POISSON DAĞILIMI: FORMÜLLER, DENKLEMLER, MODEL, ÖZELLIKLER - DUDAS - 2025

Poisson dağılımı o olasılık bilmek mümkündür içinden ayrı bir dağılım, olduğu, büyük bir örnek büyüklüğü içinde ve belli bir zaman aralığında, olan ihtimali ortaya çıkar küçük olan bir olayı esnasını göstermektedir.

Poisson dağılımı, aşağıdaki koşullar karşılandığı sürece genellikle iki terimli dağılımın yerine kullanılabilir: büyük örneklem ve küçük olasılık.

Şekil 1. Farklı parametreler için Poisson dağılımının grafiği. Kaynak: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840), kendi adını taşıyan ve öngörülemeyen olaylarla uğraşırken çok faydalı olan bu dağılımı yarattı. Poisson, sonuçlarını 1837'de, yanlış cezai cezaların meydana gelme olasılığı üzerine bir araştırma çalışması olarak yayınladı.

Daha sonra, diğer araştırmacılar, belirli bir uzay hacminde bulunabilecek yıldızların sayısı veya bir askerin bir atın tekmelemesiyle ölme olasılığı gibi diğer alanlardaki dağılımı uyarladılar.

Formül ve denklemler

Poisson dağılımının matematiksel formu aşağıdaki gibidir:

- μ (bazen λ olarak da belirtilir) dağılımın ortalaması veya parametresidir

- Euler numarası: e = 2.71828

- y = k elde etme olasılığı P'dir

- k başarı sayısı 0, 1,2,3 …

- n, testlerin veya olayların sayısıdır (örneklem büyüklüğü)

Ayrık rasgele değişkenler, adlarından da anlaşılacağı gibi, şansa bağlıdır ve yalnızca kesikli değerler alır: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Dağılımın ortalaması şu şekilde verilir:

Verinin yayılmasını ölçen varyans σ, bir diğer önemli parametredir. Poisson dağılımı için:

σ = μ

Poisson, n → ∞ ve p → 0 olduğunda ortalama μ - aynı zamanda beklenen değer olarak da adlandırılır - sabit olma eğiliminde olduğunu belirledi:

-Değerlendirilen olay veya olaylar birbirinden bağımsızdır ve rastgele gerçekleşir.

-Belirli bir süre içinde meydana gelen belirli bir olayın P olasılığı çok küçüktür: P → 0.

-Zaman aralığında birden fazla olayın meydana gelme olasılığı 0'dır.

-Ortalama değer şu şekilde verilen bir sabite yaklaşır: μ = np (n, numune boyutudur)

- σ dağılımı μ'ye eşit olduğundan, daha büyük değerler benimsediğinden, değişkenlik de artar.

-Olaylar kullanılan zaman aralığında eşit olarak dağıtılmalıdır.

-Y olayının olası değerleri kümesi: 0,1,2,3,4….

-Poisson dağılımını izleyen i değişkenlerinin toplamı da başka bir Poisson değişkenidir. Ortalama değeri, bu değişkenlerin ortalama değerlerinin toplamıdır.

Binom dağılımı ile farklılıklar

Poisson dağılımı, aşağıdaki önemli şekillerde binom dağılımından farklılık gösterir:

-Binom dağılımı, hem örnek büyüklüğünden hem de olasılık P'den etkilenir, ancak Poisson dağılımı yalnızca ortalama μ'den etkilenir.

-Binom dağılımında, rastgele değişken y'nin olası değerleri 0,1,2,…, N iken, Poisson dağılımında bu değerler için üst sınır yoktur.

Örnekler

Poisson başlangıçta meşhur dağıtımını yasal davalara uyguladı, ancak endüstriyel düzeyde, ilk kullanımlarından biri bira yapmaktı. Bu süreçte maya kültürleri fermantasyon için kullanılır.

Maya, nüfusu zamanla değişen canlı hücrelerden oluşur. Bira üretiminde gerekli miktarı eklemek gerekir, bu nedenle hacim birimi başına düşen hücre miktarını bilmek gerekir.

II.Dünya Savaşı sırasında Poisson dağılımı, Almanların aslında Calais'den Londra'yı mı hedef aldığını yoksa sadece rastgele ateş mi attığını öğrenmek için kullanıldı. Bu, Müttefiklerin Nazilerin kullanabileceği teknolojinin ne kadar iyi olduğunu belirlemesi açısından önemliydi.

Pratik uygulamalar

Poisson dağılımının uygulamaları her zaman zamandaki sayıları veya uzaydaki sayıları ifade eder. Ve meydana gelme olasılığı küçük olduğu için, "nadir olaylar kanunu" olarak da bilinir.

İşte bu kategorilerden birine giren olayların bir listesi:

-Maya hücrelerinin büyümesi gibi, parçacıkların radyoaktif bozunmaya kaydı üstel bir işlevdir.

-Belirli bir web sitesine yapılan ziyaret sayısı.

-İnsanların ödeme yapmak veya katılmak için bir sıraya gelmesi (kuyruk teorisi)

-Belirli bir zaman aralığında bir yolda belirli bir noktadan geçen araba sayısı.

Şekil 2. Bir noktadan geçen araba sayısı kabaca bir Poisson dağılımını izler. Kaynak: Pixabay.

-Radyasyona maruz kaldıktan sonra belirli bir DNA zincirinde mutasyonlar yaşandı.

- Bir yılda düşen 1 m'den büyük çaplı göktaşlarının sayısı.

-Bir kumaşın metrekare başına kusur.

1 santimetreküp kan hücresi miktarı.

-Bir telefon santraline dakika başına arama.

-1 kg kek hamurunda bulunan çikolata parçaları.

1 hektarlık ormanda belirli bir parazitin bulaştığı ağaç sayısı.

Bu rastgele değişkenlerin, bir olayın belirli bir süre boyunca (telefon santraline dakika başına çağrı) veya belirli bir alan bölgesinde (metrekare başına kumaş kusurları) meydana gelme sayısını temsil ettiğini unutmayın.

Bu olaylar, halihazırda tespit edildiği gibi, son olaydan bu yana geçen zamandan bağımsızdır.

Poisson dağılımı ile binom dağılımına yaklaşma

Poisson dağılımı, aşağıdaki durumlarda iki terimli dağılım için iyi bir yaklaşımdır:

-Örneklem büyüklüğü büyük: n ≥ 100

-P olasılığı küçük: p ≤ 0.1

- μ şu sırayla: np ≤ 10

Bu gibi durumlarda Poisson dağılımı mükemmel bir araçtır çünkü bu durumlarda binom dağılımının uygulanması zor olabilir.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Sismolojik bir çalışma, son 100 yıl içinde dünya çapında, Richter ölçeğinde -logaritmik- en az 6.0 olmak üzere 93 büyük deprem olduğunu belirledi. Poisson dağılımının bu durumda uygun bir model olduğunu varsayalım. bul:

a) Büyük depremlerin yıllık ortalama oluşumu.

b) P (y) rastgele seçilen bir yılda meydana gelen deprem olasılığı ise, aşağıdaki olasılıkları bulun:

P (2) 'den oldukça azdır.

Sonuçlar aşağıda listelenmiştir:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Örneğin, belirli bir yılda büyük bir depremin meydana gelmemesi olasılığının% 39,5 olduğunu söyleyebiliriz. Ya da o yıl meydana gelen 3 büyük depremin% 5,29'u var.

Çözüm c)

c) Frekanslar, n = 100 yıl ile çarpılarak analiz edilir:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 ve 0.00471.

Örneğin:

- 39,5 sıklığı, 100 yılda 39,5'te 0 büyük depremin meydana geldiğini gösterir, büyük bir deprem olmadan 47 yılın gerçek sonucuna oldukça yakın diyebiliriz.

Başka bir Poisson sonucunu gerçek sonuçlarla karşılaştıralım:

- Elde edilen 36,7 değer, 37 yıllık bir dönemde 1 büyük deprem olduğu anlamına gelir. Gerçek sonuç, 31 yılda 1 büyük deprem oldu, modelle iyi bir uyum.

- 2 büyük depremle birlikte 17.1 yıl bekleniyor ve yakın bir değer olan 13 yılda 2 büyük deprem olduğu biliniyor.

Bu nedenle Poisson modeli bu durum için kabul edilebilir.

Egzersiz 2

Bir şirket, 100 çalışma saatine ulaşmadan arızalanan bileşen sayısının bir Poisson dağılımını izlediğini tahmin ediyor. Bu süre içinde ortalama arıza sayısı 8 ise, aşağıdaki olasılıkları bulun:

a) Bir bileşenin 25 saat içinde arızalanması.

b) 50 saat içinde ikiden az bileşenin arızalanması.

c) 125 saat içinde en az üç bileşen arızalanır.

Çözüm)

a) 100 saatteki arızaların ortalamasının 8 olduğu bilinmekte, dolayısıyla 25 saatte dörtte biri, yani 2 arıza beklenmektedir. Bu, μ parametresi olacaktır.

1 bileşenin başarısız olma olasılığı istenir, rastgele değişken "25 saatten önce arızalanan bileşenler" ve değeri y = 1'dir. Olasılık işlevinde ikame ederek:

Bununla birlikte, soru 50 saat içinde ikiden daha az bileşenin başarısız olma olasılığıdır, tam olarak 2 bileşenin 50 saat içinde arızalanması değil, bu nedenle şu olasılıkları eklememiz gerekir:

-Hiç başarısız

- Yalnızca arıza 1

Bu durumda dağılımın μ parametresi şöyledir:

μ = 8 + 2 = 125 saatte 10 arıza.

P (3 veya daha fazla bileşen başarısız) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Referanslar

1. MathWorks. Poisson Dağılımı. Es.mathworks.com adresinden kurtarıldı
2. Mendenhall, W. 1981. Yönetim ve Ekonomi için İstatistik. 3 üncü. baskı. Grupo Editoryal Iberoamérica.
3. Stat Trek. Kendinize İstatistikleri öğretin. Poisson Dağılımı. Kurtarıldı: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11.. Ed. Pearson Education.
5. Vikipedi. Poisson Dağılımı. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı