SÜREKLI DEĞIŞKEN: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER VE ALIŞTIRMALAR - FIZIKSEL - 2025

Sürekli değişken Bu iki değer isteğe bağlı olarak yakın olsa bile, verilen iki değer arasındaki sayısal değerlerin sonsuz sayıda sunar biridir. Ölçülebilir nitelikleri tanımlamak için kullanılırlar; örneğin boy ve kilo. Sürekli bir değişkenin aldığı değerler rasyonel sayılar, gerçek sayılar veya karmaşık sayılar olabilir, ancak ikinci durum istatistikte daha az sıklıkta görülür.

Sürekli değişkenlerin temel özelliği, iki rasyonel veya gerçek değer arasında bir başkasının her zaman bulunabilmesi ve bu diğeri ile ilk arasında başka bir değerin bulunabilmesidir ve bu böyle süresiz olarak devam eder.

Şekil 1. Eğri sürekli bir dağılımı ve çubuklar ayrı bir dağılımı temsil eder. Kaynak: Pixabay

Örneğin, en ağırın 95 kg ve en düşük olanın 48 kg olduğu bir grupta değişken ağırlığın olduğunu varsayalım; bu değişkenin aralığı ve olası değerlerin sayısı sonsuzdur.

Örneğin 50.00 kg ile 50.10 kg arası 50.01 olabilir. Ancak 50.00 ile 50.01 arasında 50.005 ölçü olabilir. Bu sürekli bir değişkendir. Öte yandan, olası ağırlık ölçümlerinde tek bir ondalık kesinlik belirlendiğinde kullanılan değişken ayrık olacaktır.

Sürekli değişkenler, kendileriyle ilişkili sayısal bir değere sahip oldukları için nicel değişkenler kategorisine aittir. Bu sayısal değer ile aritmetikten sonsuz küçük hesaplama yöntemlerine kadar değişen matematiksel işlemler yapmak mümkündür.

Örnekler

Fizikteki değişkenlerin çoğu sürekli değişkenlerdir, aralarında uzunluk, zaman, hız, ivme, enerji, sıcaklık ve diğerleri gibi isimlendirebiliriz.

Sürekli değişkenler ve ayrık değişkenler

İstatistikte, hem nitel hem de nicel olmak üzere çeşitli değişken türleri tanımlanabilir. Sürekli değişkenler ikinci kategoriye aittir. Onlarla aritmetik ve hesaplama işlemleri yapmak mümkündür.

Örneğin yüksekliği 1,50 m ile 1,95 m arasında olan kişilere karşılık gelen h değişkeni sürekli bir değişkendir.

Bu değişkeni bununla karşılaştıralım: Bir yazı tura atma sayısının tura gelme sayısı, buna n diyeceğiz.

N değişkeni 0 ile sonsuz arasında değerler alabilir, ancak n, 1.3 veya 1.5 değerini alamadığı için sürekli bir değişken değildir, çünkü 1 ve 2 değerleri arasında başka bir şey yoktur. Bu, ayrık bir değişken örneğidir.

Sürekli değişkenler alıştırması

Şu örneği ele alalım: Bir makine kibrit çöpleri üretir ve bunları kendi kutusuna paketler. İki istatistiksel değişken tanımlanmıştır:

Nominal maç uzunluğu, 0.1 cm toleransla 5.0 cm'dir. Kutu başına eşleşme sayısı 3 toleransla 50'dir.

a) L ve N'nin alabileceği değer aralığını belirtin.

b) L kaç değer alabilir?

c) n kaç değer alabilir?

Her durumda, bunun ayrık mı yoksa sürekli bir değişken mi olduğunu belirtin.

Çözüm

L değerleri aralık içindedir; yani, L'nin değeri aralıktadır ve L değişkeni bu iki ölçüm arasında sonsuz değerler alabilir. O zaman sürekli bir değişkendir.

Değişken n'nin değeri aralık içindedir. Değişken n, tolerans aralığında yalnızca 6 olası değeri alabilir, bu durumda ayrık bir değişkendir.

Egzersiz

Değişken tarafından alınan değerlerin sürekli olmasına ek olarak, kendileriyle ilişkili belirli bir oluşma olasılığı varsa, bu sürekli bir rastgele değişkendir. Değişkenin kesikli mi yoksa sürekli mi olduğunu ayırt etmek çok önemlidir, çünkü biri ve diğeri için geçerli olan olasılık modelleri farklıdır.

Sürekli bir rastgele değişken, alabileceği değerler ve her birinin olma olasılığı bilindiğinde tamamen tanımlanır.

- Olasılıkların 1 Alıştırması

Maç eşleştirici, çubukların uzunluğu her zaman 4,9 cm ile 5,1 cm arasında ve bu değerlerin dışında sıfır olacak şekilde yapar. 5.00 ile 5.05 cm arasında ölçülere sahip bir çubuk elde etme olasılığı var, ancak 5.0003 cm'den birini de çıkarabiliyoruz. Bu değerler eşit derecede olası mı?

