ELIPSOID: ÖZELLIKLER VE ÖRNEKLER - ARTE - 2025

Elipsoid genel denklemi formda olan ikinci dereceden yüzeyleri ve grubuna ait boşlukta bir yüzeydir:

Bazı özel durumlarda eliptik ve dairesel izlere sahip olmasıyla karakterize edilen bir elipsin üç boyutlu eşdeğeridir. İzler, elipsoidin bir düzlemle kesişmesiyle elde edilen eğrilerdir.

Şekil 1. Üç farklı elipsoid: üstte üç yarı eksenin eşit olduğu bir küre, sol altta iki eşit yarı ekseni ve farklı bir tane olan bir küre ve son olarak sağ altta üç farklı ekseni olan üç eksenli bir küre uzunluğu. Kaynak: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Elipsoide ek olarak, beş tane daha kuadrik vardır: tek yapraklı ve iki yapraklı hiperboloid, iki tür paraboloid (hiperbolik ve eliptik) ve eliptik koni. İzleri de koniktir.

Elipsoid ayrıca Kartezyen koordinatlarda standart denklem ile ifade edilebilir. Orijini (0,0,0) merkez alan ve bu şekilde ifade edilen bir elipsoid, elipse benzer, ancak ek bir terimle:

A, b ve c'nin değerleri 0'dan büyük gerçek sayılardır ve elipsoidin üç yarı eksenini temsil eder.

Elipsoid özellikleri

- Standart denklem

(H, k, m) noktasında ortalanmış elips için Kartezyen koordinatlarındaki standart denklem:

- Elipsoidin parametrik denklemleri

Küresel koordinatlarda, elipsoid şu şekilde tanımlanabilir:

x = bir günah θ. çünkü φ

y = b günah θ. sen φ

z = c çünkü θ

Elipsoidin yarı eksenleri a, b ve c olarak kalırken, parametreler aşağıdaki şeklin θ ve φ açılarıdır:

Şekil 2. Küresel koordinat sistemi. Elipsoid, parametreler olarak gösterilen teta ve phi açıları kullanılarak parametrelendirilebilir. Kaynak: Wikimedia Commons. Andeggs / Kamu malı.

- Elipsoidin izleri

Uzayda bir yüzeyin genel denklemi F (x, y, z) = 0'dır ve yüzeyin izleri eğrilerdir:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Bir elipsoid durumunda, bu tür eğriler elipsler ve bazen dairelerdir.

- Ses

Elipsoidin hacmi V, üç yarı ekseninin çarpımı (4/3) π ile verilir:

V = (4/3) π. ABC

Elipsoidin özel durumları

- Tüm yarı eksenler aynı boyutta olduğunda bir elipsoid bir küre haline gelir: a = b = c ≠ 0. Bu mantıklıdır, çünkü elipsoid her biri boyunca farklı şekilde gerilmiş bir küre gibidir. eksen.

-Sferoid, yarı eksenlerden ikisinin aynı ve üçüncüsünün farklı olduğu bir elipsoiddir, örneğin a = b ≠ c olabilir.

Küreye aynı zamanda bir dönme elipsoidi de denir, çünkü elipslerin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulabilir.

Dönme ekseni ana eksenle çakışırsa, sfero prolattır, ancak küçük eksenle çakışırsa oblate'dir:

Şekil 3. Solda sferoit ve sağda sferoit prolat. Kaynak: Wikimedia Commons.

Küresel düzleşmenin (eliptiklik) ölçüsü, kesirli biçimde ifade edilen iki yarı eksen arasındaki uzunluk farkıyla verilir, yani birim düzleştirmedir, şu şekilde verilir:

f = (a - b) / a

Bu denklemde, a yarı büyük ekseni ve b yarı küçük ekseni temsil eder, üçüncü eksenin bir sfero için bunlardan birine eşit olduğunu unutmayın. F'nin değeri 0 ile 1 arasındadır ve bir sfero için 0'dan büyük olması gerekir (0'a eşit olsaydı, basitçe bir küreye sahip olurduk).

Referans elipsoid

Gezegenler ve genel olarak yıldızlar, genellikle mükemmel küreler değildir, çünkü eksenleri etrafındaki dönme hareketi, kutuplarda gövdeyi düzleştirir ve onu ekvatorda şişkinleştirir.

