HIPERGEOMETRIK DAĞILIM: FORMÜLLER, DENKLEMLER, MODEL - DUDAS - 2025

Hipergeometrik dağılım iki olası sonuç ile randomize deneylerde olasılığının hesaplanması için uygun olan ayrı bir istatistiksel bir fonksiyondur. Uygulanması gereken şart, geri çekilmelerin yerine konulmadığı ve olasılıkların sabit olmadığı küçük popülasyonlar olmalarıdır.

Bu nedenle, belirli bir özelliğin sonucunu (doğru veya yanlış) bilmek için popülasyonun bir öğesi seçildiğinde, aynı öğe tekrar seçilemez.

Şekil 1. Bunun gibi bir cıvata popülasyonunda mutlaka kusurlu örnekler vardır. Kaynak: Pixabay.

Elbette, seçilen bir sonraki öğenin, önceki öğenin olumsuz bir sonucu olması durumunda gerçek bir sonuç elde etme olasılığı daha yüksektir. Bu, numuneden öğeler çıkarıldıkça olasılığın değiştiği anlamına gelir.

Hipergeometrik dağılımın ana uygulamaları şunlardır: az nüfuslu süreçlerde kalite kontrolü ve şans oyunlarında olasılıkların hesaplanması.

Hipergeometrik dağılımı tanımlayan matematiksel fonksiyona gelince, şu üç parametreden oluşur:

- Popülasyon elemanlarının sayısı (N)

- Örneklem büyüklüğü (m)

- Tüm popülasyonda, incelenen özelliğin olumlu (veya olumsuz) bir sonucu olan olayların sayısı (n).

Formüller ve denklemler

Hipergeometrik dağılımın formülü, x'in belirli bir karakteristiğin elverişli durumlarının meydana gelmesi olasılığını P verir. Kombinatoryal sayılara dayanarak matematiksel olarak yazmanın yolu şudur:

Önceki ifadede N, n ve m parametrelerdir ve x değişkenin kendisidir.

- Toplam nüfus N.

-Toplam popülasyona göre belirli bir ikili özelliğin pozitif sonuçlarının sayısı n'dir.

-Örnekteki elementlerin miktarı m'dir.

Bu durumda, X, x değerini alan rastgele bir değişkendir ve P (x), incelenen karakteristiğin x'in elverişli durumlarının oluşma olasılığını gösterir.

Önemli istatistiksel değişkenler

Hipergeometrik dağılım için diğer istatistiksel değişkenler şunlardır:

- Ortalama μ = m * n / N

- Varyans σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Varyansın karekökü olan standart sapma σ.

Model ve özellikler

Hipergeometrik dağılım modeline ulaşmak için, m büyüklüğünde bir örneklemde x olumlu durum elde etme olasılığından başlıyoruz. Bu örnek, incelenen mülke uyan öğeler ve uymayan öğeler içerir.

N'nin toplam N element popülasyonundaki olumlu durumların sayısını temsil ettiğini hatırlayın. O zaman olasılık şu şekilde hesaplanır:

Yukarıdakileri kombinatoryal sayılar şeklinde ifade ederek aşağıdaki olasılık dağılım modeline ulaşılır:

Hipergeometrik dağılımın temel özellikleri

Bunlar aşağıdaki gibidir:

- Popülasyon büyük olsa bile örnek her zaman küçük olmalıdır.

- Numunenin öğeleri, tekrar popülasyona dahil edilmeden tek tek çıkarılır.

- İncelenecek özellik ikilidir, yani yalnızca iki değer alabilir: 1 veya 0 veya doğru veya yanlış.

Her element çıkarma adımında, olasılık önceki sonuçlara bağlı olarak değişir.

Binom dağılımını kullanarak yaklaşım

Hipergeometrik dağılımın bir başka özelliği de, N popülasyonu büyük ve örnek m'den en az 10 kat daha büyük olduğu sürece, Bi olarak gösterilen binom dağılımı ile yaklaşık olarak tahmin edilebilmesidir. Bu durumda şöyle görünecektir:

Örnekteki x = 3 vidanın kusurlu olma olasılığı: P (500, 5, 60, 3) = 0.0129.

Numunenin altmışından x = 4 vidanın kusurlu olma olasılığı: P (500, 5, 60; 4) = 0.0008.

Son olarak, o örnekteki x = 5 vidanın kusurlu olma olasılığı: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Ancak, bu örnekte 3'ten fazla kusurlu vida olma olasılığını bilmek istiyorsanız, kümülatif olasılığı, ekleyerek elde etmeniz gerekir:

Bu örnek, okullarda, enstitülerde ve üniversitelerde yaygın olarak kullanılan ücretsiz bir yazılım olan GeoGebra kullanılarak elde edilen şekil 2'de gösterilmektedir.

Şekil 2. Hipergeometrik dağılım örneği. F. Zapata tarafından GeoGebra ile hazırlanmıştır.

Örnek 2

Bir İspanyol destesi destesinde 40 kart bulunur, bunlardan 10'unda altın vardır ve kalan 30'unda yoktur. Bu desteden rastgele 7 kartın çekildiğini ve desteye yeniden dahil edilmediğini varsayalım.

X, çekilen 7 kartta bulunan altın sayısı ise, 7 kartlık çekilişte x altın elde etme olasılığınız hipergeometrik dağılım P (40,10,7; x) ile verilir.

