FOURIER DÖNÜŞÜMÜ: ÖZELLIKLER, UYGULAMALAR, ÖRNEKLER - MATEMATIK

Fourier dönüşümü integral dönüşümlerini ailesine ait İntegrallenebilir işlevlerine yönelik analitik yeterliliği yöntemidir. Cos (t) ve Sen (t) cinsinden f (t) fonksiyonlarının yeniden tanımlanmasından oluşur.

Bu fonksiyonların trigonometrik kimlikleri, türetme ve türetme karşıtı özellikleriyle birlikte, aşağıdaki karmaşık fonksiyon aracılığıyla Fourier dönüşümünü tanımlamaya hizmet eder:

Bu, ifade mantıklı olduğu sürece, yani uygunsuz integral yakınsak olduğunda doğrudur. Cebirsel olarak Fourier dönüşümünün doğrusal bir homeomorfizm olduğu söylenir.

Bir Fourier dönüşümü ile çalışılabilen her işlev, tanımlanmış bir parametrenin dışında boş değer sunmalıdır.

Özellikleri

Kaynak: pexels

Fourier dönüşümü aşağıdaki özellikleri karşılar:

Varoluş

R gerçeklerinde tanımlanan bir f (t) fonksiyonunda Fourier dönüşümünün varlığını doğrulamak için aşağıdaki 2 aksiyom yerine getirilmelidir:

f (t) tüm R için parça parça süreklidir
f (t), R'ye integrallenebilir

Fourier dönüşümü doğrusallığı

M (t) ve N (t), a ve b sabitleri ile belirli Fourier dönüşümlerine sahip herhangi iki fonksiyon olsun.

F (z) = bir F (z) + b F (z)

Aynı adı taşıyan integralin doğrusallığı ile de desteklenir.

Bir türevin Fourier dönüşümü

Tüm gerçeklerde sürekli ve integrallenebilir bir f fonksiyonu vardır, burada:

Ve f (f ')' nin türevi süreklidir ve R boyunca parça parça tanımlanır

Bir türevin Fourier dönüşümü, aşağıdaki ifade ile parçalara göre entegrasyonla tanımlanır:

F (z) = iz F (z)

Daha yüksek mertebeden türetmelerde, homolog bir şekilde uygulanacaktır, burada tüm n 1 için:

F (z) = (iz) ⁿF (z)

Fourier dönüşümü farklılaşması

Tüm gerçeklerde sürekli ve integrallenebilir bir f fonksiyonu vardır, burada:

Bir çevirinin Fourier dönüşümü

S ' kümesine ait olan bir S ve T kümesine ait olan her θ için , bizde:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Τ _a ile _a vektörü üzerinde çeviri operatörü olarak çalışır.

Fourier dönüşümünün çevirisi

S ' kümesine ait olan bir S ve T kümesine ait olan her θ için , bizde:

τ _bir F = F τ _bir F = F

Tüm için arasında olan aittir R

Bir ölçek grubunun Fourier dönüşümü

Hepsi için İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin kümesi S. ait T kümesi S 'aittir

R'ye ait λ - {0} bizde:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Eğer f sürekli ve açıkça integrallenebilir bir fonksiyonsa, burada a> 0 ise:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Bu sonucu göstermek için değişkenin değiştirilmesiyle devam edebiliriz.

T → + olduğunda s = → + ∞

T → - ise s = → - ∞ olduğunda

Simetri

Fourier dönüşümünün simetrisini incelemek için Parseval kimliği ve Plancherel formülü doğrulanmalıdır.

S'ye ait θ ve δ var . Buradan şu çıkarım yapılabilir:

Başlarken

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval kimliği

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L²_R^d Plancherel formülü

Evrişim çarpımının Fourier dönüşümü

Laplace dönüşümünde olduğu gibi benzer hedefleri takip eden fonksiyonların evrişimi, Fourier dönüşümleri arasındaki çarpımı ifade eder.

F ve g'yi 2 sınırlı, tanımlı ve tamamen integrallenebilir fonksiyon olarak görüyoruz:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Süreklilik ve sonsuzluğa düşme

Fourier dönüşümü ne için?

Türetilmiş ifadeleri güç öğelerine dönüştürürken, integrallenebilir polinomlar biçiminde diferansiyel ifadeleri belirtirken, denklemleri önemli ölçüde basitleştirmeye hizmet eder.

Sonuçların optimizasyonunda, modülasyonunda ve modellemesinde, birkaç nesilden sonra mühendislik için sık kullanılan bir kaynak olan standartlaştırılmış bir ifade görevi görür.

Fourier serisi

Kosinüs ve Sinüs cinsinden tanımlanmış serilerdir; Genel periyodik fonksiyonlarla çalışmayı kolaylaştırmaya hizmet ederler. Uygulandıklarında, sıradan ve kısmi diferansiyel denklemleri çözme tekniklerinin bir parçasıdırlar.

