DIKDÖRTGEN KOORDINATLAR: ÖRNEKLER VE ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Dikdörtgen koordinatlar veya kartezyen dikey olarak çıkıntı yapan üç Kartezyen eksenler X, Y, Z, üç yer alan bir nokta üzerinde elde edilmekte olanlar olmaktadır - boyutlu alan.

Kartezyen eksenler, birbirine dik olan karşılıklı olarak yönlendirilmiş çizgilerdir. Kartezyen koordinat sisteminde, uzaydaki her noktaya dikdörtgen koordinatları olan üç gerçek sayı atanır.

Şekil 1. P noktasının dikdörtgen koordinatları (Kendi detaylandırma)

Düzlem, üç boyutlu uzayın bir alt uzayıdır. Bir düzlemde noktaların dikkate alınması durumunda, Kartezyen sistem olarak bir çift dikey X, Y ekseni seçmek yeterlidir. Daha sonra düzlemdeki her noktaya dikdörtgen koordinatları olan iki gerçek sayı atanır.

Dikdörtgen koordinatların kökeni

Dikdörtgen koordinatlar ilk olarak Fransız matematikçi René Descartes (1596 ve 1650) tarafından önerilmişti, bu yüzden onlara Kartezyen deniyor.

Descartes'ın bu fikriyle, düzlem ve uzayın noktalarına sayılar atanır, böylece geometrik şekiller ilişkili bir cebirsel denkleme sahip olur ve klasik geometrik teoremler cebirsel olarak ispatlanabilir. Kartezyen koordinatlarla analitik geometri doğar.

Kartezyen düzlem

Bir düzlemde, bir O noktasında kesişen iki dik doğru seçilirse; ve her çizgiye ek olarak ardışık eşit uzaklıklı noktalar arasında bir yön ve sayısal bir ölçek atanmışsa, o zaman düzlemin her noktasının sırasıyla projeksiyonları olan sıralı iki gerçek sayı çifti ile ilişkilendirildiği bir Kartezyen sistemi veya düzlem vardır. X ve Y eksenleri.

A = (3, 2) noktaları; B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) ve D = (3, -3) aşağıda gösterildiği gibi Kartezyen düzlemde temsil edilir:

Şekil 2. Kartezyen düzlemdeki noktalar. (Kendi detaylandırma)

X ve Y eksenlerinin düzlemi çeyrek daire adı verilen dört sektöre böldüğüne dikkat edin. A noktası birinci çeyrekte, B noktası ikinci çeyrekte, C noktası üçüncü çeyrekte ve D noktası dördüncü çeyrekte.

İki nokta arasındaki mesafe

Kartezyen düzlemde A ve B iki noktası arasındaki mesafe, onları birleştiren segmentin uzunluğudur. Bu mesafe analitik olarak şu şekilde hesaplanabilir:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Yukarıdaki formül Pisagor teoremi uygulanarak elde edilir.

Bu formülü şekil 2'deki A, B noktalarına uyguladığımızda:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Yani, d (A, B) = 5,10 birim. Mesafenin bir cetvelle ölçmeye gerek kalmadan elde edildiğini, tamamen cebirsel bir prosedür izlendiğini unutmayın.

Bir çizginin analitik ifadesi

Dikdörtgen koordinatlar, nokta ve çizgi gibi temel geometrik nesnelerin analitik temsiline izin verir. İki nokta A ve B tek bir çizgiyi tanımlar. Doğrunun eğimi, B noktasının Y koordinatlarının farkı eksi A'nın B noktasının X koordinatlarının farkına bölünmesiyle elde edilen bölüm olarak tanımlanır:

eğim = (By - Ay) / (Bx - Ax)

(AB) çizgisine ait herhangi bir P koordinat noktası (x, y) aynı eğime sahip olmalıdır:

eğim = (y - Ay) / (x - Eksen)

Eğimlerin eşitliği ile elde edilen denklem, A ve B noktalarından geçen doğrunun analitik veya cebirsel temsilidir:

(y - Ay) / (x - Eksen) = (By - Ay) / (Bx - Eksen).

A ve B için şekil 2'nin dikdörtgen koordinatlarını alırsak:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2-3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Bu özel durumda, -⅕ negatif eğimli bir çizgimiz var, bu, doğru üzerindeki bir noktayı konumlandırarak ve x koordinatını bir birim artırarak, y koordinatının 0,2 birim azaldığı anlamına gelir.

Düzlemdeki doğrunun denklemini yazmanın en yaygın yolu, x değişkeninin bir fonksiyonu olarak temizlenmiş y koordinatıdır:

y = - (1/5) x + 13/5

Örnekler

örnek 1

Analitik yöntemlerle, C = (-2, -3) ve A = (3,2) 'nin dikdörtgen koordinatları olan C ve A noktaları arasındaki mesafeyi elde edin.

Bu iki nokta arasındaki Öklid mesafesi formülü şu şekilde yazılmıştır:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Karşılık gelen dikdörtgen koordinatlarını değiştirirsek:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

Örnek 2

Koordinatların (-2, -3) C noktasından ve (2, 0) koordinatlarının P noktasından geçen doğrunun denklemini bulun.

İlk olarak, CP çizgisinin eğimi elde edilir:

eğim = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

CP doğrusuna ait olan genel dikdörtgen koordinatların (x, y) herhangi bir Q noktası aynı eğime sahip olmalıdır:

eğim = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Başka bir deyişle, CP çizgisinin denklemi:

(y +3) / (x +2) = ¾

CP doğrusunun denklemini yazmanın alternatif bir yolu, y'yi çözmektir:

y = ¾ x - 3/2

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Y = - (1/5) x + 13/5 doğruları ile y = ¾ x - 3/2 doğrusu arasındaki kesişme noktasının dikdörtgen koordinatlarını bulun.

Çözüm: Tanım olarak, iki çizginin kesişme noktası aynı dikdörtgen koordinatları paylaşır. Bu nedenle, kesişme noktasındaki y koordinatları her iki çizgi için de aynıdır:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

bu aşağıdaki ifadeye yol açar:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

Elde ettiğimiz kesirlerin toplamını çözmek:

19/20 x = 41/10

X için çözüm:

x = 82/19 = 4,32

Kesişimin y değerini elde etmek için, elde edilen x değeri satırların herhangi birinde ikame edilir:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Bu, verilen çizgilerin I = (4.32, 1.74) koordinatlarının I noktasında kesiştiği anlamına gelir.

Egzersiz 2

Dikdörtgen koordinatların (3, 4) R noktasından geçen ve merkezi koordinatların başlangıcında olan çevrenin denklemini bulunuz.

Çözüm: R yarıçapı, koordinatların (0, 0) R noktasından başlangıç ​​O noktasına olan mesafesidir.

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Yani, (0,0) merkezli 5 yarıçaplı bir çemberdir.

Çevresindeki herhangi bir P (x, y) noktası merkezden (0, 0) aynı uzaklıkta 5 olmalıdır, böylece yazılabilir:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Demek ki:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Karekökü ortadan kaldırmak için, eşitliğin her iki üyesinin de karesi alınır ve elde edilen:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Çevrenin denklemi nedir?

Bu örnek, kağıt, kalem ve pusula kullanmaya gerek kalmadan çevre gibi geometrik nesnelerin belirlenmesine izin veren dikdörtgen koordinat sisteminin gücünü göstermektedir. İstenilen çevre yalnızca cebirsel yöntemlerle belirlenmiştir.

Referanslar

1. Arfken G ve Weber H. (2012). Fizikçiler için matematiksel yöntemler. Kapsamlı bir rehber. 7. baskı. Akademik Basın. Mayıs ISBN 978-0-12-384654-9
2. Hesaplama cc. Dikdörtgen koordinat problemleri çözüldü. Calculo.cc'den kurtarıldı
3. Weisstein, Eric W. "Kartezyen Koordinatlar." MathWorld-A Wolfram Web'den. Kurtarıldı: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Kartezyen koordinat sistemi. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı