CEBIRSEL MUHAKEME (ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALARLA) - MATEMATIK - 2025

Cebirsel mantık esasen matematiksel argüman yapan özel bir dil vasıtasıyla iletişim kuran oluşur bu cebirsel tanımlanan işlemleri ve birbirlerine kullanarak daha kesin ve genel değişkenler. Matematiğin bir özelliği, argümanlarında kullanılan mantıksal titizlik ve soyut eğilimdir.

Bu, bu yazıda kullanılacak doğru "grameri" bilmeyi gerektirir. Dahası, cebirsel muhakeme, matematikte herhangi bir sonucu ispatlamak için gerekli olan matematiksel bir argümanın gerekçelendirilmesindeki belirsizliklerden kaçınır.

Cebirsel değişkenler

Bir cebirsel değişken, belirli bir matematiksel nesneyi temsil eden basit bir değişkendir (bir harf veya sembol).

Örneğin, x, y, z harfleri genellikle belirli bir denklemi karşılayan sayıları temsil etmek için kullanılır; önerme formüllerini temsil etmek için p, qr harfleri (veya belirli önermeleri temsil etmek için ilgili büyük harfleri); ve kümeleri temsil etmek için A, B, X vb. harfler.

"Değişken" terimi, söz konusu nesnenin sabit olmadığını, değiştiğini vurgular. Prensipte bilinmeyen çözümleri belirlemek için değişkenlerin kullanıldığı bir denklem durumu böyledir.

Genel anlamda bir cebirsel değişken, sabit olsun ya da olmasın bir nesneyi temsil eden bir harf olarak düşünülebilir.

Cebirsel değişkenlerin matematiksel nesneleri temsil etmek için kullanılması gibi, matematiksel işlemleri temsil eden sembolleri de dikkate alabiliriz.

Örneğin, "+" sembolü, "toplama" işlemini temsil eder. Diğer örnekler, önermeler ve kümeler durumunda mantıksal bağlaçların farklı sembolik gösterimleridir.

Cebirsel ifadeler

Cebirsel bir ifade, önceden tanımlanmış işlemler aracılığıyla cebirsel değişkenlerin bir kombinasyonudur. Bunun örnekleri, toplama, çıkarma, çarpma ve sayılar arasında bölme gibi temel işlemler veya önermeler ve kümelerdeki mantıksal bağlaçlardır.

Cebirsel muhakeme, matematiksel bir muhakeme veya argümanı cebirsel ifadelerle ifade etmekten sorumludur.

Bu ifade biçimi, sembolik notasyonlardan yararlandığı ve muhakemenin daha net ve daha kesin bir şekilde sunulmasıyla daha iyi anlaşılmasına izin verdiği için yazıyı basitleştirmeye ve kısaltmaya yardımcı olur.

Örnekler

Cebirsel muhakemenin nasıl kullanıldığını gösteren bazı örneklere bakalım. Kısaca göreceğimiz gibi, mantık ve muhakeme problemlerini çözmek için çok düzenli olarak kullanılmaktadır.

İyi bilinen matematiksel önermeyi düşünün "iki sayının toplamı değişmeli." Bu önermeyi cebirsel olarak nasıl ifade edebileceğimize bakalım: "a" ve "b" sayıları verildiğinde, bu önermenin anlamı a + b = b + a olduğudur.

İlk ifadeyi yorumlamak ve onu cebirsel terimlerle ifade etmek için kullanılan akıl yürütme, cebirsel muhakemedir.

İki sayının çarpımının da değişmeli olduğunu ve cebirsel olarak axb = bxa olarak ifade edildiğini ifade eden ünlü "çarpanların sırası çarpımı değiştirmez" ifadesinden de bahsedebiliriz.

Benzer şekilde, çıkarma ve bölmenin de dahil olduğu toplama ve ürün için birleşme ve dağıtma özellikleri cebirsel olarak ifade edilebilir (ve ifade edilir).

Bu akıl yürütme türü çok geniş bir dili kapsar ve birçok farklı bağlamda kullanılır. Her duruma bağlı olarak, bu bağlamlarda kalıpları tanımak, cümleleri yorumlamak ve ifadelerini cebirsel terimlerle genelleştirmek ve resmileştirmek, geçerli ve ardışık akıl yürütme sağlamak gerekir.

