ÜS YASALARI (ÖRNEKLER VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALARLA) - MATEMATIK - 2024

Üstlerin kanunları bir baz numarası kendisiyle çarpımı olmalıdır kaç kez gösterir numarası için geçerlidir olanlardır. Üsler aynı zamanda güçler olarak da bilinir. Güçlendirme, işlemin sonucu olan bir taban (a), üs (m) ve kuvvet (b) tarafından oluşturulan matematiksel bir işlemdir.

Üsler genellikle çok büyük miktarlar kullanıldığında kullanılır, çünkü bunlar aynı sayının belirli sayıda çarpımını temsil eden kısaltmalardan başka bir şey değildir. Üsler hem pozitif hem de negatif olabilir.

Üslerin yasalarının açıklaması

Daha önce de belirtildiği gibi, üsler, sayıları kendileri ile birden çok kez çarpmayı temsil eden kısa bir formdur, burada üs yalnızca soldaki sayı ile ilgilidir. Örneğin:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Bu durumda 2 sayısı, üssün sağ üst köşesinde bulunan üssün gösterdiği gibi 3 kez çarpılacak olan kuvvetin tabanıdır. İfadeyi okumanın farklı yolları vardır: 2'si 3'e yükseltilmiş veya ayrıca 2 küpü yükseltilmiş.

Üsler ayrıca bölünebilecekleri sayıları da gösterir ve bu işlemi çarpmadan ayırmak için üs, önünde eksi işareti (-) vardır (negatiftir), yani üs, a'nın paydasında olduğu anlamına gelir. fraksiyonu. Örneğin:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Bu, üssün tek veya çift olup olmadığına bağlı olarak gücün pozitif mi yoksa negatif mi olacağını belirleyeceğinden, tabanın negatif olduğu durumla karıştırılmamalıdır. Yani yapmanız gereken:

- Üs çift ise, güç pozitif olacaktır. Örneğin:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Üs tuhafsa, güç negatif olacaktır. Örneğin:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Üs 0'a eşitse kuvvetin 1'e eşit olduğu özel bir durum vardır. Tabanın 0 olma olasılığı da vardır; bu durumda üsse bağlı olarak güç belirsiz olacaktır.

Üslerle matematiksel işlemler gerçekleştirmek için, bu işlemlere çözüm bulmayı kolaylaştıran birkaç kural veya normu izlemek gerekir.

Birinci yasa: üssün gücü 1'e eşittir

Üs 1 olduğunda, sonuç tabanın aynı değeri olacaktır: a ¹ = a.

Örnekler

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

İkinci yasa: üs kuvveti 0'a eşittir

Üs 0 olduğunda, taban sıfır değilse, sonuç şöyle olacaktır: a ⁰ = 1.

Örnekler

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Üçüncü yasa: negatif üs

Eksponte negatif olduğu için sonuç, gücün payda olacağı bir kesir olacaktır. Örneğin, m pozitifse, a ^-m = 1 / a ^m .

Örnekler

- ^3-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Dördüncü yasa: eşit tabana sahip güçlerin çarpımı

Bazların 0'a eşit ve 0'dan farklı olduğu güçleri çarpmak için, taban kalır ve üsler eklenir: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Örnekler

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Beşinci yasa: eşit tabana sahip kuvvetler bölümü

Bazların 0'a eşit ve 0'dan farklı olduğu güçleri bölmek için, taban tutulur ve üsler aşağıdaki gibi çıkarılır: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Örnekler

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^(2-1) = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^Ekim = 6 ^(15-10) 6 = ⁵ .

- 49 ^Aralık / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Altıncı yasa: farklı tabana sahip güçlerin çarpımı

Bu yasa, dördüncü maddede ifade edilenin tam tersine sahiptir; yani, farklı tabanlarınız varsa, ancak aynı üslere sahipseniz, tabanlar çarpılır ve üs tutulur: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Örnekler

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Bu yasayı temsil etmenin başka bir yolu, bir çarpma işleminin bir güce yükseltilmesidir. Bu nedenle, üs şu terimlerin her birine ait olacaktır: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Örnekler

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Yedinci yasa: farklı tabana sahip kuvvetler ayrılığı

Farklı tabanlara sahipseniz ancak aynı üslere sahipseniz, tabanları bölün ve üssü koruyun: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Örnekler

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ .

Benzer şekilde, bir bölme bir kuvvete yükseltildiğinde, üs şu terimlerin her birine ait olacaktır: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Örnekler

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Üssün negatif olduğu bir durum var. Daha sonra, pozitif olması için pay değeri aşağıdaki gibi paydanın değeri ile ters çevrilir:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Sekizinci yasa: bir gücün gücü

Başka bir kuvvete yükseltilmiş bir güce sahip olduğunuzda -yani aynı anda iki üsse-, taban korunur ve üsler çarpılır: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Örnekler

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 x 12),} 238 = ¹²⁰ .

Dokuzuncu yasa: kesirli üs

Kuvvetin üs olarak bir kesri varsa, bu, payın üs olarak kaldığı ve payda kökün indeksini temsil ettiği bir n'inci köke dönüştürülerek çözülür:

Misal

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Farklı temellere sahip güçler arasındaki işlemleri hesaplayın:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Çözüm

Üslerin kuralları uygulandığında, tabanlar payda çarpılır ve üs şu şekilde korunur:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Şimdi, aynı tabanlara sahip olduğumuzdan, ancak farklı üslere sahip olduğumuz için, taban korunur ve üsler çıkarılır:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) 8 = ²

Egzersiz 2

Başka bir güce yükseltilen güçler arasındaki işlemleri hesaplayın:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Çözüm

Yasaları uygulayarak yapmanız gerekenler:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Referanslar

1. Aponte, G. (1998). Temel Matematiğin Temelleri. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Günlük hayata uygulanan matematik.
3. Jiménez JR (2009). Matematik 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Cebir ve Trigonometri.
5. Rees, PK (1986). Reverte.