- Normal vektör bir uçağa nasıl alınır?
- Vektör ürününden normal vektör
- Misal
- Çözüm
- Vektör çarpımının hesaplanması
- Uçağın denklemi
- Referanslar
Normal vektör , örneğin bir eğri, bir uçak ya da bir yüzey ile olabilir söz konusu bazı geometrik varlık, dik yönü tanımlar biridir.
Uzayda hareket eden bir parçacığın veya bir yüzeyin konumlandırılmasında çok kullanışlı bir kavramdır. Aşağıdaki grafikte, rastgele bir C eğrisinin normal vektörünün neye benzediğini görmek mümkündür:
Şekil 1. P noktasındaki eğriye normal vektörü olan bir C eğrisi. Kaynak: Svjo
C eğrisi üzerinde bir P noktası düşünelim. Nokta, C şeklindeki bir yol boyunca hareket eden hareketli bir parçacığı temsil edebilir P noktasındaki eğriye teğet doğru kırmızı ile çizilmiştir.
Vektör T'nin her noktada C'ye teğet olduğunu, vektör N'nin T'ye dik olduğunu ve yayı C'nin bir parçası olan hayali bir dairenin merkezini gösterdiğini unutmayın. Vektörler basılı metinde kalın harflerle gösterilir. onları diğer vektör olmayan büyüklüklerden ayırın.
T vektörü her zaman parçacığın nereye hareket ettiğini gösterir, bu nedenle parçacığın hızını gösterir. Öte yandan, N vektörü her zaman parçacığın döndüğü yönü gösterir, bu şekilde C eğrisinin içbükeyliğini gösterir.
Normal vektör bir uçağa nasıl alınır?
Normal vektör mutlaka bir birim vektör, yani modülü 1 olan bir vektör değildir, ancak öyleyse normal birim vektör olarak adlandırılır.
Şekil 2. Solda bir P düzlemi ve söz konusu düzleme dik iki vektör. Sağda, uzayı belirleyen üç yöndeki birim vektörler. Kaynak: Wikimedia Commons. Yazar sayfasına bakın
Çoğu uygulamada vektörü bir eğriden ziyade düzleme dik olarak bilmek gerekir. Bu vektör, söz konusu düzlemin uzaydaki yönünü ortaya koymaktadır. Örneğin, şeklin P (sarı) düzlemini düşünün:
Bu düzleme iki normal vektör vardır: n 1 ve n 2 . Birinin veya diğerinin kullanımı, söz konusu düzlemin bulunduğu bağlama bağlı olacaktır. Düzlemin denklemi biliniyorsa, normal vektörü bir düzleme elde etmek çok basittir:
Burada N vektörü , xyz uzayını belirleyen üç yön boyunca yönlendirilmiş dikey birim vektörler i , j ve k cinsinden ifade edilir , bkz. Şekil 2, sağ.
Vektör ürününden normal vektör
Normal vektörü bulmak için çok basit bir prosedür, iki vektör arasındaki vektör çarpımının özelliklerini kullanır.
Bilindiği gibi, birbirleriyle eşdoğrusal olmayan üç farklı nokta bir P düzlemi belirler. Şimdi, bu üç noktaya sahip söz konusu düzleme ait iki u ve v vektörü elde etmek mümkündür .
Vektörler elde edildiğinde, vektör ürünü u x v , sonucu, u ve v tarafından belirlenen düzleme dik olma özelliğine sahip olan bir vektör olan bir işlemdir .
Bu vektör bilinen, N olarak belirtilir ve ondan önceki bölümde belirtilen denklem sayesinde düzlemin denklemini belirlemek mümkün olacaktır:
N = u x v
Aşağıdaki şekil açıklanan prosedürü göstermektedir:
Şekil 3. İki vektör ve bunların vektör çarpımı veya çarpımı ile iki vektörü içeren düzlemin denklemi belirlenir. Kaynak: Wikimedia Commons. Makine tarafından okunabilen yazar sağlanmadı. M.Romero Schmidtke varsayıldı (telif hakkı iddialarına dayanarak).
Misal
A (2,1,3) noktaları tarafından belirlenen düzlemin denklemini bulun; B (0,1,1); C (4.2.1).
Çözüm
Bu alıştırma, yukarıda açıklanan prosedürü göstermektedir. 3 noktadan biri bu noktalarla tanımlanan düzleme ait iki vektörün ortak orijini olarak seçilir. Örneğin, A noktası başlangıç noktası olarak ayarlanır ve AB ve AC vektörleri oluşturulur .
Vektör AB olan başlangıç noktası A ve sonlanma noktası vektörü koordinatları B noktası olan vektördür AB , sırasıyla A koordinatlarından B koordinatları çıkarılmasıyla belirlenir:
AC vektörünü bulmak için aynı şekilde ilerliyoruz :
Vektör çarpımının hesaplanması
İki vektör arasındaki çapraz çarpımı bulmak için birkaç prosedür vardır. Bu örnek, i , j ve k birim vektörleri arasındaki vektör ürünlerini bulmak için aşağıdaki şekli kullanan anımsatıcı bir prosedür kullanır :
Şekil 4. Birim vektörler arasındaki vektör çarpımını belirlemek için grafik. Kaynak: kendi kendine.
Başlamak için, paralel vektörler arasındaki vektör çarpımlarının boş olduğunu hatırlamakta fayda var, bu nedenle:
ben x ben = 0; j x j = 0; k x k = 0
Ve vektör çarpımı, katılan vektörlere dik başka bir vektör olduğundan, elimizdeki kırmızı ok yönünde hareket eden:
Oka ters yönde hareket etmeniz gerekiyorsa, bir işaret (-) ekleyin:
Toplamda i , j ve k birim vektörleri ile 9 vektör ürünü yapmak mümkündür , bunlardan 3'ü boş olacaktır.
AB x AC = (-2 ben + 0 j -2 k ) x (2 ben + j -2 k ) = -4 ( ben x ben ) -2 ( ben x j ) +4 ( ben x k ) +0 ( j x ben ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x ben ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 ben = 2 ben -8 j -2 k
Uçağın denklemi
N vektörü, daha önce hesaplanan vektör ürünü ile belirlenmiştir:
N = 2 ben -8 j -2 k
Dolayısıyla a = 2, b = -8, c = -2, aranan uçak:
D'nin değeri belirlenmeyi bekliyor. Mevcut olan A, B veya C noktalarından herhangi birinin değerleri düzlemin denkleminde yer değiştirmişse, bu kolaydır. Örneğin C'yi seçmek:
x = 4; y = 2; z = 1
Kalan:
Kısacası aranan harita şudur:
Meraklı okuyucu, AB x AC yapmak yerine AC x AB yapmak için seçilmiş olsaydı aynı sonucun elde edilip edilmeyeceğini merak edebilir . Cevap evet, bu üç nokta tarafından belirlenen düzlem benzersizdir ve şekil 2'de gösterildiği gibi iki normal vektöre sahiptir.
Vektörlerin orijini olarak seçilen noktaya gelince, diğer ikisinin seçiminde herhangi bir sorun yoktur.
Referanslar
- Figueroa, D. (2005). Seri: Bilim ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Kinematik. Douglas Figueroa (USB) tarafından düzenlendi. 31- 62.
- Bir uçağa normali bulmak. Web.ma.utexas.edu adresinden kurtarıldı.
- Larson, R. (1986). Matematik ve Analitik Geometri. Mc Graw Hill. 616-647.
- R 3'teki doğrular ve düzlemler: math.harvard.edu kaynağından alındı.
- Normal vektör. Mathworld.wolfram.com'dan kurtarıldı.