Şöyle bir bakalım: 7 kartlı çekilişte 4 altın olma olasılığını hesaplamak için aşağıdaki değerlerle hipergeometrik dağılım formülünü kullanıyoruz:

Ve sonuç:% 4,57 olasılık.

Ancak 4'ten fazla kart alma olasılığını bilmek istiyorsanız, eklemeniz gerekir:

Çözülmüş egzersizler

Aşağıdaki alıştırmalar, bu makalede sunulan kavramları göstermeyi ve özümsemeyi amaçlamaktadır. Çözüme bakmadan önce okuyucunun bunları kendi başına çözmeye çalışması önemlidir.

1. Egzersiz

Bir prezervatif fabrikası, belirli bir makine tarafından üretilen her 1000 prezervatiften 5'inin kusurlu olduğunu tespit etti. Kalite kontrol için rastgele 100 adet prezervatif alınır ve en az bir veya daha fazla kusur varsa parti reddedilir. Cevap:

a) 100'ün çoğunun atılma olasılığı nedir?

b) Bu kalite kontrol kriteri verimli mi?

Çözüm

Bu durumda, çok büyük kombinatoryal sayılar görünecektir. Uygun bir yazılım paketiniz yoksa hesaplama zordur.

Ancak büyük bir popülasyon olduğu ve örneklem toplam popülasyondan on kat daha küçük olduğu için, hipergeometrik dağılımın iki terimli dağılımla tahminini kullanmak mümkündür:

Yukarıdaki ifadede C (100, x) bir birleşimsel sayıdır. Daha sonra birden fazla kusurlu olma olasılığı şu şekilde hesaplanacaktır:

Hipergeometrik dağılımın uygulanmasıyla elde edilen değerle karşılaştırıldığında mükemmel bir yaklaşımdır: 0.4102

% 40 olasılıkla, 100 profilaktik grubun atılması gerektiği söylenebilir ki bu çok verimli değildir.

Ancak, kalite kontrol sürecinde biraz daha az talepkar olmak ve sadece iki veya daha fazla kusur varsa 100 partiyi atmak, partiyi atma olasılığı sadece% 8'e düşecektir.

Egzersiz 2

Plastik bir blok makinesi, her 10 parçadan biri deforme olacak şekilde çalışır. 5 parçalık bir örnekte, yalnızca bir parçanın kusurlu olma olasılığı nedir?

Çözüm

Nüfus: N = 10

Her N için kusur sayısı n: n = 1

Örneklem büyüklüğü: m = 5

Bu nedenle, 5'lik bir numunede bir bloğun deforme olma olasılığı% 50'dir.

Egzersiz 3

Lise mezunu gençlerin katıldığı bir toplantıda 7 bayan ve 6 bey var. Kızların 4'ü beşeri bilimler ve 3'ü fen bilimleri okuyor. Erkek grubunda 1 beşeri bilimler ve 5 bilim okuyor. Aşağıdakileri hesaplayın:

a) Rastgele üç kız seçmek: Hepsinin beşeri bilimler okuması ne kadar olası?

b) Arkadaş toplantısına katılan üç kişi rastgele seçilirse: Cinsiyete bakılmaksızın üçünün fen bilimleri üçünü veya beşeri bilimleri de üçünü de inceleme olasılığı nedir?

c) Şimdi rastgele iki arkadaş seçin ve x'e rastgele "beşeri bilimler okuyanların sayısı" deyin. Seçilen ikisi arasında, x'in ortalama veya beklenen değerini ve σ ^ 2 varyansını belirleyin.

Çözüm

Şimdi kullanılacak değerler:

Nüfus: N = 14

Harfleri inceleyen miktar: n = 6 ve

- Numunenin boyutu: m = 3.

Beşeri bilimler okuyan arkadaş sayısı: x

Buna göre, x = 3, üçünün de beşeri bilimler okuduğu anlamına gelir, ancak x = 0, hiçbirinin beşeri bilimler çalışmadığı anlamına gelir. Üçünün de aynı çalışma olasılığı, toplamla verilir:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0.0560 + 0.1539 = 0.2099

O zaman rastgele seçilen üç toplantı katılımcısının aynı şeyi inceleme olasılığı% 21'dir.

Çözüm c

Burada aşağıdaki değerlere sahibiz:

N = 14 toplam arkadaş nüfusu, n = 6 beşeri bilimler okuyan popülasyondaki toplam sayı, örneklem büyüklüğü m = 2'dir.

Umut:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

Ve varyans:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0.4521

Referanslar

1. Kesikli olasılık dağılımları. Kurtarıldı: biplot.usal.es
2. İstatistik ve olasılık. Hipergeometrik dağılım. Kurtarıldı: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Hipergeometrik dağılım. Ugr.es'den kurtarıldı
4. Geogebra. Klasik geogebra, olasılık hesabı. Geogebra.org'dan kurtarıldı
5. Kolay deneyin. Hipergeometrik dağılım problemleri çözüldü. Kurtarıldı: probafacil.com
6. Minitab. Hipergeometrik dağılım. Support.minitab.com adresinden kurtarıldı
7. Vigo Üniversitesi. Ana ayrık dağılımlar. Anapg.webs.uvigo.es adresinden kurtarıldı
8. Vitutor. İstatistikler ve kombinatorikler. Vitutor.net'ten kurtarıldı
9. Weisstein, Eric W. Hipergeometrik Dağılım. Kurtarıldı: mathworld.wolfram.com
10. Vikipedi. Hipergeometrik dağılım. Kurtarıldı: es.wikipedia.com