İZOMETRIK DÖNÜŞÜMLER: KOMPOZISYON, TÜRLER VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

İzometrik dönüşümler form veya bu boyutunu değiştirmez, belirli bir şeklin konumu veya yönelim değişikliklerdir. Bu dönüşümler üç türe ayrılır: öteleme, döndürme ve yansıma (izometri). Genel olarak, geometrik dönüşümler belirli bir figürden yeni bir figür oluşturmanıza izin verir.

Geometrik bir şekle dönüşüm, bir şekilde, bazı değişikliklere uğradığı anlamına gelir; yani değiştirildi. Orijinalin ve düzlemdeki benzerinin anlayışına göre, geometrik dönüşümler üç tipte sınıflandırılabilir: izometrik, izomorfik ve anamorfik.

karakteristikleri

İzometrik dönüşümler, segmentlerin büyüklükleri ve orijinal şekil ile dönüştürülmüş şekil arasındaki açılar korunduğunda meydana gelir.

Bu tür bir dönüşümde, şeklin şekli ya da boyutu değiştirilmez (birbirleriyle uyumludurlar), bu sadece konumunda ya da yönde bir değişikliktir. Bu şekilde, ilk ve son rakamlar benzer ve geometrik olarak uyumlu olacaktır.

İzometri eşitliği ifade eder; başka bir deyişle, geometrik şekiller aynı şekil ve boyuta sahipse izometrik olacaktır.

İzometrik dönüşümlerde, gözlemlenebilen tek şey düzlemdeki konum değişikliğidir, figürün başlangıç ​​konumundan son konuma geçmesi sayesinde sert bir hareket meydana gelir. Bu şekle orijinalin homolog (benzer) adı verilir.

İzometrik dönüşümü sınıflandıran üç tür hareket vardır: öteleme, döndürme ve yansıtma veya simetri.

Türleri

Çeviri ile

Düzlemin tüm noktalarının belirli bir yönde ve mesafede düz bir çizgide hareket etmesini sağlayan izometrilerdir.

Bir şekil öteleme ile dönüştürüldüğünde, başlangıç ​​konumuna göre yönünü değiştirmez, iç ölçülerini, açılarının ve kenarlarının ölçülerini kaybetmez. Bu tür yer değiştirme üç parametre ile tanımlanır:

- Yatay, dikey veya eğik olabilen tek yön.

- Sola, sağa, yukarı veya aşağı olabilen tek yön.

- Mesafe veya büyüklük; başlangıç ​​konumundan hareket eden herhangi bir noktanın sonuna kadar olan uzunluktur.

Çeviri yoluyla izometrik bir dönüşümün gerçekleştirilebilmesi için aşağıdaki koşulların karşılanması gerekir:

- Şekil her zaman hem doğrusal hem de açısal tüm boyutlarını korumalıdır.

- Şekil yatay eksene göre konumunu değiştirmez; yani açısı asla değişmez.

- Çeviriler, yapılan çevirilerin sayısına bakılmaksızın her zaman bir arada özetlenecektir.

Merkezin (0,0) koordinatlarına sahip bir O noktası olduğu bir düzlemde öteleme, başlangıç ​​noktasının yer değiştirmesini gösteren bir vektör T (a, b) ile tanımlanır. Demek ki:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Örneğin, P (8, -2) koordinat noktasına bir çeviri T (-4, 7) uygulanırsa, şunu elde ederiz:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Aşağıdaki görüntüde (solda) C noktasının D ile nasıl çakıştığı görülebilir. Bunu dikey yönde yaptı, yön yukarı doğru ve CD mesafesi veya büyüklüğü 8 metre idi. Sağdaki resimde bir üçgenin ötelenmesi görülmektedir:

Rotasyona göre

Figürün bir düzlemin tüm noktalarını döndürmesine izin veren izometrilerdir. Her nokta, sabit bir açıya ve sabit bir noktaya (dönme merkezi) belirlenmiş bir yayı takip ederek döner.

Diğer bir deyişle, tüm dönüş, dönüş merkezi ve dönüş açısı ile tanımlanacaktır. Bir şekil dönüşle dönüştürüldüğünde, açılarının ve kenarlarının ölçüsünü korur.