Çözülmüş egzersizler

Aşağıdakiler, cebirsel muhakeme kullanarak çözeceğimiz bazı mantık problemleridir:

İlk egzersiz

Yarısını alarak bire eşit olan sayı nedir?

Çözüm

Bu tür bir alıştırmayı çözmek için, belirlemek istediğimiz değeri bir değişken aracılığıyla temsil etmek çok yararlıdır. Bu durumda, yarısını aldığımızda bir numara olan bir sayı bulmak istiyoruz. Aranan sayıyı x ile gösterelim.

Bir sayıdan "yarısını almak", onu 2'ye bölmek anlamına gelir. Dolayısıyla, yukarıdaki cebirsel olarak x / 2 = 1 olarak ifade edilebilir ve problem, bu durumda doğrusal ve çözülmesi çok kolay olan bir denklemin çözülmesine kadar iner. X'i çözdüğümüzde, çözümün x = 2 olduğunu anlıyoruz.

Sonuç olarak, 2, yarısını alırken 1'e eşit olan sayıdır.

İkinci egzersiz

10 dakika önce gece yarısına kaç dakika kalsa şimdi 5 / 3'ü kaldı?

Çözüm

Gece yarısına kadar olan dakika sayısını "z" ile gösterelim (başka herhangi bir harf kullanılabilir). Yani şu anda gece yarısına kadar "z" dakika var. Bu, 10 dakika önce gece yarısı için “z + 10” dakikanın eksik olduğu anlamına gelir ve bu şu anda eksik olanın 5 / 3'üne karşılık gelir; yani (5/3) z.

Daha sonra problem z + 10 = (5/3) z denklemini çözmeye kadar kaynar. Eşitliğin her iki tarafını da 3 ile çarparak 3z + 30 = 5z denklemini elde ederiz.

Şimdi, "z" değişkenini eşitliğin bir tarafında gruplandırırken, 2z = 15 elde ederiz, bu da z = 15 anlamına gelir.

Yani gece yarısına 15 dakika var.

Üçüncü egzersiz

Takas uygulayan bir kabilede şu eşdeğerlikler vardır:

- Bir mızrak ve bir kolye, bir kalkanla değiştirilir.

- Mızrak, bıçak ve kolyeye eşdeğerdir.

- İki kalkan, üç birim bıçakla değiştirilir.

Bir mızrak kaç kolyeye eşdeğerdir?

Çözüm

Sean:

Co = bir kolye

L = bir mızrak

E = bir kalkan

Cu = bir bıçak

Yani aşağıdaki ilişkilerimiz var:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Yani problem, bir denklem sistemini çözmeye kadar iniyor. Denklemlerden daha fazla bilinmeyenleri olmasına rağmen, bizden belirli bir çözüm değil, değişkenlerden birini diğerinin fonksiyonu olarak istediği için bu sistem çözülebilir. Yapmamız gereken, "Co" yu yalnızca "L" cinsinden ifade etmektir.

İkinci denklemden Cu = L - Co elde ederiz. Üçüncü denklemde E = (3L - 3Co) / 2 elde ederiz. Son olarak, ilk denklemde ikame edilerek ve sadeleştirilerek 5Co = L; yani bir mızrak, beş kolyeye eşittir.

Referanslar

1. Billstein, R., Libeskind, S. ve Lott, JW (2013). Matematik: İlköğretim Öğretmenleri İçin Bir Problem Çözme Yaklaşımı. López Mateos Editörleri.
2. Fuentes, A. (2016). TEMEL MATEMATİK. Kalkülüse Giriş. Lulu.com.
3. García Rua, J. ve Martínez Sánchez, JM (1997). İlköğretim temel matematik. Eğitim Bakanlığı.
4. Rees, PK (1986). Cebir. Reverte.
5. Rock, NM (2006). Cebir Kolay! Çok kolay. Team Rock Press.
6. Smith, SA (2000). Cebir. Pearson Education.
7. Szecsei, D. (2006). Temel Matematik ve Ön Cebir (editör resimli). Kariyer Basını.