TEKRARLAMAYAN PERMÜTASYONLAR: FORMÜLLER, ISPAT, ALIŞTIRMALAR, ÖRNEKLER - DUDAS - 2025

Bir tekrar olmadan permütasyon N elemanlar sadece elemanlarının yerleştirme sırası değişen bir elemanı olmayan tekrar elde edilebilir farklı elemanların farklı gruplardır.

Tekrarlamadan permütasyon sayısını bulmak için aşağıdaki formül kullanılır:

Pn = n!

Hangi genişletilmiş Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Yani önceki pratik örnekte aşağıdaki gibi uygulanacaktır:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 farklı 4 basamaklı sayı.

Bunlar toplamda 24 dizidir: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Görüldüğü gibi 24 farklı sayı olduğu için hiçbir durumda tekrar yoktur.

Demo ve formüller

24 4 farklı şeklin düzenlenmesi

2468 rakamıyla oluşturulabilen 24 farklı 4 haneli düzenleme örneğini daha spesifik olarak inceleyeceğiz. Düzenleme sayısı (24) aşağıdaki gibi bilinebilir:

İlk haneyi seçmek için 4 seçeneğiniz vardır, ikinciyi seçmek için 3 seçenek bırakır. İki basamak zaten ayarlanmıştır ve üçüncü basamağı seçmek için 2 seçenek kalmıştır. Son rakamın yalnızca bir seçim seçeneği vardır.

Bu nedenle, P4 ile gösterilen permütasyon sayısı, her pozisyondaki seçim seçeneklerinin çarpımı ile elde edilir:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 farklı 4 basamaklı sayı

Genel olarak, belirli bir kümenin tüm n elemanlarıyla gerçekleştirilebilecek farklı permütasyonların veya düzenlemelerin sayısı:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

İfade n! N faktöriyel olarak bilinir ve her ikisi de dahil olmak üzere n sayısı ile bir sayısı arasındaki tüm doğal sayıların ürünü anlamına gelir.

12 2 farklı figürün düzenlenmesi

Şimdi, 2468 sayısının basamaklarıyla oluşturulabilecek permütasyonların veya iki basamaklı sayıların sayısını bilmek istediğinizi varsayalım.

Bunlar toplamda 12 düzenleme olacaktır: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

İlk haneyi seçmek için 4 seçeneğiniz vardır, ikinciyi seçmek için 3 rakam bırakır. Bu nedenle, 4P2 ile gösterilen, ikişer ikişer alınan 4 hanenin permütasyon sayısı, her pozisyondaki seçim seçeneklerinin çarpımı ile elde edilir:

4P2 = 4 * 3 = 12 farklı 2 basamaklı sayı

Genel olarak, belirli bir kümede toplamda n'nin r elemanları ile gerçekleştirilebilecek farklı permütasyonların veya düzenlemelerin sayısı şöyledir:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

N! Oynamadan önce yukarıdaki ifade kesilir. Tamamlamak için n! ondan yazmalıyız:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Eklediğimiz faktörler sırayla bir faktöriyel temsil eder:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Böylece,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Buradan

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Örnekler

örnek 1

KEY kelimesinin harfleri ile kaç farklı 5 harfli harf kombinasyonu oluşturulabilir?

KEY kelimesinin 5 harfiyle oluşturulabilecek 5 harflik farklı harf kombinasyonlarının sayısını bulmak istiyoruz; yani, KEY sözcüğünde bulunan tüm harfleri içeren 5 harfli dizilerin sayısı.

5 harfli kelime sayısı = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 farklı 5 harfli harf kombinasyonu.

Bunlar: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… toplamda 120'ye kadar farklı harf kombinasyonu olacaktır.

Örnek 2

15 numaralı topunuz var ve bilmek istiyorsunuz 15 numaralı top ile 3 topluk kaç farklı grup oluşturulabilir?

Numaralı 15 top ile yapılabilecek 3 topun gruplarının sayısını bulmak istiyorsunuz.

3 topluk grup sayısı = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

3 topluk grup sayısı = 15 * 14 * 13 = 2730 3 topluk grup

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Bir meyve deposu, binaya giriş salonunda bulunan bir dizi bölmeden oluşan bir sergi standına sahiptir. Bir gün içinde manav satışa çıkar: portakal, muz, ananas, armut ve elma.

a) Fuar standını kaç farklı şekilde sipariş etmelisiniz?

b) Bahsedilen meyvelere (5) ek olarak, o gün mango, şeftali, çilek ve üzüm (4) aldıysanız, standı sipariş etmeniz için kaç farklı yol gerekir?

a) Görüntüleme satırındaki tüm meyveleri sipariş etmenin farklı yollarının sayısını bulmak istiyoruz; yani o gün satışa sunulan tüm meyveleri içeren 5 meyve parçasının aranjman sayısı.

