ÜÇGENLER: TARIHÇE, ÖĞELER, SINIFLANDIRMA, ÖZELLIKLER - BILIM - 2025

Üçgenler düz ve üç taraftan oluşan geometrik kapalı şekiller. Bir üçgen, ikişer ikişer kesişen ve birbiriyle üç açı oluşturan üç çizgiyle belirlenir. Sembolizmle dolu üçgen şekil, sayısız nesnede ve bir yapı unsuru olarak mevcuttur.

Üçgenin kökeni tarihte kaybolmuştur. Arkeolojik kanıtlardan, arkeolojik kalıntıların aletlerde ve silahlarda kullanıldığını doğruladığı için ilkel insanlığın bunu iyi bildiği bilinmektedir.

Şekil 1. Üçgenler. Kaynak: Publicdomainpictures.

Eski Mısırlıların sağlam bir geometri bilgisine ve özellikle de üçgen şekle sahip oldukları da açıktır. Anıtsal yapılarının mimari unsurlarına da yansıdılar.

Rhind papirüsünde, üçgenlerin ve yamukların alanlarını hesaplamak için formüllerin yanı sıra bazı hacimler ve diğer temel trigonometri kavramlarını bulacaksınız.

Babillilerin, arazinin bölünmesi gibi pratik amaçlarla kullandıkları üçgen ve diğer geometrik figürlerin alanını hesaplayabildikleri bilinmektedir. Üçgenlerin birçok özelliği hakkında da bilgi sahibidirler.

Bununla birlikte, bu diğer antik uygarlıklarla kesinlikle paylaşıldığı için bu bilginin çoğu dışlayıcı olmamasına rağmen, bugün yaygın olan geometrik kavramların çoğunu sistematikleştiren eski Yunanlılardı.

Üçgen elemanlar

Herhangi bir üçgenin elemanları aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Üç tane var: köşeler, kenarlar ve açılar.

Şekil 2. Üçgenlerin ve elemanlarının gösterimi. Kaynak: F. Zapata tarafından değiştirilen Wikimedia Commons

-Vertices : Segmentleri üçgeni belirleyen çizgilerin kesişme noktalarıdır. Örneğin, hat L Yukarıdaki şekilde _AC kademeli ac içeren, hat L kestiği _AB noktası A'da tam kademeli AB içeren

- Kenarlar : Her köşe çifti arasında, üçgenin bir kenarını oluşturan bir çizgi parçası çizilir. Bu bölüm, son harflerle veya onu aramak için belirli bir harf kullanılarak gösterilebilir. Şekil 2'deki örnekte, AB tarafı ayrıca "c" olarak adlandırılır.

- Açılar : Ortak bir tepe noktasına sahip her iki taraf arasında, köşesi üçgeninki ile çakışan bir açı ortaya çıkar. Başlangıçta belirtildiği gibi, açı genellikle bir Yunan harfiyle gösterilir.

Belirli bir şekle ve boyuta sahip belirli bir üçgen oluşturmak için aşağıdaki veri kümelerinden birine sahip olmanız yeterlidir:

-Üç taraf, üçgen durumunda oldukça açık.

-İki taraf ve aralarındaki açı ve hemen kalan taraf çizilir.

-İki (iç) açı ve aralarındaki yan. Uzatma ile iki eksik taraf çizilir ve üçgen hazırdır.

Gösterim

Genel olarak, üçgen gösterimde aşağıdaki kurallar kullanılır: köşeler büyük Latin harfleriyle, yanlar küçük Latin harfleriyle ve açılar Yunan harfleriyle gösterilir (bkz. Şekil 2).

Bu şekilde üçgen, köşelerine göre adlandırılır. Örneğin, şekil 2'de soldaki üçgen ABC üçgeni ve sağdaki üçgen A'B'C 'üçgenidir.

Başka gösterimler kullanmak da mümkündür; örneğin, Şekil 2'deki a açısı, BAC olarak gösterilmektedir. Köşenin harfinin ortaya gittiğine ve harflerin saat yönünün tersine yazıldığına dikkat edin.

Diğer zamanlarda açıyı belirtmek için bir imleç kullanılır:

α = ∠A

Üçgen türleri

Üçgenleri sınıflandırmak için birkaç kriter vardır. En olağan şey, onları kenarlarının ölçüsüne veya açılarının ölçüsüne göre sınıflandırmaktır. Kenarlarının ölçüsüne bağlı olarak üçgenler şunlar olabilir: skalenler, ikizkenarlar veya eşkenar:

-Scaleno : Üç tarafı farklı.

-Isósceles : iki eşit tarafı ve bir farklı tarafı vardır.

-Equilátero : Üç taraf eşittir.

Şekil 3. Üçgenlerin yanlarına göre sınıflandırılması. Kaynak: F. Zapata

Açılarının ölçüsüne göre üçgenler şu şekilde adlandırılır:

- Tıkanıklık , iç açıları eğer biri 90º daha büyüktür.

- akut açı , üçgenin üç iç açı, 90T daha dar, ne

- Dikdörtgen , iç açılarından birinin 90º değerinde olması durumunda. 90º oluşturan kenarlara bacaklar denir ve dik açının karşısındaki taraf hipotenüsdür.

Şekil 4. Üçgenlerin iç açılarına göre sınıflandırılması. Kaynak: F. Zapata.

Üçgenlerin eşliği

İki üçgen aynı şekle ve aynı boyuta sahip olduğunda, uyumlu oldukları söylenir. Elbette uygunluk eşitlikle ilgilidir, öyleyse neden geometride "iki eşit üçgen" yerine "iki uyumlu üçgenden" bahsediyoruz?

Gerçeğe bağlı kalmak için "eşleşme" teriminin kullanılması tercih edilir, çünkü iki üçgen aynı şekil ve boyuta sahip olabilir, ancak düzlemde farklı şekilde yönlendirilebilir (bkz. Şekil 3). Geometri açısından bakıldığında, artık kesinlikle aynı olmayacaklardı.

Şekil 5. Düzlemdeki yönelimleri farklı olduğu için eş üçgenler, ancak eşit değildir. Kaynak: F. Zapata.

Eşlik kriterleri

Aşağıdakilerden herhangi biri gerçekleşirse iki üçgen uyumludur:

-Üç taraf aynı şeyi ölçüyor (yine bu en bariz olanı).

-İki özdeş yanları vardır ve aralarında aynı açı vardır.

-Her ikisi de iki özdeş iç açıya sahiptir ve bu açılar arasındaki taraf aynıdır.

Görüldüğü gibi, gerekli koşulları sağlayan iki üçgenin, inşa edildiklerinde şekil ve boyutlarının tam olarak aynı olmasıyla ilgilidir.

Uyum kriterleri çok kullanışlıdır, çünkü pratikte sayısız parça ve mekanik parça, ölçüleri ve şekilleri tamamen aynı olacak şekilde seri olarak üretilmelidir.

Üçgenlerin benzerliği

Bir üçgen, farklı boyutlarda olsalar bile aynı şekle sahipse diğerine benzer. Şeklin aynı olmasını sağlamak için iç açıların aynı değere sahip olması ve yanların orantılı olması gerekmektedir.

Şekil 6. İki benzer üçgen: boyutları farklıdır ancak oranları aynıdır. Kaynak: F. Zapata.

Şekil 2'deki üçgenler de şekil 6'dakiler gibi benzerdir. Bu şekilde:

Taraflara gelince, aşağıdaki benzerlik oranları geçerlidir:

Özellikleri

Üçgenlerin temel özellikleri aşağıdaki gibidir:

- Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180'dir.

-Herhangi bir üçgen için dış açılarının toplamı 360 ° 'ye eşittir.

