ANALITIK GEOMETRI: NEYI INCELER, TARIHÇESI, UYGULAMALARI - MATEMATIK - 2025

Analitik geometri bir koordinat belirli bir sistemde, temel cebri tekniklerini ve matematiksel uygulayarak çalışmalar çizgiler ve geometrik şekiller.

Sonuç olarak, analitik geometri, geometrik şekillerin tüm verilerini, yani hacmi, açıları, alanı, kesişme noktalarını, mesafelerini ve diğerlerini ayrıntılı olarak analiz eden bir matematik dalıdır.

Analitik geometrinin temel özelliği, geometrik şekillerin formüller aracılığıyla temsiline izin vermesidir.

Örneğin, çevreler ikinci dereceden polinom denklemleri ile temsil edilirken, çizgiler birinci dereceden polinom denklemleri ile ifade edilir.

Analitik geometri, şimdiye kadar çözümü olmayan sorunlara yanıt verme ihtiyacı nedeniyle 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. En büyük temsilcileri René Descartes ve Pierre de Fermat'dı.

Bugün pek çok yazar, modern matematiğin başlangıcını temsil ettiği için matematik tarihinde devrim niteliğinde bir yaratılış olduğuna işaret ediyor.

Analitik geometri tarihi

Analitik geometri terimi, on yedinci yüzyılda Fransa'da cebir ve geometri kullanılarak çözülemeyen sorunlara tek başına yanıt verme ihtiyacı nedeniyle ortaya çıktı, ancak çözüm her ikisinin birlikte kullanımında yatıyordu.

Analitik geometrinin ana temsilcileri

On yedinci yüzyılda, şans eseri iki Fransız, şu ya da bu şekilde analitik geometrinin yaratılmasıyla sonuçlanan araştırmalar yaptı. Bu insanlar Pierre de Fermat ve René Descartes idi.

Şu anda analitik geometrinin yaratıcısının René Descartes olduğu düşünülmektedir. Bunun nedeni, kitabını Fermat'tan önce ve ayrıca Descartes ile birlikte analitik geometri konusunda derinlemesine yayınlamış olmasıdır.

Ancak hem Fermat hem de Descartes, çizgilerin ve geometrik şekillerin denklemlerle ifade edilebileceğini ve denklemlerin çizgiler veya geometrik şekiller olarak ifade edilebileceğini keşfettiler.

İkilinin yaptığı keşiflere göre ikisinin de analitik geometrinin yaratıcıları olduğu söylenebilir.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat, 1601 yılında doğan ve 1665 yılında vefat eden Fransız bir matematikçiydi. Yaşamı boyunca, o dönemde var olan ölçüm problemlerini çözmek için Öklid, Apollonius ve Pappus'un geometrisini inceledi.

Daha sonra bu çalışmalar geometri oluşumunu tetikledi. 1679'da ölümünden 14 yıl sonra yayınlanan "Düz ve sağlam yerlere giriş" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge) adlı kitabında ifade edildiler.

Pierre de Fermat, Apollonius'un teoremlerine 1623'te geometrik yerler üzerine analitik geometri uyguladı. Ayrıca, analitik geometriyi üç boyutlu uzaya ilk uygulayan oydu.

Rene Descartes

Cartesius olarak da bilinen, 31 Mart 1596'da Fransa'da doğan ve 1650'de ölen bir matematikçi, fizikçi ve filozoftu.

René Descartes, 1637'de daha çok "Yöntem" olarak bilinen "Aklın doğru bir şekilde yürütülmesi ve bilimlerde gerçeği arama yöntemi" adlı kitabını yayınladı ve buradan analitik geometri terimi dünyaya tanıtıldı. Eklerinden biri "Geometri" idi.

Analitik geometrinin temel unsurları

Analitik geometri aşağıdaki unsurlardan oluşur:

Kartezyen koordinat sistemi

Bu sistem, René Descartes'ın adını almıştır.

Adını veren ya da Kartezyen koordinat sistemini tamamlayan kişi değildi, ancak gelecekteki bilim adamlarının onu tamamlamasına izin veren pozitif sayılarla koordinatlardan söz eden oydu.

Bu sistem, dikdörtgen koordinat sistemi ve kutupsal koordinat sisteminden oluşur.

Dikdörtgen koordinat sistemleri

Dikdörtgen koordinat sistemlerine, kesme noktasının ortak sıfır ile çakıştığı, birbirine dik iki sayı çizgisinin izlenmesiyle oluşturulan düzlem denir.

Daha sonra bu sistem yatay ve dikey bir hattan oluşacaktı.

Yatay çizgi, X ekseni veya apsis eksenidir. Dikey çizgi, Y ekseni veya koordinat ekseni olacaktır.

Kutupsal koordinat sistemi

Bu sistem, bir noktanın sabit bir çizgiye ve hat üzerindeki sabit bir noktaya göre göreceli konumunu doğrulamaktan sorumludur.

Doğrunun kartezyen denklemi

Bu denklem, içinden geçtiği iki nokta bilindiğinde bir çizgiden elde edilir.

Düz

Sapma yapmayan ve bu nedenle ne eğrileri ne de açıları olan bir tanesidir.

Konikler

Sabit bir noktadan geçen çizgiler ve bir eğrinin noktaları ile tanımlanan eğrilerdir.

Elips, çevre, parabol ve hiperbol konik eğrilerdir. Her biri aşağıda açıklanmıştır.