Stand düzenlemelerinin sayısı = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Stand düzenlemelerinin sayısı = standı sunmanın 120 yolu

b) 4 ek öğe eklenmişse, görüntü satırındaki tüm meyveleri sipariş etmenin farklı yollarının sayısını bulmak istiyoruz; yani o gün satışa sunulan tüm meyveleri içeren 9 meyve parçasının aranjman sayısı.

Stand düzenlemelerinin sayısı = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Stant düzenlemelerinin sayısı = Stant sunmanın 362,880 yolu

Egzersiz 2

Küçük bir gıda satış noktası, 6 aracı park etmek için yeterli alana sahip bir arsaya sahiptir.

a) Arazi parselindeki araçları sipariş etmenin kaç farklı yolu seçilebilir?

b) Boyutları 10 aracın park edilmesine izin veren bitişik bir arsanın elde edildiğini varsayalım Şimdi kaç farklı araç düzenleme biçimi seçilebilir?

a) Arazide barındırılabilecek 6 aracı sipariş etmenin farklı yollarının sayısını bulmak istiyoruz.

6 aracın düzenleme sayısı = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

6 aracın düzenleme sayısı = Arazideki 6 aracı sipariş etmenin 720 farklı yolu.

b) Arazinin genişletilmesinden sonra arsa içinde barındırılabilecek 10 aracı sipariş etmenin farklı yollarının sayısını bulmak istiyoruz.

10 aracın düzenleme sayısı = P10 = 10!

Araç düzenlemelerinin sayısı = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

10 aracın düzenleme sayısı = 3.628.800 arazi parselindeki 10 aracı sipariş etmenin farklı yolları.

Egzersiz 3

Bir çiçekçi, yalnızca 3 rengi olan ulusların çiçek bayraklarını yapmak için 6 farklı renkte çiçeklere sahiptir. Bayraklarda renk sırasının önemli olduğu biliniyorsa,

a) Mevcut 6 renk ile 3 renkten kaç farklı bayrak yapılabilir?

b) Satıcı, sahip olduğu 6 taneye 2 ek renk çiçek satın alır, şimdi 3 renkten kaç farklı bayrak yapılabilir?

c) 8 renge sahip olduğunuz için bayrak yelpazenizi genişletmeye karar veriyorsunuz.Kaç tane farklı 4 renkli bayrak yapabilirsiniz?

d) 2 renkten kaç tane?

a) Mevcut 6 renkten seçilerek yapılabilecek 3 renk farklı bayrak sayısını bulmak istiyoruz.

3 renkli bayrak sayısı = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

3 renkli bayrak sayısı = 6 * 5 * 4 = 120 bayrak

b) Mevcut 8 renkten seçilerek yapılabilecek 3 farklı farklı bayrak sayısını bulmak istiyorsunuz.

3 renkli bayrak sayısı = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

3 renkli bayrak sayısı = 8 * 7 * 6 = 336 bayrak

c) Mevcut 8 renkten seçilerek yapılabilecek farklı 4 renkli bayrak sayısı hesaplanmalıdır.

4 renkli bayrakların sayısı = 8P4 = 8! / (8-4)!

4 renkli bayrak sayısı = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 bayrak

d) Mevcut 8 renk arasından seçim yaparak yapılabilecek farklı 2 renkli bayrakların sayısını belirlemek istiyorsunuz.

2 renkli bayrak sayısı = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

2 renkli bayrak sayısı = 8 * 7 = 56 bayrak

Referanslar

1. Boada, A. (2017). Deney öğretimi olarak tekrarlı permütasyonun kullanılması. Vivat Academia Dergisi. Researchgate.net'ten kurtarıldı.
2. Canavos, G. (1988). Olasılık ve istatistikler. Uygulamalar ve yöntemler. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G .; Stanley, J. (1996). Sosyal bilimlere uygulanmayan istatistiksel yöntemler. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). İstatistik. Dördüncü baskı. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Evet, Ka. (2007). Mühendisler ve bilim adamları için Olasılık ve İstatistik. Sekizinci baskı. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). İşletme ve ekonomiye uygulanan istatistikler. Üçüncü baskı. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permütasyon. En.wikipedia.org'dan kurtarıldı.