Dönüş belirli bir yönde gerçekleşir, dönüş saat yönünün tersine (saat yönünün tersine) olduğunda pozitif ve dönüş saat yönünde olduğunda negatiftir.

Bir ucu (x, y) kökenli göre döndürüldüğünde ise - 90 ° lik bir açıda olan, -, dönme merkezi (0,0) olan ^{ya da} 360 ^{ya da} : noktalarının koordinatları olacak

Rotasyonun orijinde merkez olmaması durumunda, şekli orijini merkez olacak şekilde döndürebilmek için koordinat sisteminin orijini yeni verilen orijine aktarılmalıdır.

Örneğin, P (-5,2) noktasına 90 ^veya orijinin etrafında dönme uygulanırsa ve pozitif olarak yeni koordinatları (-2,5) olur.

Yansıma veya simetri ile

Uçağın noktalarını ve şekillerini tersine çeviren dönüşümlerdir. Bu ters çevirme bir noktaya göre olabileceği gibi bir çizgiye göre de olabilir.

Başka bir deyişle, bu tür bir dönüşümde, orijinal şeklin her noktası, nokta ve görüntüsü simetri ekseni adı verilen bir çizgiden aynı uzaklıkta olacak şekilde, homolog şeklin başka bir noktası (görüntü) ile ilişkilendirilir. .

Böylelikle şeklin sol kısmı, şeklini veya boyutlarını değiştirmeden sağ kısmın yansıması olacaktır. Simetri, aşağıdaki görüntüden de görülebileceği gibi, bir figürü diğerine eşit ancak ters yönde dönüştürür:

Simetri, bazı bitkilerde (ayçiçekleri), hayvanlarda (tavus kuşu) ve doğa olaylarında (kar taneleri) olduğu gibi birçok açıdan mevcuttur. İnsan bunu bir güzellik unsuru olarak kabul edilen yüzüne yansıtır. Yansıma veya simetri iki tipte olabilir:

Merkezi simetri

Şeklin yönünü değiştirebileceği bir noktaya göre gerçekleşen bu dönüşümdür. Orijinal şeklin her noktası ve görüntüsü, simetri merkezi adı verilen bir O noktasından aynı uzaklıktadır. Simetri şu durumlarda merkezidir:

- Hem nokta hem de görüntüsü ve merkezi aynı çizgiye aittir.

- O merkezinin 180 ^o dönüşü ile orijinaline eşit bir şekil elde edilir.

- İlk şeklin çizgileri, oluşturulan şeklin çizgileriyle paraleldir.

- Figürün anlamı değişmez, her zaman saat yönünde olacaktır.

Bir rotasyonun bileşimi

Aynı merkeze sahip iki dönüşün bileşimi, aynı merkeze sahip olan ve genliği iki dönüşün genliklerinin toplamı olacak başka bir dönüşle sonuçlanır.

Dönüşlerin merkezi farklı bir merkeze sahipse, benzer noktalara sahip iki segmentin açıortayının kesilmesi dönüş merkezi olacaktır.

Bir simetrinin bileşimi

Bu durumda, bileşim nasıl uygulandığına bağlı olacaktır:

- Aynı simetri iki kez uygulanırsa, sonuç bir özdeşlik olacaktır.

- İki paralel eksene göre iki simetri uygulanırsa, sonuç bir öteleme olur ve yer değiştirmesi bu eksenlerin mesafesinin iki katıdır:

- O noktasında (merkez) kesişen iki eksene göre iki simetri uygulanırsa, merkezi O'da olan bir dönüş elde edilecek ve açısı eksenlerin oluşturduğu açının iki katı olacaktır:

Referanslar

1. V Bourgeois, JF (1988). Geometri yapımı için malzemeler. Madrid: Sentez.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Teknik Çizim II. Paraninfo SA: Kule Baskıları.
3. Coxeter, H. (1971). Geometrinin Temelleri. Meksika: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometri Bir Dönüşüm Yaklaşımı. ABD: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). CABRI ortamında katı dönüşümlerin öğretiminde indüksiyon ve resmileştirme.
6. , PJ (1996). Düzlemin izometri grubu. Madrid: Sentez.
7. Suárez, AC (2010). Düzlemdeki dönüşümler. Gurabo, Porto Riko: AMCT.