Çevre

Çevre, bir iç noktadan yani çevrenin merkezinden eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarının oluşturduğu kapalı düzlem eğrisi olarak adlandırılır.

Benzetme

Sabit bir noktadan (odak) ve sabit bir çizgiden (directrix) eşit uzaklıkta olan düzlemdeki noktaların konumudur. Dolayısıyla, directrix ve odak, parabolü tanımlayan şeydir.

Parabol, bir generatrix'e paralel bir düzlem boyunca bir konik dönüş yüzeyinin bir bölümü olarak elde edilebilir.

Elips

Bir düzlemde hareket ederken bir noktayı tanımlayan kapalı eğri, iki (2) sabit noktaya (odak olarak adlandırılır) olan mesafelerinin toplamı sabit olacak şekilde elips olarak adlandırılır.

Hiperbol

Hiperbol, iki sabit noktanın (odakların) mesafeleri arasındaki farkın sabit olduğu, düzlemdeki noktaların lokusu olarak tanımlanan eğri olarak adlandırılır.

Hiperbol, odak ekseni adı verilen odaklardan geçen bir simetri eksenine sahiptir. Ayrıca uçlarında sabit noktaları olan segmentin açıortay olan bir tane daha vardır.

Uygulamalar

Günlük yaşamın farklı alanlarında analitik geometrinin birçok uygulaması vardır. Örneğin, analitik geometrinin temel unsurlarından biri olan parabolü, günümüzde günlük olarak kullanılan birçok araçta bulabiliriz. Bu araçlardan bazıları aşağıdaki gibidir:

Uydu anteni

Parabolik antenler, söz konusu antenin ekseni üzerinde dönen bir parabolün bir sonucu olarak üretilen bir reflektöre sahiptir. Bu eylemin bir sonucu olarak oluşan yüzeye paraboloit denir.

Paraboloidin bu yeteneğine bir parabolün optik özelliği veya yansıma özelliği denir ve bu sayede paraboloidin anteni oluşturan besleme mekanizmasından aldığı elektromanyetik dalgaları yansıtması mümkündür.

Asma köprüler

Bir ip homojen ama aynı zamanda ipin kendisinin ağırlığından oldukça fazla olan bir ağırlığı desteklediğinde, sonuç bir parabol olacaktır.

Bu prensip, genellikle geniş çelik kablo yapıları ile desteklenen asma köprülerin inşası için esastır.

Asma köprülerdeki benzetme ilkesi, Amerika Birleşik Devletleri'nin San Francisco şehrinde bulunan Golden Gate Köprüsü veya Japonya'da bulunan ve Adasını birbirine bağlayan Büyük Akashi Boğazı Köprüsü gibi yapılarda kullanılmıştır. O ülkenin ana adası Honshū ile Awaji.

Astronomik analiz

Analitik geometrinin astronomi alanında çok özel ve kesin kullanımları vardır. Bu durumda, merkez aşamayı alan analitik geometrinin öğesi elipstir; Johannes Kepler'in gezegenlerin hareket yasası bunu yansıtıyor.

Alman matematikçi ve astronom Kepler, elipsin Mars'ın hareketine en uygun eğri olduğunu belirledi; Daha önce Copernicus tarafından önerilen dairesel modeli test etmişti, ancak deneylerinin ortasında, elipsin incelediği gezegeninkine mükemmel bir şekilde benzer bir yörünge çizmeye hizmet ettiği sonucuna vardı.

Elips sayesinde Kepler, gezegenlerin eliptik yörüngelerde hareket ettiğini doğrulayabildi; bu değerlendirme, Kepler'in sözde ikinci yasasının ifadesiydi.

Daha sonra İngiliz fizikçi ve matematikçi Isaac Newton tarafından zenginleştirilen bu keşiften, gezegenlerin yörünge hareketlerini incelemek ve parçası olduğumuz evren hakkında sahip olunan bilgiyi artırmak mümkün oldu.

Cassegrain teleskopu

Cassegrain teleskopu, mucidi Fransız doğumlu fizikçi Laurent Cassegrain'in adını almıştır. Bu teleskopta analitik geometri prensipleri kullanılır, çünkü esas olarak iki aynadan oluşur: birincisi içbükey ve parabolik, ikincisi ise dışbükey ve hiperboliktir.

Bu aynaların konumu ve doğası, küresel sapma olarak bilinen kusurun gerçekleşmemesine izin verir; Bu kusur, ışık ışınlarının belirli bir merceğin odağına yansımasını engeller.

Cassegrain teleskopu, çok yönlü ve kullanımı kolay olmasının yanı sıra, gezegen gözlemi için çok kullanışlıdır.

Referanslar

1. Analitik Geometri. 20 Ekim 2017'de britannica.com'dan alındı
2. Analitik Geometri. 20 Ekim 2017'de encyclopediafmath.org'dan alındı
3. Analitik Geometri. Khancademy.org'dan 20 Ekim 2017'de alındı
4. Analitik Geometri. 20 Ekim 2017'de wikipedia.org'dan alındı
5. Analitik Geometri. Whitman.edu'dan 20 Ekim 2017'de alındı
6. Analitik Geometri. Stewartcalculus.com'dan 20 Ekim 2017'de alındı
7. Düzlem analitik geometrisi Erişim tarihi 20 Ekim 2017