- Bir üçgenin bir dış açısı, söz konusu açıya bitişik olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Teoremler

Thales'in İlk Teoremi

Bunlar, geometri ile ilgili çeşitli teoremler geliştiren Yunan filozof ve matematikçi Thales of Miletus'a atfedilir. Bunlardan ilki şunları belirtir:

Şekil 7. Thales teoremi. Kaynak: F. Zapata.

Diğer bir deyişle:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales'in ilk teoremi bir üçgene uygulanabilir, örneğin solda mavi üçgen ABC var, sağdaki kırmızı paralelliklerle kesilmiş:

Şekil 8. Thales teoremi ve benzer üçgenler.

Mor üçgen AB'C 'mavi üçgen ABC'ye benzer, bu nedenle Thales teoremine göre aşağıdakiler yazılabilir:

AB´ / AC´ = AB / AC

Ve daha önce üçgenlerin benzerliği bölümünde açıklananla uyumludur. Bu arada paralel çizgiler de hipotenüse dikey veya paralel olabilir ve benzer üçgenler aynı şekilde elde edilir.

Thales'in ikinci teoremi

Bu teorem, aşağıda gösterilenler gibi, bir üçgen ve merkezi O olan bir daireyi de ifade eder. Bu şekilde, AC çevrenin bir çapıdır ve B, bunun üzerinde bir noktadır, B, A ve B'den farklıdır.

Thales'in ikinci teoremi şunu belirtir:

Şekil 9. Thales'in ikinci teoremi. Kaynak: Wikimedia Commons. Endüktiv yük.

Pisagor teoremi

Bu, tarihteki en ünlü teoremlerden biridir. Yunan matematikçi Sisamlı Pisagor'dan (MÖ 569 - 475) kaynaklanmaktadır ve bir dik üçgene uygulanabilir. Öyle diyor:

Örnek olarak şekil 8'deki mavi üçgeni veya mor üçgeni alırsak, ikisi de dikdörtgen olduğu için, o zaman şöyle ifade edilebilir:

AC ² = AB ² + BC ² (mavi üçgen)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (mor üçgen)

Bir üçgenin alanı

Üçgenin alanı, tabanı a ve yüksekliği h'nin 2'ye bölünmesiyle verilir. Ve trigonometri ile bu yükseklik h = b sinθ şeklinde yazılabilir.

Şekil 10. Üçgenin alanı. Kaynak: Wikimedia Commons.

Üçgen örnekleri

örnek 1

Thales'in, ilk teoremi sayesinde, antik dünyanın 7 harikasından biri olan Mısır'daki Büyük Piramidin yüksekliğini, yere yansıdığı ve yere çakılan bir kazık tarafından yansıtılan gölgeyi ölçerek ölçmeyi başardığı söyleniyor.

Bu, Tales tarafından izlenen prosedürün ana hatlarıdır:

Şekil 11. Büyük Piramidin yüksekliğini üçgenlerin benzerliği ile ölçmek için şema. Kaynak: Wikimedia Commons. Dake

Thales, güneş ışınlarının paralel olarak çarptığını doğru bir şekilde varsaydı. Bunu akılda tutarak, sağdaki büyük dik üçgeni hayal etti.

D, piramidin yüksekliği ve C, merkezden piramidin çöl tabanına attığı gölgeye kadar ölçülen yer üzerindeki mesafedir. C'yi ölçmek zahmetli olabilir, ancak kesinlikle piramidin yüksekliğini ölçmekten daha kolaydır.

Solda, A ve B bacaklarının bulunduğu küçük üçgen var; burada A, yere dikey olarak sürülen kazığın yüksekliğidir ve B, bıraktığı gölgedir. Her iki uzunluk da C'de olduğu gibi ölçülebilirdir (C, gölgenin uzunluğu + piramidin uzunluğunun yarısıdır).

