DIFERANSIYEL KULLANARAK YAKLAŞIMLARIN HESAPLANMASI - MATEMATIK - 2025

Matematikte bir yaklaşım, bir şeyin tam değeri olmayan, ancak ona o kadar yakın olan ve bu tam değer kadar yararlı olduğu düşünülen bir sayıdır.

Matematikte tahminler yapıldığında bunun nedeni, istediğiniz şeyin kesin değerini manuel olarak bilmenin zor (veya bazen imkansız) olmasıdır.

Yaklaşımlarla çalışırken ana araç, bir fonksiyonun diferansiyelidir.

Δf (x) ile gösterilen bir f fonksiyonunun diferansiyeli, f fonksiyonunun türevi çarpı bağımsız değişkendeki değişimden başka bir şey değildir, yani Δf (x) = f '(x) * Δx.

Bazen Δf ve Δx yerine df ve dx kullanılır.

Diferansiyel kullanan yaklaşımlar

Diferansiyel aracılığıyla bir yaklaşım gerçekleştirmek için uygulanan formül, tam olarak bir fonksiyonun türevinin bir sınır olarak tanımından kaynaklanmaktadır.

Bu formül şu şekilde verilir:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Burada Δx = x-x0, dolayısıyla x = x0 + Δx olduğu anlaşılmaktadır. Bunu kullanarak formül şu şekilde yeniden yazılabilir:

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

"X0" ın keyfi bir değer olmadığı, ancak f (x0) 'ın kolayca bilinebileceği bir değer olduğu unutulmamalıdır; dahası, "f (x)" sadece yaklaştırmak istediğimiz değerdir.

Daha iyi tahminler var mı?

Cevap Evet. Yukarıdakiler, "doğrusal yaklaşım" adı verilen yaklaşımların en basitidir.

Daha iyi kalite yaklaşımları için (yapılan hata daha azdır), "Taylor polinomları" olarak adlandırılan daha fazla türevi olan polinomların yanı sıra Newton-Raphson yöntemi gibi diğer sayısal yöntemler kullanılır.

strateji

İzlenecek strateji şudur:

- Yaklaşıklığı ve "x" değerini gerçekleştirmek için uygun bir f fonksiyonu seçin, öyle ki f (x) yaklaşılacak değerdir.

- "x" e yakın bir "x0" değeri seçin, öyle ki f (x0) kolay hesaplanabilir.

- Δx = x-x0'ı hesaplayın.

- y f '(x0) fonksiyonunun türevini hesaplayın.

- Formüldeki verileri değiştirin.

Çözülmüş yaklaşım çalışmaları

Devam edenlerde, diferansiyel kullanılarak tahminlerin yapıldığı bir dizi alıştırma var.

İlk egzersiz

Yaklaşık √3.

Çözüm

Stratejinin ardından uygun bir işlev seçilmelidir. Bu durumda, seçilecek fonksiyonun f (x) = √x olması gerektiği ve yaklaşık alınacak değerin f (3) = √3 olduğu görülebilir.

Şimdi, f (x0) 'ın hesaplanması kolay olacak şekilde "3" e yakın bir "x0" değeri seçmeliyiz. "X0 = 2" seçilirse, "x0" "3" e yakındır, ancak f (x0) = f (2) = √2'nin hesaplanması kolay değildir.

"X0" için uygun değer "4" dür, çünkü "4" "3" e yakındır ve ayrıca f (x0) = f (4) = √4 = 2.

"X = 3" ve "x0 = 4" ise, Δx = 3-4 = -1. Şimdi f'nin türevini hesaplamaya devam ediyoruz. Yani, f '(x) = 1/2 * √x, yani f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Aldığınız formüldeki tüm değerleri değiştirerek:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Bir hesap makinesi kullanırsanız, √3≈1.73205 elde edersiniz… Bu, önceki sonucun gerçek değerin iyi bir tahmini olduğunu gösterir.

İkinci egzersiz

Yaklaşık √10.

Çözüm

Daha önce olduğu gibi, f (x) = √xy bir fonksiyon olarak seçilir, bu durumda x = 10.

Bu sefer seçilecek x0 değeri "x0 = 9" dur. O halde Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ve f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6 olur.

Formülde değerlendirilirken elde edilir ki

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Hesap makinesi kullanılarak √10 ≈ 3.1622776… Burada da daha önce iyi bir yaklaşım elde edildiği görülmektedir.

Üçüncü egzersiz

Yaklaşık ³√10, burada ³√ küp kökünü belirtir.

Çözüm

Açıkça bu alıştırmada kullanılacak fonksiyon f (x) = ³√x ve "x" değeri "10" olmalıdır.

Küp kökü bilinecek şekilde "10" a yakın bir değer "x0 = 8" dir. O zaman Δx = 10-8 = 2 ve f (x0) = f (8) = 2'ye sahibiz. Ayrıca f '(x) = 1/3 * ³√x² ve dolayısıyla f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Formüldeki verileri değiştirerek şu elde edilir:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Hesaplayıcı, ³√10 ≈ 2.15443469 olduğunu söylüyor… Bu nedenle, bulunan yaklaşım iyidir.

Dördüncü egzersiz

Yaklaşık ln (1.3), burada "ln" doğal logaritma fonksiyonunu belirtir.

Çözüm

Önce f (x) = ln (x) fonksiyonunu seçeriz ve "x" değeri 1.3'tür. Şimdi, logaritma işlevi hakkında biraz bilgi sahibi olarak, ln (1) = 0 olduğunu ve ayrıca "1" in "1.3" e yakın olduğunu bilebiliriz. Bu nedenle "x0 = 1" seçilir ve dolayısıyla Δx = 1.3 - 1 = 0.3 olur.

Öte yandan f '(x) = 1 / x, böylece f' (1) = 1 olur. Verilen formülde değerlendirirken:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Bir hesap makinesi kullanarak, ln (1.3) ≈ 0.262364'e sahibiz… Yani yapılan yaklaşım iyi.

Referanslar

1. Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs Öncesi Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs öncesi matematik: bir problem çözme yaklaşımı (2, Resimli ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. ve Varberg, D. (1991). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Kalkülüs (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM ve Viloria, NG (2005). Düzlem Analitik Geometri. Mérida - Venezuela: Editoryal Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. ve Rigdon, SE (2007). Calculus (Dokuzuncu baskı). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Bilim ve Mühendislik için erken aşkın fonksiyonlara sahip Diferansiyel Kalkülüs (İkinci Baskı ed.). Hipotenüs.
9. Scott, CA (2009). Kartezyen Düzlem Geometrisi, Bölüm: Analitik Konikler (1907) (yeniden basıldı). Yıldırım Kaynağı.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.