EŞ DÜZLEMLI OLMAYAN VEKTÖRLER: TANIM, KOŞULLAR, ALIŞTIRMALAR - FIZIKSEL - 2025

Olmayan - eş düzlemli vektörler aynı düzlem paylaşmayan olanlardır. İki serbest vektör ve bir nokta tek bir düzlemi tanımlar. Üçüncü bir vektör, bu düzlemi paylaşabilir veya paylaşmayabilir ve paylaşmazsa bunlar, düzlemsel olmayan vektörlerdir.

Eş düzlemli olmayan vektörler, bir kara tahta veya kağıt sayfası gibi iki boyutlu alanlarda temsil edilemez, çünkü bunların bazıları üçüncü boyutta yer alır. Onları doğru bir şekilde temsil etmek için perspektif kullanmanız gerekir.

Şekil 1. Eş düzlemli ve düzlemsel olmayan vektörler. (Kendi detaylandırma)

Şekil 1'e bakarsak, gösterilen tüm nesneler kesinlikle ekran düzlemindedir, ancak perspektif sayesinde beynimiz ondan çıkan bir düzlemi (P) hayal edebilmektedir.

Bu düzlemde (P) r , s , u vektörleri v ve w vektörleri o düzlemde değildir.

Bu nedenle, r , s , u vektörleri , aynı düzlemi (P) paylaştıkları için birbirleriyle eş düzlemli veya eş düzlemlidir. Vektörler v ve w , gösterilen diğer vektörlerin hiçbiriyle bir düzlemi paylaşmazlar, bu nedenle bunlar eş düzlemli değildir.

Eşdüzlem Vektörleri ve Düzlemin Denklemi

Üç boyutlu uzayda üç nokta varsa, düzlem benzersiz olarak tanımlanır.

Bu üç noktanın, düzlemi (P) tanımlayan A noktası, B noktası ve C noktası olduğunu varsayalım. Bu noktalarla , düzlem (P) ile eş düzlemli olan iki AB = u ve AC = v vektörü oluşturmak mümkündür .

Bu iki vektörün çapraz çarpımı (veya çapraz çarpımı), onlara dik (veya normal) ve dolayısıyla düzleme (P) dik olan üçüncü bir vektörle sonuçlanır:

n = u X v => n ⊥ u ve n ⊥ v => n ⊥ (P)

Düzleme (P) ait olan diğer herhangi bir nokta, AQ vektörünün n vektörüne dik olduğunu sağlamalıdır ; Bu, AQ ile n'nin iç çarpımının (veya iç çarpımının) sıfır olması gerektiğini söylemeye eşdeğerdir :

n • AQ = 0 (*)

Önceki koşul şunu söylemekle eşdeğerdir:

AQ • ( u X v ) = 0

Bu denklem Q noktasının (P) düzlemine ait olmasını sağlar.

Uçağın kartezyen denklemi

Yukarıdaki denklem Kartezyen formda yazılabilir. Bunu yapmak için, A, Q noktalarının koordinatlarını ve normal vektör n'nin bileşenlerini yazıyoruz :

Dolayısıyla AQ'nun bileşenleri:

Düzlemde (P) yer alan AQ vektörünün koşulu, şimdi şu şekilde yazılan koşuldur (*):

İç çarpım hesaplanırken geriye kalan:

Geliştirilir ve yeniden düzenlenirse, kalır:

Önceki ifade, (P) 'ye normal bir vektörün bileşenlerinin ve (P)' ye ait bir A noktasının koordinatlarının bir fonksiyonu olarak bir düzlemin (P) Kartezyen denklemidir.

Üç vektörün düzlemsel olmaması için koşullar

Önceki bölümde görüldüğü gibi, AQ • ( u X v ) = 0 koşulu, AQ vektörünün u ve v ile aynı düzlemde olduğunu garanti eder .

Vektörünü AQ w olarak adlandırırsak , şunu onaylayabiliriz:

w , u ve v eş düzlemlidir, ancak ve ancak w • ( u X v ) = 0.