Öyleyse, üçgenlerin benzerliği ile:

A / B = D / C

Ve Büyük Piramidin yüksekliği şu şekilde çıkıyor: D = C. (A / B)

Örnek 2

İnşaat yapımındaki kafes kirişler, birçok binada destek olarak kullanılan ince düz ahşap veya çapraz metal çubuklardan yapılmış yapılardır. Ayrıca kafes kirişler, kafes kirişler veya kafes kirişler olarak da bilinirler.

İçlerinde üçgenler her zaman mevcuttur, çünkü çubuklar sabit veya eklemli olabilen düğüm adı verilen noktalarda birbirine bağlıdır.

Şekil 12. Üçgen, bu köprünün çerçevesinde mevcuttur. Kaynak: PxHere.

Örnek 3

Nirengi olarak bilinen yöntem, köşeleri arasında istenen konumu içeren bir üçgen oluşturulması koşuluyla, ölçülmesi daha kolay olan diğer mesafeleri bilerek erişilemeyen noktaların konumunun elde edilmesini sağlar.

Örneğin, aşağıdaki şekilde geminin denizde nerede olduğunu bilmek istiyoruz, B.

Şekil 13. Geminin yerini belirlemek için nirengi şeması. Kaynak: Wikimedia Commons. Colette

İlk olarak, kıyıdaki iki nokta arasındaki mesafe ölçülür, bunlar şekilde A ve C'dir. Daha sonra, dikey ve yatay açıları ölçmek için kullanılan bir teodolit yardımıyla α ve β açılarının belirlenmesi gerekir.

Tüm bu bilgilerle, üst köşesinin gemi olduğu bir üçgen inşa edilir. Geminin denizdeki konumunu belirlemek için, üçgenlerin özelliklerini ve trigonometri kullanarak AB ve CB mesafelerini kullanarak γ açısını hesaplamaya devam ediyor.

Egzersizler

1. Egzersiz

Gösterilen şekilde güneş ışınları paraleldir. Bu şekilde 5 metre uzunluğundaki ağaç yere 6 metre gölge düşürür. Aynı zamanda binanın gölgesi 40 metredir. Thales'in Birinci Teoremini takiben binanın yüksekliğini bulun.

Şekil 14. Çözümlenmiş alıştırma şeması 1. Kaynak: F. Zapata.

Çözüm

Kırmızı üçgenin kenarları sırasıyla 5 ve 6 metredir, mavi olanın yüksekliği H - binanın yüksekliği - ve tabanı 40 metredir. Her iki üçgen de benzerdir, bu nedenle:

Egzersiz 2

İki nokta A ve B arasındaki yatay mesafeyi bilmeniz gerekir, ancak bunlar çok düzensiz bir zeminde bulunur.

Söz konusu arazinin yaklaşık orta noktasında (P _m ) 1.75 metre yüksekliğinde bir çıkıntı öne çıkmaktadır. Şerit ölçüsü, A'dan çıkıntıya kadar 26 metre ve B'den aynı noktaya 27 metre ölçülen uzunluğu gösteriyorsa, AB mesafesini bulun.

Şekil 15. Çözümlenmiş alıştırma şeması 2. Kaynak: Jiménez, R. Mathematics II. Geometri ve trigonometri.

Çözüm

Pisagor teoremi, şekildeki iki dik üçgenden birine uygulanır. Soldakinden başlayarak:

Hipotenüs = c = 26 metre

Yükseklik = a = 1,75 metre

AP _m = (26 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 25.94 m

Şimdi Pisagor'u sağdaki üçgene uygulayın, bu sefer c = 27 metre, a = 1.75 metre. Bu değerlerle:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

AB mesafesi şu sonuçların eklenmesiyle bulunur:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referanslar

1. Baldor, JA 1973. Düzlem ve Uzay Geometrisi. Orta Amerika Kültürü.
2. Barredo, D. Üçgenin geometrisi. Kurtarıldı: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematik II. Geometri ve trigonometri. İkinci baskı. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Gutenberg.org'dan kurtarıldı.
5. Vikipedi. Üçgen. Kurtarıldığı yer: es. wikipedia.org.