ANALITIK GEOMETRININ TARIHSEL ARKA PLANI - MATEMATIK - 2025

Analitik geometrinin tarihsel öncülleri Pierre de Fermat ve René Descartes onun temel fikri tanımlandığında Onyedinci yüzyılın geri dönün. Buluşu, François Viète'in cebir ve cebirsel gösteriminin modernizasyonunu takip etti.

Bu alanın temelleri, özellikle matematiğin bu alanında büyük etkisi olan Apollonius ve Öklid'in eserlerinde Antik Yunan'da yer almaktadır.

Analitik geometrinin arkasındaki temel fikir, biri diğerinin fonksiyonu olacak şekilde iki değişken arasındaki bir ilişkinin bir eğri tanımlamasıdır.

Bu fikir ilk olarak Pierre de Fermat tarafından geliştirilmiştir. Bu temel çerçeve sayesinde, Isaac Newton ve Gottfried Leibniz hesabı geliştirebildiler.

Fransız filozof Descartes, görünüşe göre kendi başına geometriye cebirsel bir yaklaşım keşfetti. Descartes'in geometri üzerine çalışması, Metot Üzerine Discourse on the ünlü kitabında yer almaktadır.

Bu kitap, pusula ve düz kenarlı geometrik yapıların toplama, çıkarma, çarpma ve karekök içerdiğine işaret ediyor.

Analitik geometri, matematikteki iki önemli geleneğin birleşimini temsil eder: form çalışması olarak geometri ve nicelik veya sayılarla ilgili olan aritmetik ve cebir. Bu nedenle, analitik geometri, koordinat sistemlerini kullanarak geometri alanının incelenmesidir.

Tarih

Analitik geometrinin arka planı

Geometri daha erken bir olgunluk aşamasına ulaşmış olsa da, geometri ve cebir arasındaki ilişki matematik tarihi boyunca gelişmiştir.

Örneğin, Yunan matematikçi Öklid, klasik kitabı The Elements'te birçok sonucu organize etmeyi başardı.

Ancak Conics adlı kitabında analitik geometrinin gelişimini öngören, Pergalı antik Yunan Apollonius'du. Bir koniği, bir koni ve bir düzlem arasındaki kesişim olarak tanımladı.

Öklid'in benzer üçgenler ve çemberlerin sekantları üzerindeki sonuçlarını kullanarak, bir koniğin herhangi bir "P" noktasından iki dikey çizgiye, bir koniğin ana eksenine ve eksenin bir uç noktasındaki teğete olan mesafelerin verdiği bir ilişki buldu. Apollonius bu ilişkiyi koniklerin temel özelliklerini anlamak için kullandı.

Matematikte koordinat sistemlerinin müteakip gelişimi, ancak cebirin İslami ve Hintli matematikçiler sayesinde olgunlaşmasından sonra ortaya çıktı.

Rönesans'a kadar geometri, cebirsel problemlerin çözümlerini gerekçelendirmek için kullanıldı, ancak cebirin geometriye katkıda bulunabileceği pek bir şey yoktu.

Bu durum, cebirsel ilişkiler için uygun bir notasyonun benimsenmesi ve artık mümkün olan bir matematiksel fonksiyon kavramının gelişmesiyle değişecekti.

Yüzyıl XVI

16. yüzyılın sonunda, Fransız matematikçi François Viète, hem bilinen hem de bilinmeyen sayısal büyüklükleri temsil etmek için harfleri kullanan ilk sistematik cebirsel gösterimi tanıttı.

Ayrıca cebirsel ifadeleri çalıştırmak ve cebirsel denklemleri çözmek için güçlü genel yöntemler geliştirdi.

Bu sayede matematikçiler problemleri çözmek için tamamen geometrik şekillere ve geometrik sezgiye bağımlı değillerdi.

Bazı matematikçiler bile, uzunlukların ve karelerin doğrusal değişkenlerinin alanlara karşılık geldiği, kübik değişkenlerin ise hacimlere karşılık geldiği standart geometrik düşünme biçimini terk etmeye başladı.

Bu adımı ilk atan filozof ve matematikçi René Descartes ile avukat ve matematikçi Pierre de Fermat oldu.