Eşdüzlemsizlik koşulu

Üç vektörün üçlü ürünü (veya karışık ürünü) sıfırdan farklıysa, bu üç vektör eş düzlemli değildir.

Eğer ağırlık • ( u x h ) ≠ 0 ise vektörün, düzlemsel-olmayan v ve w.

U, v ve w vektörlerinin Kartezyen bileşenleri tanıtılmışsa, eşdüzlemsizlik durumu şu şekilde yazılabilir:

Üçlü çarpım geometrik bir yoruma sahiptir ve düzlemsel olmayan üç vektör tarafından üretilen paralel yüzlünün hacmini temsil eder.

Şekil 2. Üç düzlemsel olmayan vektör, hacmi üçlü çarpımın modülü olan bir paralel yüzlü tanımlar. (Kendi detaylandırma)

Nedeni şu şekildedir; Eş düzlemli olmayan vektörlerden ikisi vektörel olarak çarpıldığında, büyüklüğü oluşturdukları paralelkenarın alanı olan bir vektör elde edilir.

Daha sonra bu vektör, üçüncü eş düzlemli olmayan vektörle skaler olarak çarpıldığında, elde ettiğimiz şey, ilk ikisinin belirledikleri alanla çarpılarak belirlediği düzleme dik bir vektöre projeksiyondur.

Başka bir deyişle, ilk ikisinin ürettiği paralelkenarın alanı üçüncü vektörün yüksekliğiyle çarpılır.

Eşdüzlemsizliğin alternatif koşulu

Üç vektörünüz varsa ve bunlardan herhangi biri diğer ikisinin doğrusal kombinasyonu olarak yazılamıyorsa, üç vektör eş düzlemli değildir. Yani, u , v ve w üç vektörü , koşul aşağıdaki durumlarda eş düzlemli değildir:

α u + β v + γ w = 0

Yalnızca α = 0, β = 0 ve γ = 0 olduğunda karşılanır.

Çözülmüş egzersizler

-1. Egzersiz

Üç vektör var

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) ve w = (-1, 2, z)

W vektörünün z bileşeninin bilinmediğine dikkat edin.

Üç vektörün aynı düzlemi paylaşmamaları garanti edilecek şekilde z'nin alabileceği değer aralığını bulun.

Çözüm

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Bu ifadeyi sıfır değerine eşitledik

21 z + 18 = 0

ve z için çözeriz

z = -18 / 21 = -6/7

Z değişkeni -6/7 değerini alsaydı, bu durumda üç vektör aynı düzlemde olurdu.

Dolayısıyla, vektörlerin düzlemsel olmayacağını garanti eden z değerleri, aşağıdaki aralıktaki değerlerdir:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

Egzersiz 2

Aşağıdaki şekilde gösterilen paralel yüzeyin hacmini bulun:

Çözüm

Şekilde gösterilen paralel yüzlünün hacmini bulmak için, koordinat sisteminin başlangıcındaki eş düzlemli olmayan üç eşzamanlı vektörün Kartezyen bileşenleri belirlenecektir. İlki, 4m'lik u vektörüdür ve X eksenine paraleldir:

u = (4, 0, 0) m

İkincisi, X ekseniyle 60º oluşturan 3m boyutundaki XY düzlemindeki v vektörüdür :

v = (3 * marul 60º, 3 * günah 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

Üçüncüsü, XY düzlemindeki izdüşümü X ekseni ile 60º, w ise Z ekseni ile 30º oluşturan 5m vektör w'dir .

w = (5 * günah 30º * cos 60º, 5 * günah 30º * günah 60º, 5 * günah 30º)

Hesaplamalar yapıldıktan sonra, elimizde: w = (1.25, 2.17, 2.5) m.

Referanslar

1. Figueroa, D. Serisi: Bilimler ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Kinematik. 31-68.
2. Fiziksel. Modül 8: Vektörler. Kurtarıldı: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mühendisler için Mekanik. Statik 6. Baskı. Continental Publishing Company.28-66.
4. McLean, W. Schaum Serisi. Mühendisler için Mekanik: Statik ve Dinamik. 3. Baskı. McGraw Hill. 1-15.
5. Vikipedi. Vektör. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı