MORGAN YASALARI - MATEMATIK - 2024

L Morgan gözleri kurmak önermeler mantığı kullanılan çıkarsama kuralları, ne bir ayrılma ve önermeler veya önerme değişkenlerin bir bağlaç inkar sonucu. Bu yasalar matematikçi Augustus De Morgan tarafından tanımlandı.

Morgan'ın yasaları, matematiksel akıl yürütmenin geçerliliğini göstermek için çok yararlı bir aracı temsil eder. Daha sonra matematikçi George Boole tarafından küme kavramı içinde genelleştirildiler.

Boole tarafından yapılan bu genelleme, Morgan'ın ilk yasalarına tamamen eşdeğerdir, ancak önermeler yerine özel olarak kümeler için geliştirilmiştir. Bu genelleme, Morgan yasaları olarak da bilinir.

Önerme mantığının gözden geçirilmesi

Morgan yasalarının özel olarak ne olduğuna ve nasıl kullanıldığına bakmadan önce, önermeler mantığının bazı temel kavramlarını hatırlamak faydalı olacaktır. (Daha fazla ayrıntı için önerme mantığı hakkındaki makaleye bakın).

Matematiksel (veya önermesel) mantık alanında, bir çıkarım, bir dizi öncül veya hipotezden çıkarılan bir sonuçtur. Bu sonuç, yukarıda bahsedilen öncüllerle birlikte, matematiksel akıl yürütme olarak bilinen şeyi ortaya çıkarır.

Böyle bir muhakeme kanıtlanabilir veya reddedilmelidir; yani matematiksel muhakemedeki tüm çıkarımlar veya sonuçlar geçerli değildir.

safsata

Doğru olduğu varsayılan belirli hipotezlerden yapılan yanlış bir çıkarım, yanlışlık olarak bilinir. Yanılgılar, doğru görünen ancak matematiksel olarak doğru olmayan argümanlar olma özelliğine sahiptir.

Önermeler mantığı, kesinlikle, matematiksel bir akıl yürütmeyi doğrulamak veya çürütmek için herhangi bir belirsizlik olmaksızın mümkün olan yöntemler geliştirmek ve sağlamaktan sorumludur; yani, öncüllerden geçerli bir sonuç çıkarmak. Bu yöntemler, Morgan yasalarının bir parçası olduğu çıkarım kuralları olarak bilinir.

önermeler

Önerme mantığının temel unsurları önermelerdir. Öneriler, geçerli olup olmadıklarını söyleyebileceğiniz, ancak aynı anda doğru veya yanlış olamayacak ifadelerdir. Bu konuda belirsizlik olmamalıdır.

Sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleriyle birleştirilebilmesi gibi, önermeler de iyi bilinen mantıksal bağlayıcılar (veya bağlayıcılar) aracılığıyla çalıştırılabilir: olumsuzlama (¬, "değil"), ayrılma (V , "Veya"), bağlaç (Ʌ, "ve"), koşullu (→, "eğer …, o zaman …") ve iki koşullu (↔, "eğer ve sadece eğer").

Daha genel olarak çalışmak için, belirli önermeleri dikkate almak yerine, herhangi bir önermeyi temsil eden önerme değişkenleri dikkate alınır ve genellikle küçük harflerle p, q, r, s vb. İle gösterilirler.

Bir önermesel formül, bazı mantıksal bağlaçlar aracılığıyla önermesel değişkenlerin bir kombinasyonudur. Başka bir deyişle, önermesel değişkenlerin bir bileşimidir. Genellikle Yunan harfleriyle gösterilirler.

Bir önerme formülünün mantıksal olarak bir başkasını ima ettiği söylenir, ikincisi doğru olduğunda ilki her doğru olduğunda. Bu şu şekilde gösterilir:

İki önermesel formül arasındaki mantıksal çıkarım karşılıklı olduğunda - yani, önceki çıkarım aynı zamanda zıt anlamda da geçerli olduğunda - formüllerin mantıksal olarak eşdeğer olduğu söylenir ve şu şekilde gösterilir:

Mantıksal eşdeğerlik, önermesel formüller arasında bir tür eşitliktir ve gerektiğinde birinin diğeriyle değiştirilmesine izin verir.

Morgan Kanunları

Morgan'ın yasaları, iki önerme biçimi arasındaki iki mantıksal denklikten oluşur:

Bu yasalar, ilgili değişkenlerin olumsuzlamaları olarak bir ayrılma veya birleşmenin olumsuzlamasının ayrılmasına izin verir.

Birincisi şu şekilde okunabilir: Bir ayrışmanın olumsuzlanması, olumsuzlamaların birleşimine eşittir. İkincisi ise şöyle okur: Bir birleşimin olumsuzlanması, olumsuzlamaların ayrılmasıdır.

