SCALENE YAMUK: ÖZELLIKLER, FORMÜLLER VE DENKLEMLER, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Bir skalen yamuk , ikisi birbirine paralel olan dört kenarı ve farklı ölçülerde dört iç açısı olan bir çokgendir.

Dörtgen ABCD aşağıda gösterilmiştir, burada AB ve DC kenarları birbirine paraleldir. Bu onun bir yamuk olması için yeterlidir, ama aynı zamanda α, β, γ ve δ iç açılarının hepsi farklıdır, bu nedenle yamuk skalendir.

Şekil 1. Dörtgen ABCD, koşul 1'e göre yamuk ve koşul 2'ye göre skalendir. Kaynak: F. Zapata.

Scalene trapeziumun elemanları

İşte en karakteristik unsurlar:

-Tabanlar ve yanlar: Yamuğun paralel kenarları tabanlarıdır ve paralel olmayan iki kenarı yanlardır.

Bir skalen yamukta, tabanlar farklı uzunluklardadır ve yanal olanlar da. Bununla birlikte, bir skalen yamuk, bir tabana eşit bir yanal uzunluğa sahip olabilir.

-Median: Yanal olanların orta noktalarını birleştiren segmenttir.

-Diagonals: Bir yamuğun köşegeni, iki karşıt köşeyi birleştiren segmenttir. Her dörtgen gibi bir yamuğun iki köşegeni vardır. Skalen yamukta farklı uzunluktadırlar.

Diğer yamuklar

Scalene trapezoidin yanı sıra, başka özel trapezoidler de vardır: sağ yamuk ve ikizkenar yamuk.

Bir yamuk, açılarından biri doğru olduğunda bir dikdörtgendir, ikizkenar yamuğun ise kenarları eşit uzunluktadır.

Yamuk şekli, uçak kanatlarının konfigürasyonu, masalar, koltuk sırtları, ambalajlar, cüzdanlar, tekstil baskılar gibi gündelik nesnelerin şekli gibi tasarım ve endüstri düzeyinde çok sayıda uygulamaya sahiptir.

Şekil 2. Yamuk şekli, uçakların kanat konfigürasyonunda yaygındır. Kaynak: Wikimedia Commons.

Özellikleri

Skalen yamuğun özellikleri aşağıda listelenmiştir ve bunların çoğu diğer yamuk tiplerine kadar uzanmaktadır. Aşağıda, "yamuk" denildiğinde, özellik, scalene dahil olmak üzere her tür için geçerli olacaktır.

1. Yamuğun medyanı, yani paralel olmayan kenarlarının orta noktalarını birleştiren segment herhangi bir tabana paraleldir.

2.- Bir yamuğun medyanı, tabanlarının yarısı kadar bir uzunluğa sahiptir ve orta noktadan köşegenlerini keser.

3.- Bir yamuğun köşegenleri, onları tabanların bölümleriyle orantılı olan iki bölüme ayıran bir noktada kesişir.

4.- Bir yamuğun köşegenlerinin karelerinin toplamı, kenarlarının karelerinin toplamına artı tabanlarının çift çarpımına eşittir.

5.- Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren segment, tabanların yarı farkına eşit bir uzunluğa sahiptir.

6.- Yanal olanlara bitişik açılar tamamlayıcıdır.

7. - Bir skalen yamukta, köşegenlerinin uzunlukları farklıdır.

8. - Bir yamuğun, yalnızca tabanlarının toplamı kenarlarının toplamına eşit olması durumunda yazılı bir çevresi vardır.

9.- Bir yamuğun çevresi çizilmişse, o zaman bahsedilen çevrenin merkezindeki tepe noktası ve yamuğun kenarının uçlarından geçen kenarlarla olan açı düzdür.

10.- Bir skalen yamuğunun sınırlı bir çevresi yoktur, bunu yapan tek yamuk tipi ikizkenardır.

Formüller ve denklemler

Skalen yamuğunun aşağıdaki ilişkileri aşağıdaki şekle atıfta bulunur.

1.- AE = ED ve BF = FC → EF - AB ve EF - DC ise.

2. - EF = (AB + DC) / 2 yani: m = (a + c) / 2.

3. D = IB d = ₁ /2 ve AG = KR = d' ₂ / 2'dir.

4.- DJ / JB = (c / a) benzer şekilde CJ / JA = (c / a).

Şekil 3. Bir skalen yamuğunun medyan ve köşegenleri. Kaynak: F. Zapata.

5. - DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Eşdeğer olarak:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 bir ∙ c

6. - GI = (AB - DC) / 2

Demek ki:

n = (a - c) / 2

7. - α + δ = 180⁰ ve β + γ = 180⁰

8. - Eğer α ≠ β ≠ γ ≠ δ ise d1 ≠ d2.

9. - Şekil 4, çevresi çizilmiş bir skalen yamuğunu göstermektedir, bu durumda şu doğrudur:

a + c = d + b

10. - Merkez O'nun yazılı çevresi olan bir skalen yamuk ABCD'de, aşağıdakiler de doğrudur:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Şekil 4. Bir yamukta, tabanlarının toplamının yanal olanların toplamına eşit olduğu doğrulanırsa, o zaman içine yazılmış bir çevre vardır. Kaynak: F. Zapata.

Yükseklik

Bir yamuğun yüksekliği, tabanın bir noktasından dik olarak karşı tabana (veya uzantısına) giden segment olarak tanımlanır.

Yamuğun tüm yükseklikleri aynı h ölçüsüne sahiptir, bu nedenle çoğu zaman yükseklik kelimesi onun ölçümüne atıfta bulunur. Kısacası yükseklik, tabanlar arasındaki mesafe veya ayrılıktır.

Yükseklik h, bir tarafın uzunluğu ve tarafa bitişik açılardan biri bilinerek belirlenebilir:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Medyan

Yamuğun medyanının m ölçüsü, bazların yarı toplamıdır:

m = (a + b) / 2

Köşegenler

d ₁ = √

d ₂ = √

Yamuğun yalnızca kenarlarının uzunluğu biliniyorsa da hesaplanabilir:

d ₁ = √

d ₂ = √

Çevre

Çevre, konturun toplam uzunluğu, yani tüm kenarlarının toplamıdır:

P = a + b + c + d

Alan

Bir yamuğun alanı, tabanlarının yarı kesitinin yüksekliğiyle çarpılmasıdır:

Bir = h ∙ (bir + b) / 2

Ayrıca medyan m biliniyorsa ve yüksekliği h ise hesaplanabilir:

Bir = m ∙ h

Yamuğun sadece kenarlarının uzunluğunun bilinmesi durumunda, alan Heron'un yamuk formülü kullanılarak belirlenebilir:

Bir = ∙ √

S yarı çaptır: s = (a + b + c + d) / 2.

Scalene trapezium için diğer oranlar

Ortanca ile köşegenlerin kesişimi ve köşegenlerin kesişme noktasından geçen paralel başka ilişkilere yol açar.

Şekil 5. Scalene trapezium için diğer ilişkiler. Kaynak: F. Zapata.

-Ortanca EF için ilişkiler

EF = (a + c) / 2; EG = EĞER = c / 2; EI = GF = a / 2

- KL tabanlarına paralel olan ve köşegenlerin J kesişme noktasından geçen segment için ilişkiler

J ∈ KL ile KL - AB - DC ise, KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Cetvel ve pusula ile skalen yamuğunun yapımı

A ve c uzunluklarının tabanları göz önüne alındığında, burada a> cy b ve d uzunluklarında, burada b> d, aşağıdaki adımları izleyerek devam edin (bkz. Şekil 6):

1.- Kural ile majör AB'nin segmenti çizilir.

2.- A se'den ve AB'den P noktasını işaretleyin, böylece AP = c.

3. - Merkezi P ve yarıçapı d olan pusula ile bir yay çizilir.

4. - B yarıçapı b ile bir merkez yapılır ve önceki adımda çizilen yayı kesen bir yay çizilir. Q'ya kesişme noktası diyoruz.

Şekil 6. Yanları verilen bir skalen yamuğunun yapısı. Kaynak: F. Zapata.

5. - Merkez A'da iken, yarıçaplı bir yayı d çizin.

