TRIGONOMETRIK LIMITLER NEDIR? (EGZERSIZLER ÇÖZÜLDÜ) - MATEMATIK - 2024

Trigonometrik sınırları bu fonksiyonlar trigonometrik fonksiyonlar ile oluşturulmaktadır, öyle ki fonksiyonların sınırlarıdır.

Bir trigonometrik limitin nasıl hesaplanacağını anlamak için bilinmesi gereken iki tanım vardır.

Bu tanımlar:

- "x", "b" ye meyilli olduğunda "f" fonksiyonunun limiti: "b" ye ulaşmadan, "x" "b" ye yaklaşırken f (x) 'in yaklaştığı değerin hesaplanmasından oluşur. ».

- Trigonometrik fonksiyonlar: trigonometrik fonksiyonlar, sırasıyla sin (x), cos (x) ve tan (x) ile gösterilen sinüs, kosinüs ve teğet fonksiyonlardır.

Diğer trigonometrik fonksiyonlar, yukarıda bahsedilen üç fonksiyondan elde edilir.

İşlev sınırları

Bir fonksiyon limiti kavramını açıklığa kavuşturmak için basit fonksiyonlarla bazı örnekler göstermeye devam edeceğiz.

- Fonksiyon her zaman sabit olduğundan "x" "8" e eşit olduğunda f (x) = 3 sınırı "3" e eşittir. "X" değeri ne kadar olursa olsun, f (x) 'in değeri her zaman "3" olacaktır.

- «x» «6» ya eğilim «4» olduğunda f (x) = x-2 sınırı. "X" "6" ya yaklaştığı zaman, "x-2" "6-2 = 4" e yaklaşır.

- "x" "3" 'e eşit olduğunda g (x) = x² sınırı 9'a eşittir, çünkü "x" "3"' e yaklaştığında "x²" "3² = 9" 'a yaklaşır .

Önceki örneklerde görülebileceği gibi, bir limitin hesaplanması, fonksiyonda "x" in eğilimli olduğu değerin değerlendirilmesinden oluşur ve sonuç, limitin değeri olacaktır, ancak bu sadece sürekli fonksiyonlar için doğrudur.

Daha karmaşık sınırlar var mı?

Cevap Evet. Yukarıdaki örnekler, sınırların en basit örnekleridir. Matematik kitaplarında, ana limit alıştırmaları 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ve (∞) türünde bir belirsizlik yaratan egzersizlerdir. ^ 0.

Bu ifadeler, matematiksel olarak anlam ifade etmeyen ifadeler oldukları için belirsizlikler olarak adlandırılır.

Ek olarak, orijinal sınırda yer alan işlevlere bağlı olarak, belirsizlikler çözülürken elde edilen sonuç her durumda farklı olabilir.

Basit Trigonometrik Limit Örnekleri

Limitleri çözmek için, ilgili fonksiyonların grafiklerini bilmek her zaman çok faydalıdır. Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının grafikleri aşağıda gösterilmiştir.

Bazı basit trigonometrik limit örnekleri şunlardır:

- «x» «0» 'a yöneldiğinde sin (x) sınırını hesaplayın.

Grafiğe bakıldığında, "x" "0" a yaklaşırsa (hem soldan hem de sağdan), o zaman sinüs grafiğinin de "0" a yaklaştığı görülebilir. Bu nedenle, "x" "0" olma eğiliminde olduğunda sin (x) sınırı "0" dır.

- «x» «0» eğilimi gösterdiğinde cos (x) sınırını hesaplayın.

Kosinüs grafiğine bakıldığında, "x" "0" a yakın olduğunda, kosinüs grafiğinin "1" e yakın olduğu görülebilir. Bu, "x" "0" 'a eşit olduğunda cos (x) sınırının "1" e eşit olduğu anlamına gelir.

Önceki örneklerde olduğu gibi bir sınır olabilir (bir sayı olabilir), ancak aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi mevcut olmaması da olabilir.