Bu nedenle Dünya, önceki şekildeki kadar abartılı olmasa da basık bir küremsi gibi çıkıyor ve gaz devi Satürn, güneş sistemindeki gezegenlerin en düz olanı.

Bu yüzden gezegenleri temsil etmenin daha gerçekçi bir yolu, yarı büyük ekseni ekvator yarıçapı ve yarı küçük ekseni kutup yarıçapı olan bir küresel veya elipsoid gibi olduklarını varsaymaktır.

Dünya üzerinde yapılan dikkatli ölçümler, matematiksel olarak çalışmanın en kesin yolu olarak Dünya'nın referans elipsoidini oluşturmayı mümkün kılmıştır.

Yıldızların ayrıca kendilerine az çok düzleştirilmiş şekiller veren dönme hareketleri vardır. Güneydeki Eridanus takımyıldızındaki gece gökyüzündeki en parlak sekizinci yıldız olan hızlı yıldız Achernar, çoğu yıldızla karşılaştırıldığında dikkat çekici derecede eliptiktir. Bizden 144 ışık yılı uzakta.

Diğer uçta, birkaç yıl önce bilim adamları şimdiye kadar bulunan en küresel nesneyi buldular: 5000 ışıkyılı uzaklıkta, Güneşimizin iki katı büyüklüğünde olan Kepler 11145123 yıldızı ve sadece 3 km'lik yarı eksenler arasındaki fark. Beklendiği gibi, aynı zamanda daha yavaş dönüyor.

Dünya'ya gelince, engebeli yüzeyi ve yerçekimindeki yerel değişiklikler nedeniyle mükemmel bir küremsi değildir. Bu nedenle birden fazla referans sferoit mevcuttur ve her sahada yerel coğrafyaya en uygun olanı seçilmiştir.

Uyduların yardımı, Dünya'nın şeklinin giderek daha doğru modellerini oluşturmada paha biçilmezdir, onlar sayesinde, örneğin, güney kutbunun ekvatora kuzey kutbundan daha yakın olduğu bilinmektedir.

Şekil 4. Trans-Neptunian cüce gezegen Haumea, elipsoidal bir şekle sahiptir. Kaynak: Wikimedia Commons.

Sayısal örnek

Dünya'nın dönüşü nedeniyle, ona küre yerine dikdörtgen bir elipsoid şeklini veren bir merkezkaç kuvveti üretilir. Dünya'nın ekvator yarıçapının 3963 mil olduğu ve kutup yarıçapının 3942 mil olduğu bilinmektedir.

Ekvator çizgisinin denklemini, bu elipsoidin denklemini ve düzleşmesinin ölçüsünü bulun. Ayrıca Satürn'ün eliptikliği ile aşağıda verilen verilerle karşılaştırın:

-Saturn Ekvator Yarıçapı: 60,268 km

-Sürn'ün kutup yarıçapı: 54,364 km

Çözüm

Merkeze (Dünya'nın merkezine) dayandığını varsayacağımız bir koordinat sistemi gereklidir. Dikey z ekseninin ve ekvatora karşılık gelen izin z = 0 düzlemine eşdeğer xy düzleminde bulunduğunu varsayacağız.

Ekvator düzleminde yarı eksenler a ve b eşittir, dolayısıyla a = b = 3963 mil, c = 3942 mil. Bu özel bir durumdur: yukarıda belirtildiği gibi (0,0,0) noktasında merkezlenmiş bir küremsi.

Ekvatoral iz, orijinde ortalanmış R = 3963 mil yarıçaplı bir çemberdir. Standart denklemde z = 0 yapılarak hesaplanır:

Ve karasal elipsoidin standart denklemi:

f _Dünya = (a - b) / a = (3963-3942) mil / 3963 mil = 0.0053

f _Satürn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Eliptikliğin f boyutsuz bir miktar olduğuna dikkat edin.

Referanslar

1. ArcGIS for Desktop. Sferoidler ve küreler. Kurtarıldı: desktop.arcgis.com.
2. BBC Dünya. Evrende şimdiye kadar keşfedilmiş en küresel nesnenin gizemi. Bbc.com adresinden kurtarıldı.
3. Larson, R. Matematik ve Analitik Geometri. Altıncı baskı. Cilt 2. McGraw Hill.
4. Vikipedi. Elipsoit. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.
5. Vikipedi. Sferoid. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.