3'ün karekökünün ne olduğunu bilmek için, bir sayının karekökünün tanımını bilmek önemlidir.
Pozitif bir "a" sayısı verildiğinde, "a" nın karekökü, √a ile gösterilen pozitif bir "b" sayısıdır, öyle ki "b" bununla çarpıldığında, sonuç "a" olur.
Matematiksel tanım şöyle der: √a = b eğer ve ancak ve ancak, b² = b * b = a.
Bu nedenle, 3'ün karekökünü, yani √3'ün değerini bilmek için, b² = b * b = √3 olacak şekilde bir "b" sayısı bulunmalıdır.
Ek olarak, √3 irrasyonel bir sayıdır, bu nedenle sonsuz sayıda periyodik olmayan ondalık basamaktan oluşur. Bu nedenle 3'ün karekökünü elle hesaplamak zordur.
3'ün karekökü
Hesap makinesi kullanırsanız, 3'ün karekökünün 1.73205080756887 olduğunu görebilirsiniz …
Şimdi, bu sayıyı aşağıdaki gibi manuel olarak tahmin etmeyi deneyebilirsiniz:
-1 * 1 = 1 ve 2 * 2 = 4, bu, 3'ün karekökünün 1 ile 2 arasında bir sayı olduğunu söylüyor.
-1.7 * 1.7 = 2.89 ve 1.8 * 1.8 = 3.24, dolayısıyla ilk ondalık basamak 7'dir.
-1.73 * 1.73 = 2.99 ve 1.74 * 1.74 = 3.02, dolayısıyla ikinci ondalık basamak 3'tür.
-1.732 * 1.732 = 2.99 ve 1.733 * 1.733 = 3.003, dolayısıyla üçüncü ondalık basamak 2'dir.
Ve böylece devam edebilirsiniz. Bu, 3'ün karekökünü hesaplamanın manuel bir yoludur.
Yaklaşıklıkları hesaplamak için sayısal bir yöntem olan Newton-Raphson yöntemi gibi çok daha gelişmiş başka teknikler de vardır.
√3 sayısını nerede bulabiliriz?
Sayının karmaşıklığından dolayı günlük nesnelerde görünmediği düşünülebilir, ancak bu yanlıştır. Kenarlarının uzunluğu 1 olacak şekilde bir küpümüz (kare kutu) varsa, küpün köşegenlerinin ölçüsü measure3 olacaktır.
Bunu doğrulamak için Pisagor Teoremi kullanılır, bu teorem: dik bir üçgen verildiğinde, hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşittir (c² = a² + b²).
1. kenarı olan bir küpün olmasıyla, tabanının karesinin köşegeninin, bacakların karelerinin toplamına eşit olduğunu, yani c² = 1² + 1² = 2 olduğunu, dolayısıyla tabanın köşegenini √2.
Şimdi küpün köşegenini hesaplamak için aşağıdaki şekil gözlemlenebilir.
Yeni dik üçgenin 1 ve √2 uzunluklarında bacakları vardır, bu nedenle, Pisagor teoremini köşegeninin uzunluğunu hesaplamak için kullanırken şunu elde ederiz: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, yani Diyelim ki C = √3.
Bu nedenle, 1. kenarlı bir küpün köşegeninin uzunluğu √3'e eşittir.
√3 irrasyonel bir sayı
Başlangıçta √3'ün irrasyonel bir sayı olduğu söylendi. Bunu kontrol etmek için, saçmalığın, rasyonel bir sayı olduğu varsayılır, bununla birlikte iki sayı "a" ve "b", göreceli asal sayılar, öyle ki a / b = √3.
Son eşitliğin karesi alınarak ve "a²" yi çözerek, aşağıdaki denklem elde edilir: a² = 3 * b². Bu, "a²" nin 3'ün katı olduğunu söyler ve bu da "a" nın 3'ün katı olduğu sonucuna götürür.
"A" 3'ün katı olduğundan, a = 3 * k olacak şekilde bir "k" tamsayısı vardır. Bu nedenle, ikinci denklemde yer değiştirerek şunu elde ederiz: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², bu da b² = 3 * k² ile aynıdır.
Daha önce olduğu gibi, bu son eşitlik, "b" nin 3'ün katı olduğu sonucuna götürür.
Sonuç olarak, "a" ve "b" nin her ikisi de 3'ün katlarıdır ve bu bir çelişkidir, çünkü başlangıçta göreli asal sayılar oldukları varsayılmıştır.
Bu nedenle, √3 irrasyonel bir sayıdır.
Referanslar
- Kefaletler, B. (1839). Arismatik ilkeler. Ignacio Cumplido tarafından basılmıştır.
- Bernadet, JO (1843). Sanat uygulamalarıyla doğrusal çizim üzerine temel incelemeyi tamamlayın. José Matas.
- Herranz, DN ve Quirós. (1818). Evrensel, saf, vasiyet niteliğinde, dini ve ticari aritmetik. Fuentenebro'dan olan matbaa.
- Preciado, CT (2005). Matematik Kursu 3. Editör Progreso.
- Szecsei, D. (2006). Temel Matematik ve Ön Cebir (editör resimli). Kariyer Basını.
- Vallejo, JM (1824). Çocuk aritmetiği… Imp. Bu Garcia'dan.