ÜÇGEN EŞITSIZLIĞI: KANIT, ÖRNEKLER, ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Bu adlandırılır eşit olmayan üçgen bunların toplamı mutlak değerinden oluşan ilişkin iki gerçek sayılar mutlak değerlerinin toplamı her zaman az ya da eşit olduğu özelliği. Bu özellik aynı zamanda Minkowski eşitsizliği veya üçgen eşitsizliği olarak da bilinir.

Sayıların bu özelliğine üçgen eşitsizlik denir çünkü üçgenlerde, bu eşitsizlik üçgenler alanında her zaman geçerli olmasa da, bir kenarın uzunluğu her zaman diğer ikisinin toplamından daha az veya ona eşittir.

Şekil 1. İki sayının toplamının mutlak değeri, her zaman mutlak değerlerinin toplamından küçüktür veya toplamına eşittir. (R. Pérez tarafından hazırlanmıştır)

Gerçek sayılarda üçgen eşitsizliğin birkaç kanıtı vardır, ancak bu durumda, mutlak değerin ve iki terimli karenin özelliklerine göre birini seçeceğiz.

Teorem: Elimizdeki gerçek sayılara ait her a ve b sayı çifti için:

- a + b - ≤ - a - + - b -

gösteri

Eşitsizliğin karesi alınacak ilk üyesini düşünerek başlayalım:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Eşitlik 1)

Önceki adımda, herhangi bir sayının karesi söz konusu sayının mutlak değerine eşit olduğu özelliğini kullandık, yani: -x- ^ 2 = x ^ 2. Kare binom açılımı da kullanılmıştır.

Her x sayısı mutlak değerinden küçüktür veya ona eşittir. Sayı pozitifse eşittir, ancak sayı negatifse her zaman pozitif bir sayıdan küçük olacaktır. Bu durumda kendi mutlak değeri, yani x ≤ - x - olduğu söylenebilir.

(Ab) çarpımı bir sayıdır, bu nedenle (ab) ≤ - ab - için geçerlidir. Bu özellik (Denklem 1) 'e uygulandığında elimizde:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Denklem 2)

- ab - = - a - b - la (Denklem 2) 'nin aşağıdaki gibi yazılabileceği dikkate alınarak:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Eşitlik 3)

Ancak daha önce bir sayının karesinin, sayının karesinin mutlak değerine eşit olduğunu söylediğimizden, denklem 3 aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Denklem 4)

Eşitsizliğin ikinci üyesinde, uygulandığında şunlara yol açan dikkate değer bir ürün tanınır:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Eşitlik 5)

Önceki ifadede, eşitsizliğin her iki üyesinde de karesi alınacak değerlerin pozitif olduğuna dikkat edilmelidir, bu nedenle şunun da tatmin edilmesi gerekir:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Denklem 6)

Önceki ifade tam olarak göstermek istediğiniz şeydir.

Örnekler

Daha sonra üçgen eşitsizliği birkaç örnekle kontrol edeceğiz.

örnek 1

A = 2 değerini ve b = 5 değerini, yani hem pozitif sayıları alırız hem de eşitsizliğin karşılanıp karşılanmadığını kontrol ederiz.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Eşitlik doğrulandı, bu nedenle üçgen eşitsizlik teoremi yerine getirildi.

Örnek 2

Aşağıdaki değerler a = 2 ve b = -5 seçilir, yani pozitif bir sayı ve diğer negatif, eşitsizliğin karşılanıp karşılanmadığını kontrol ederiz.

- 2-5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Eşitsizlik karşılandı, bu nedenle üçgen eşitsizlik teoremi doğrulandı.

Örnek 3

A = -2 değerini ve b = 5 değerini, yani negatif bir sayı ve diğer pozitif olarak alıyoruz, eşitsizliğin karşılanıp karşılanmadığını kontrol ediyoruz.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Eşitsizlik doğrulandı, bu nedenle teorem yerine getirildi.

Örnek 4

Aşağıdaki değerler a = -2 ve b = -5 seçilir, yani hem negatif sayılar hem de eşitsizliğin karşılanıp karşılanmadığını kontrol ederiz.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Eşitlik doğrulandı, bu nedenle Minkowski'nin eşitsizlik teoremi yerine getirildi.

Örnek 5

A = 0 değerini ve b = 5 değerini, yani bir sıfır sayısını ve diğerini pozitif alıyoruz, sonra eşitsizliğin karşılanıp karşılanmadığını kontrol ediyoruz.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Eşitlik sağlandı, bu nedenle üçgen eşitsizlik teoremi doğrulandı.

Örnek 6

A = 0 değerini ve b = -7 değerini alırız, yani bir sayı sıfır ve diğer pozitif, sonra eşitsizliğin karşılanıp karşılanmadığını kontrol ederiz.

- 0-7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Eşitlik doğrulandı, bu nedenle üçgen eşitsizlik teoremi yerine getirildi.

Çözülmüş egzersizler

Aşağıdaki alıştırmalarda, a ve b sayıları için üçgen eşitsizliğini veya Minkowski eşitsizliğini geometrik olarak temsil edin.

A sayısı, X ekseninde bir segment olarak temsil edilecektir, orijini O, X ekseninin sıfırı ile çakışır ve segmentin diğer ucu (P noktasında), eğer a ise X ekseninin pozitif yönünde (sağda) olacaktır. > 0, ancak <0 ise, mutlak değerinin gösterdiği sayıda birim, X ekseninin negatif yönüne doğru olacaktır.

Benzer şekilde, b sayısı, orijini P noktasında olan bir parça olarak temsil edilecektir.Diğer uç, yani, Q noktası, eğer b pozitifse (b> 0) ve Q noktası -b ise P'nin sağında olacaktır. - b <0 ise P'nin solundaki birimler.

1. Egzersiz

A = 5 ve b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b - için üçgenin eşitsizliğinin grafiğini çizin, burada c = a + b.

Egzersiz 2

A = 5 ve b = -3 için üçgen eşitsizliğin grafiğini çizin.

- a + b - ≤ - a - + - b -, burada c = a + b.

Egzersiz 3

A = -5 ve b = 3 için üçgenin eşitsizliğini grafiksel olarak gösterin.

- a + b - ≤ - a - + - b -, burada c = a + b.

Egzersiz 4

A = -5 ve b = -3 için üçgen eşitsizliği grafiksel olarak inşa edin.

- a + b - ≤ - a - + - b -, burada c = a + b.

Referanslar

1. E. Whitesitt. (1980) Boole Cebri ve Uygulamaları. Editoryal Şirket Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Soyut Analizin Unsurları. . Matematik bölümü. Dublin Üniversitesi, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Bilgisayar Bilimlerinde Matematik ve Mühendislik. Bilgisayar Bilimleri ve Teknolojisi Enstitüsü. Ulusal Standartlar Bürosu. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Bilgisayar Bilimleri için Matematik. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Matematik. Matematik Bölümü ve Bilgisayar Bilimleri ve Yapay Zeka Laboratuvarı, Massachussetts Teknoloji Enstitüsü.
6. Khan Akademisi. Üçgen Eşitsizlik Teoremi. Khanacademy.org'dan kurtarıldı
7. Vikipedi. Üçgen eşitsizlik. Kurtarıldığı yer: es. wikipedia.com