvının birim hacim başına kinetik enerjisini temsil eder.
• İkincisi, birim kesit alanı başına basınçla yapılan işi temsil eder
• Üçüncüsü, sıvı birim hacmi başına yerçekimi potansiyel enerjisini temsil eder.

Nispeten düşük hızlarda, türbülanslı olmayan koşullarda ideal bir sıvı olduğu öncülünden yola çıktığımızda, sıvının birim hacim başına mekanik enerjisinin tüm bölgelerinde veya kesitlerinde sabit olduğunu doğrulamak yerinde olur.

Bu formülde V sıvının hızı, ρ sıvının yoğunluğu, P basıncı ve z dikey konumdur.

Aşağıdaki şekil, Torricelli'nin formülünü Bernoulli prensibinden başlayarak göstermektedir.

Bernoulli formülünü (1) ile gösterdiğimiz sıvının serbest yüzeyine ve (2) ile gösterdiğimiz çıkış deliğine uyguluyoruz. Sıfır kafa seviyesi, çıkış deliği ile aynı hizada seçilmiştir.

(1) 'deki enine kesitin (2)' den çok daha büyük olduğu varsayımı altında, (1) 'deki sıvının alçalma hızının pratikte ihmal edilebilir olduğunu varsayabiliriz.

Bu nedenle V ₁ = 0 ayarlanmıştır , sıvının maruz kaldığı basınç (1) atmosferik basınçtır ve açıklıktan ölçülen yükseklik h'dir.

Çıkış bölümü (2) için çıkış hızının v olduğunu, çıkışta sıvının maruz kaldığı basıncın da atmosferik basınç olduğunu ve çıkış yüksekliğinin sıfır olduğunu varsayıyoruz.

Bölüm (1) ve (2) 'ye karşılık gelen değerler Bernoulli formülünde ikame edilir ve eşit olarak ayarlanır. Eşitlik geçerli çünkü sıvının ideal olduğunu ve viskoz sürtünme kayıplarının olmadığını varsayıyoruz. Tüm terimler basitleştirildikten sonra, çıkış deliğindeki hız elde edilir.

Yukarıdaki kutu, elde edilen sonucun serbestçe düşen bir cisminki ile aynı olduğunu göstermektedir.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

I ) Bir su tankının küçük çıkış borusu su yüzeyinin 3 m altındadır. Suyun çıkış hızını hesaplayın.

Çözüm:

Aşağıdaki şekil Torricelli formülünün bu durumda nasıl uygulandığını göstermektedir.

Egzersiz 2

II ) Önceki alıştırmadan tankın çıkış borusunun 1 cm çapında olduğunu varsayarak su çıkış akışını hesaplayın.

Çözüm:

Akış hızı, birim zamanda çıkan sıvının hacmidir ve basitçe çıkış ağzının alanı çıkış hızı ile çarpılarak hesaplanır.

Aşağıdaki şekil hesaplamanın ayrıntılarını göstermektedir.

Egzersiz 3

III ) Biliyorsanız, bir kaptaki suyun serbest yüzeyinin ne kadar yüksek olduğunu belirleyin.

kabın dibindeki bir delikten suyun 10 m / s hızla çıkması.

Çözüm:

Delik, kabın dibinde olsa bile, Torricelli formülü hala uygulanabilir.

Aşağıdaki şekil hesaplamaların detayını göstermektedir.

Referanslar

1. Vikipedi. Torricelli teoremi.
2. Hewitt, P. Kavramsal Fiziksel Bilim. Beşinci baskı .119.
3. Genç, Hugh. 2016. Sears-Zemansky's University Physics with Modern Physics. 14. Baskı Pearson. 384.