Fourier serileri, Taylor serilerinden bile daha geneldir, çünkü Taylor serisi temsiline sahip olmayan periyodik süreksiz fonksiyonlar geliştirirler.

Fourier serisinin diğer formları

Fourier dönüşümünü analitik olarak anlamak için, Fourier serisinin karmaşık gösterimiyle tanımlanana kadar, Fourier serisinin bulunabileceği diğer yolları gözden geçirmek önemlidir.

-Fourier serisi 2L periyodunun bir fonksiyonu üzerine

Çoğu zaman, bir Fourier serisinin yapısını, periyodu aralıkta p = 2L> 0 olan periyodik fonksiyonlara uyarlamak gerekir.

-Fourier serisi tek ve çift fonksiyonlarda

Fonksiyonların simetrik özelliklerinden yararlanılırken avantaj sağlayan aralık dikkate alınır.

F çift ise, Fourier serisi bir Kosinüs dizisi olarak kurulur.

F tuhafsa, Fourier serisi bir Sines serisi olarak belirlenir.

-Fourier serisinin karmaşık gösterimi

Fourier serisinin tüm geliştirilebilirlik gereksinimlerini karşılayan bir f (t) fonksiyonumuz varsa, onu karmaşık gösterimini kullanarak aralıkta belirtmek mümkündür:

Uygulamalar

Kaynak: pexels

Temel çözümün hesaplanması

Fourier dönüşümü, sabit katsayılı doğrusal tipteki kısmi diferansiyel denklemlerin çalışmasında güçlü bir araçtır. Sınırsız etki alanlarına sahip işlevler için eşit olarak geçerlidirler.

Laplace dönüşümü gibi, Fourier dönüşümü de kısmi bir türev fonksiyonunu çalıştırması çok daha basit olan sıradan bir diferansiyel denkleme dönüştürür.

Isı denklemi için Cauchy problemi, ısı çekirdeğinin veya Dirichlet'in çekirdek fonksiyonunun üretildiği Fourier dönüşümünün sık bir uygulama alanını sunar.

Temel çözümün hesaplanmasıyla ilgili olarak, Fourier dönüşümünü bulmanın yaygın olduğu durumlarda aşağıdaki durumlar sunulmuştur:

Sinyal teorisi

Fourier dönüşümünün bu dalda uygulanmasının genel nedeni, büyük ölçüde, daha kolay tedavi edilebilir sinyallerin sonsuz bir süperpozisyonu olarak bir sinyalin karakteristik ayrışmasından kaynaklanmaktadır.

Bir ses dalgası veya bir elektromanyetik dalga olabilir, Fourier dönüşümü onu basit dalgaların üst üste binmesiyle ifade eder. Bu temsil, elektrik mühendisliğinde oldukça yaygındır.

Öte yandan, Fourier dönüşümünün sinyal teorisi alanındaki uygulama örnekleri:

Örnekler

örnek 1

Aşağıdaki ifade için Fourier dönüşümünü tanımlayın:

Bunu şu şekilde de temsil edebiliriz:

F (t) = Sen (t)

Dikdörtgen darbe tanımlanır:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourier dönüşümü, modülasyon teoremine benzeyen aşağıdaki ifadeye uygulanır.

f (t) = p (t) Sen (t)

Nerede: F = (1/2) i

Fourier dönüşümü şu şekilde tanımlanır:

F = (1/2) ben

Örnek 2

İfade için Fourier dönüşümünü tanımlayın:

F (h) bir çift fonksiyon olduğu için şu ifade edilebilir:

Parçalara göre entegrasyon, değişkenler ve bunların diferansiyelleri aşağıdaki gibi seçilerek uygulanır.

u = günah (zh) du = z cos (zh) dh

DV = h (e ^-h ) ² v = (E ^-h ) ² /2

Sahip olduğunuz ikame

Analizin temel teoremi altında değerlendirdikten sonra

Birinci dereceden diferansiyel denklemlerle ilgili önceki bilgileri uygulayarak, ifade şu şekilde gösterilir:

K elde etmek için değerlendiriyoruz

Son olarak, ifadenin Fourier dönüşümü şu şekilde tanımlanır:

Önerilen egzersizler

W / (1 + w ² ) ifadesinin dönüşümünü alın

Referanslar

Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier analizi. Addison– Wesley Iberoamericana, Madrid Özerk Üniversitesi, 1995.
Lions, JL, Matematiksel Analiz ve Bilim ve Teknoloji için Sayısal Yöntemler. Springer - Verlag, 1990.
Lieb, EH, Gauss çekirdeklerinde yalnızca gauss maksimizatörleri bulunur. İcat etmek. Matematik. 102 , 179-208, 1990.
Dym, H., McKean, HP, Fourier Serileri ve İntegraller. Academic Press, New York, 1972.
Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paris, 1966.

FOURIER DÖNÜŞÜMÜ: ÖZELLIKLER, UYGULAMALAR, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2024