Analitik geometrinin temeli

Descartes ve Fermat 1630'larda bağımsız olarak analitik geometri kurdular ve lokus çalışması için Viète'in cebirini benimsedi.

Bu matematikçiler cebirin geometride güçlü bir araç olduğunu fark ettiler ve bugün analitik geometri olarak bilinen şeyi icat ettiler.

Yaptıkları bir atılım, sabit değil değişken olan mesafeleri temsil etmek için harfler kullanarak Viète'yi aşmak oldu.

Descartes denklemleri geometrik olarak tanımlanmış eğrileri incelemek için kullandı ve "x" ve "y" derecelerindeki polinom denklemlerinin genel cebirsel-grafik eğrilerini dikkate alma ihtiyacını vurguladı.

Fermat, "x" ve "y" koordinatları arasındaki herhangi bir ilişkinin bir eğri belirlediğini vurguladı.

Bu fikirleri kullanarak Apollonius'un cebirsel terimlerle ilgili açıklamalarını yeniden yapılandırdı ve kayıp çalışmalarının bir kısmını restore etti.

Fermat, "x" ve "y" deki herhangi bir ikinci dereceden denklemin konik bölümlerden birinin standart formuna yerleştirilebileceğini belirtti. Buna rağmen, Fermat konuyla ilgili çalışmalarını hiçbir zaman yayınlamadı.

Fermat ve Descartes, ilerlemeleri sayesinde, Arşimet'in yalnızca büyük zorluklarla çözebildiği ve izole durumlar için, hızlı bir şekilde ve çok sayıda eğri için (şimdi cebirsel eğriler olarak bilinir) çözebildi.

Ancak fikirleri yalnızca 17. yüzyılın ikinci yarısında diğer matematikçilerin çabalarıyla genel kabul gördü.

Matematikçiler Frans van Schooten, Florimond de Beaune ve Johan de Witt, Decartes'in çalışmalarını genişletmeye yardımcı oldu ve önemli ek materyaller ekledi.

Etkilemek

İngiltere'de John Wallis analitik geometriyi popüler hale getirdi. Konikleri tanımlamak ve özelliklerini türetmek için denklemleri kullandı. Negatif koordinatları özgürce kullanmasına rağmen, düzlemi dört kadrana bölmek için iki eğik eksen kullanan Isaac Newton'du.

Newton ve Alman Gottfried Leibniz, 17. yüzyılın sonunda matematiğin gücünü bağımsız olarak göstererek matematikte devrim yaptı.

Newton, herhangi bir küpün (veya herhangi bir üçüncü derece cebirsel eğrinin) uygun koordinat eksenleri için üç veya dört standart denkleme sahip olduğunu iddia ettiğinde, geometride analitik yöntemlerin önemini ve bunların analizdeki rolünü gösterdi. İskoç matematikçi John Stirling, Newton'un yardımıyla 1717'de bunu kanıtladı.

Üç ve daha fazla boyutun analitik geometrisi

Hem Descartes hem de Fermat uzaydaki eğrileri ve yüzeyleri incelemek için üç koordinat kullanılmasını önermelerine rağmen, üç boyutlu analitik geometri 1730 yılına kadar yavaşça gelişti.

Matematikçiler Euler, Hermann ve Clairaut, silindirler, koniler ve devrim yüzeyleri için genel denklemler ürettiler.

Örneğin, Euler, genel kuadratik yüzeyi, ana eksenleri koordinat eksenleriyle çakışacak şekilde dönüştürmek için uzayda öteleme denklemleri kullandı.

Euler, Joseph-Louis Lagrange ve Gaspard Monge, analitik geometriyi sentetik (analitik olmayan) geometriden bağımsız hale getirdi.

Referanslar

1. Analitik geometrinin gelişimi (2001). Encyclopedia.com'dan kurtarıldı
2. Analitik geometri tarihi (2015). Maa.org'dan kurtarıldı
3. Analiz (Matematik). Britannica.com'dan kurtarıldı
4. Analitik Geometri. Britannica.com'dan kurtarıldı
5. Descartes ve analitik geometrinin doğuşu. Sciencedirect.com'dan kurtarıldı