6. - Merkez Q'da iken, önceki adımda çizilen yayı kesen c yarıçaplı bir yay çizin. Kesme noktası R olarak adlandırılacaktır.

7.- BQ, QR ve RA segmentleri cetvelle çizilir.

8. - Dörtgen ABQR, bir skalen yamuktur, çünkü APQR, AB-QR'yi garanti eden bir paralelkenardır.

Misal

Aşağıdaki uzunluklar cm cinsinden verilmiştir: 7, 3, 4 ve 6.

a) Onlarla birlikte bir daireyi çevreleyebilecek bir skalen yamuk inşa etmenin mümkün olup olmadığını belirleyin.

b) Çevresini, alanını, köşegenlerin uzunluğunu ve söz konusu yamuğun yüksekliğini ve ayrıca yazılı dairenin yarıçapını bulun.

- Çözüm

7 ve 3 uzunluğundaki segmentleri taban olarak ve 4 ve 6 uzunluğundaki segmentleri kenarlar olarak kullanarak, bir skalen yamuk, önceki bölümde açıklanan prosedür kullanılarak oluşturulabilir.

Yazılı bir çevresi olup olmadığını kontrol etmeye devam ediyor, ancak özelliği hatırlayarak (9):

Bunu etkili bir şekilde görüyoruz:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

O zaman yazıtlı çevrenin varlığı şartı yerine getirilir.

- Çözüm b

Çevre

P çevresi, kenarların eklenmesiyle elde edilir. Tabanlar toplamı 10'a ve yanal olanlara da ulaştığından, çevre:

P = 20 cm

Alan

Sadece tarafları bilinen alanı belirlemek için ilişki uygulanır:

Bir = ∙ √

Yarı çevre nerede s:

s = (a + b + c + d) / 2.

Bizim durumumuzda yarı metre s = 10 cm değerindedir. İlgili değerleri değiştirdikten sonra:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Kalan:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Yükseklik

H yüksekliği aşağıdaki ifadeyle A alanıyla ilgilidir:

A = (a + c) ∙ h / 2, buradan yükseklik temizlenerek elde edilebilir:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Yazılı dairenin yarıçapı

Yazılı dairenin yarıçapı, yüksekliğin yarısına eşittir:

r = h / 2 = 1.984 cm

Köşegenler

Son olarak köşegenlerin uzunluğunu buluyoruz:

d ₁ = √

d ₂ = √

Sahip olduğumuz değerleri uygun şekilde ikame etmek:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Yani: d ₁ = 4,69 cm ve d ₂ = 8,49 cm

Şekil 7. Yazılı bir çevrenin varlığı koşulunu karşılayan skalen yamuk. Kaynak: F. Zapata.

Egzersiz çözüldü

Yamuğun iç açılarını AB = a = 7, CD = c = 3 tabanları ve BC = b = 6, DA = d = 4 yanal açıları ile belirleyin.

Çözüm

Açıları belirlemek için kosinüs teoremi uygulanabilir. Örneğin, A = α açısı, AB = a = 7, BD = d2 = 8.49 ve DA = d = 4 ile ABD üçgeninden belirlenir.

Bu üçgene uygulanan kosinüs teoremi şuna benzer:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), yani:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Çözüldüğünde, α açısının kosinüsü elde edilir:

Cos (α) = -1/8

Yani, α = ArcCos (-1/8) = 97.18⁰.

Diğer açılar da aynı şekilde elde edilir, değerleri şöyledir:

β = 41,41⁰; γ = 138.59⁰ ve son olarak δ = 82.82⁰.

Referanslar

1. CEA (2003). Geometri elemanları: alıştırmalar ve pusula geometrisi ile. Medellin Üniversitesi.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Editoryal Patria.
3. Serbest, K. (2007). Çokgenleri Keşfedin. Benchmark Eğitim Şirketi.
4. Hendrik, V. (2013). Genelleştirilmiş Çokgenler. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematik Birinci Dönem Tacaná. IGER.
6. Jr. geometri. (2014). Çokgenler. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren ve Hornsby. (2006). Matematik: Akıl Yürütme ve Uygulamalar (Onuncu Baskı). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Editoryal Progreso.
9. Vikipedi. Trapez. Kurtarıldı: es.wikipedia.com