Çözüm

Olasılık yoğunluğunun tekdüze olduğunu varsayalım. Belirli uzunlukta bir eşleşme bulma olasılıkları aşağıda listelenmiştir:

-Makine bu değerlerin dışında kibrit çekmediğinden, aralıktaki bir eşleşme olasılığı = 1 (veya% 100) olur.

-4.9 ile 5.0 arasında bir eşleşme bulmanın olasılığı = ½ = 0.5 (% 50), çünkü uzunluk aralığının yarısı kadardır.

-Ve maçın 5.0 ile 5.1 arasında uzunlukta olma olasılığı da 0.5 (% 50)

-Uzunluğu 5.0 ile 5.2 arasında değişen kibrit çubukları olmadığı bilinmektedir. Olasılık: sıfır (% 0).

Belli bir aralıkta kürdan bulma olasılığı

Şimdi uzunluğu l ₁ ile l ₂ arasında olan sopaları elde etmenin P olasılıklarını gözlemleyelim :

-P: Bir maçın 5,00 ile 5,05 arasında bir uzunluğa sahip olduğunu gösteren P, P () olarak gösterilir:

Tepenin 5,00 ile 5,01 arasında uzunluğa sahip olduğu P:

- Tepenin uzunluğu 5.000 ile 5.001 arasında olan P daha da az:

5.00'e yaklaşıp yaklaşma aralığını kısaltmaya devam edersek, bir kürdanın tam olarak 5,00 cm olma olasılığı sıfırdır (% 0). Elimizdeki şey, belirli bir aralıkta bir eşleşme bulma olasılığı.

Belirli bir aralıkta birden fazla kürdan bulma olasılığı

Olaylar bağımsız ise, iki kürdanın belirli bir aralıkta olma olasılığı, olasılıklarının ürünüdür.

-İki çubuk 5,0 ile 5,1 arasında olma olasılığı 0,5 * 0,5 = 0,25 (% 0,25)

-50 kürdanın 5.0 ile 5.1 arasında olma olasılığı (0.5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16 yani neredeyse sıfırdır.

-50 kürdan 4,9 ile 5,1 arasında olma olasılığı (1) ^ 50 = 1 (% 100)

- Olasılıkların 2'sini alıştırma

Önceki örnekte, olasılığın verilen aralıkta tek tip olduğu varsayılmıştır, ancak bu her zaman böyle değildir.

Kürdan üreten asıl makine durumunda, kürdanın merkez değerde olma şansı, uç değerlerden birinde olduğundan daha büyüktür. Matematiksel bir bakış açısından bu, olasılık yoğunluğu olarak bilinen bir f (x) fonksiyonu ile modellenmiştir.

L ölçüsünün a ve b arasında olma olasılığı, a ve b arasındaki f (x) fonksiyonunun belirli integrali kullanılarak hesaplanır.

Örnek olarak, 1. Alıştırmadan 4.9 ve 5.1 değerleri arasında tekdüze bir dağılımı temsil eden f (x) fonksiyonunu bulmak istediğimizi varsayalım.

Olasılık dağılımı tekdüze ise, o zaman f (x), c'nin 4.9 ile 5.1 arasındaki integrali alınarak belirlenen c sabitine eşittir. Bu integral olasılık olduğundan, sonuç 1 olmalıdır.

Şekil 2. Tekdüze olasılık yoğunluğu. (Kendi detaylandırma)

Bu, c'nin 1 / 0.2 = 5 değerinde olduğu anlamına gelir. Yani, tekdüze olasılık yoğunluğu fonksiyonu f (x) = {5 ise, 4.9≤x≤5.1 ve bu aralığın dışında 0'dır. Şekil 2'de tek tip bir olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterilmektedir.

Aynı genişliğe sahip aralıklarda (örneğin 0,02) olasılığın, sürekli değişken L (kürdan uzunluğu) aralığının sonunda merkezde nasıl aynı olduğuna dikkat edin.

Daha gerçekçi bir model, aşağıdaki gibi bir olasılık yoğunluğu işlevi olacaktır:

Şekil 3. Düzgün olmayan olasılık yoğunluk fonksiyonu. (Kendi detaylandırma)

Şekil 3'te 4,99 ile 5,01 (0,02 genişlik) arasında kürdan bulma olasılığının 4,90 ile 4,92 (0,02 genişlik) arasında kürdan bulma olasılığından daha fazla olduğu görülmektedir.

Referanslar

1. Dinov, Ivo. Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları. Stat.ucla.edu adresinden alındı
2. Kesikli ve Sürekli Rassal Değişkenler. Ocw.mit.edu adresinden alındı
3. Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları. Alınan: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Olasılığa Giriş. Kurtarıldı: olasılık course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Yönetim ve Ekonomi için İstatistik. Grupo Editoryal Iberoamericana. 103-106.
6. Rastgele Değişkenler Problemleri ve Olasılık Modelleri. Kurtarıldığı yer: ugr.es.
7. Vikipedi. Sürekli değişken. Wikipedia.com'dan kurtarıldı
8. Vikipedi. İstatistik değişkeni. Wikipedia.com'dan kurtarıldı.