- «x» soldan «Π / 2» eğilimi gösterdiğinde tan (x) sınırı, grafikte de görülebileceği gibi «+ ∞» a eşittir. Öte yandan, "x" sağdan "-Π / 2" ye eğilimli olduğunda tan (x) sınırı "-∞" a eşittir.

Trigonometrik Limit Kimlikleri

Trigonometrik limitleri hesaplarken çok kullanışlı iki kimlik şunlardır:

- «x» «0» 'a eşit olduğunda «sin (x) / x» sınırı «1» e eşittir.

- «x» «0» 'a eşit olduğunda «(1-cos (x)) / x» sınırı «0» a eşittir.

Bu kimlikler, bir tür belirsizliğe sahip olduğunuzda çok sık kullanılır.

Çözülmüş egzersizler

Yukarıda açıklanan kimlikleri kullanarak aşağıdaki sınırları çözün.

- «x» «0» 'a yöneldiğinde «f (x) = sin (3x) / x» limitini hesaplayın.

"F" fonksiyonu "0" olarak değerlendirilirse, 0/0 tipi bir belirsizlik elde edilecektir. Bu nedenle, bu belirsizliği tarif edilen kimliklerle çözmeye çalışmalıyız.

Bu sınır ile kimlik arasındaki tek fark, sinüs fonksiyonunda görünen 3 sayısıdır. Kimliği uygulamak için, "f (x)" işlevi aşağıdaki şekilde "3 * (sin (3x) / 3x)" yeniden yazılmalıdır. Şimdi hem sinüs argümanı hem de payda eşittir.

Yani "x" "0" olma eğiliminde olduğunda, kimliği kullanmak "3 * 1 = 3" verir. Bu nedenle, "x" "0" eğilimi gösterdiğinde f (x) sınırı "3" e eşittir.

- «x» «0» eğilimi gösterdiğinde «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» sınırını hesaplayın.

"X = 0" g (x) içinde ikame edildiğinde, ∞-∞ tipi bir belirsizlik elde edilir. Bunu çözmek için önce kesirler çıkarılır, bu da "(1-cos (x)) / x" sonucunu verir.

Şimdi, ikinci trigonometrik özdeşliği uygulayarak, "x", "0" 'a eşit olduğunda g (x) sınırının 0'a eşit olduğunu elde ederiz.

- «x», «0» a yaklaştığında «h (x) = 4tan (5x) / 5x» sınırını hesaplayın.

Yine, h (x) "0" olarak değerlendirilirse, 0/0 tipi bir belirsizlik elde edilecektir.

(5x) olarak günah (5x) / cos (5x) olarak yeniden yazmak h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)) ile sonuçlanır.

"X" "0" 'a eşit olduğunda 4 / cos (x) sınırının "4/1 = 4" e eşit olduğu ve "x" eğilimli olduğunda h (x) sınırının elde edildiği ilk trigonometrik özdeşliğin elde edildiğini kullanarak bir "0", "1 * 4 = 4" e eşittir.

Gözlem

Trigonometrik limitlerin çözülmesi her zaman kolay değildir. Bu makalede sadece temel örnekler gösterildi.

Referanslar

1. Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs Öncesi Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs öncesi matematik: bir problem çözme yaklaşımı (2, Resimli ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. ve Varberg, D. (1991). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Kalkülüs (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM ve Viloria, NG (2005). Düzlem Analitik Geometri. Mérida - Venezuela: Editoryal Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. ve Rigdon, SE (2007). Calculus (Dokuzuncu baskı). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Bilim ve Mühendislik için erken aşkın fonksiyonlara sahip Diferansiyel Kalkülüs (İkinci Baskı ed.). Hipotenüs.
9. Scott, CA (2009). Kartezyen Düzlem Geometrisi, Bölüm: Analitik Konikler (1907) (yeniden basıldı). Yıldırım Kaynağı.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.