Başka bir deyişle, iki önermesel değişkenin ayrılığını reddetmek, her iki değişkenin olumsuzluklarının birleşimine eşdeğerdir. Benzer şekilde, iki önermesel değişkenin birleşimini reddetmek, her iki değişkenin olumsuzluklarının ayrılmasına eşdeğerdir.

Daha önce de belirtildiği gibi, bu mantıksal denkliğin ikame edilmesi, diğer mevcut çıkarım kurallarıyla birlikte önemli sonuçların kanıtlanmasına yardımcı olur. Bunlarla birçok önerme formülü basitleştirebilir, böylece birlikte çalışmak daha yararlı olur.

Aşağıda, Morgan yasaları da dahil olmak üzere, çıkarım kurallarını kullanan bir matematiksel kanıt örneği verilmiştir. Özellikle, formülün:

Şuna eşdeğerdir:

İkincisi, anlaşılması ve geliştirilmesi daha kolaydır.

gösteri

Morgan yasalarının geçerliliğinin matematiksel olarak gösterilebileceğini belirtmekte fayda var. Bunun bir yolu, doğruluk tablolarınızı karşılaştırmaktır.

Setler

Aynı çıkarım kuralları ve önermelere uygulanan mantık nosyonları da kümeler dikkate alınarak geliştirilebilir. Bu, matematikçi George Boole'den sonra Boole cebri olarak bilinen şeydir.

Durumları farklılaştırmak için, gösterimi değiştirmek ve önermeler mantığının önceden görülen tüm kavramları olan kümelere transfer etmek gerekir.

Küme, nesnelerin bir koleksiyonudur. Kümeler A, B, C, X, … büyük harfleriyle gösterilir ve bir kümenin öğeleri küçük harflerle a, b, c, x, vb. İle gösterilir. Bir a öğesi bir X kümesine ait olduğunda, şu şekilde gösterilir:

X'e ait olmadığında gösterim şöyledir:

Setleri temsil etmenin yolu, elemanlarını parantez içine yerleştirmektir. Örneğin, doğal sayılar kümesi şu şekilde temsil edilir:

Kümeler, öğelerinin açık bir listesi yazılmadan da temsil edilebilir. {:} Biçiminde ifade edilebilirler. İki nokta üst üste "öyle" okunur. İki noktanın soluna setin elemanlarını temsil eden bir değişken yerleştirilir ve sağ tarafına da onların karşıladığı özellik veya koşul yerleştirilir. Bu:

Örneğin, -4'ten büyük tam sayılar kümesi şu şekilde ifade edilebilir:

Veya eşdeğer olarak ve daha kısaltılmış olarak:

Benzer şekilde, aşağıdaki ifadeler sırasıyla tek ve çift sayı kümelerini temsil eder:

Kümelerin birleşim, kesişim ve tamamlayıcıları

Daha sonra, kümeler arasındaki temel işlemlerin bir parçası olan kümeler durumunda mantıksal bağlantıların analoglarını göreceğiz.

Birlik ve kesişme

Kümelerin birleşimi ve kesişimi sırasıyla şu şekilde tanımlanır:

Örneğin, setleri düşünün:

Yani, yapmanız gerekenler:

Tamamlayıcı

Bir kümenin tamamlayıcısı, söz konusu kümeye ait olmayan (orijinalin temsil ettiği türden) öğeler tarafından oluşturulur. Bir A kümesinin tamamlayıcısı şu şekilde gösterilir:

Örneğin, doğal sayılar içinde, çift sayılar kümesinin tamamlayıcısı tek sayılardır ve bunun tersi de geçerlidir.

Bir kümenin tamamlayıcısını belirlemek için, ele alınan öğelerin evrensel veya temel kümesi baştan açık olmalıdır. Örneğin, bir kümenin doğal sayılar üzerindeki tümlemesini rasyonel sayılar üzerinden düşünmek aynı şey değildir.

Aşağıdaki tablo, önceden tanımlanan kümelerdeki işlemler ile önermeler mantığının bağlantıları arasında var olan ilişkiyi veya analojiyi gösterir:

Morgan'ın Kümeler için Yasaları

Son olarak, Morgan'ın setler hakkındaki yasaları:

Kelimelerle: Bir birleşimin tamamlayıcısı, tamamlayıcıların kesişimidir ve bir kesişimin tamamlayıcısı, tamamlayıcıların birleşimidir.

İlk eşitliğin matematiksel bir kanıtı şu olacaktır:

İkincisinin kanıtı benzerdir.

Referanslar

1. Almaguer, G. (2002). Matematik 1. Editör Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Mantık, Kümeler ve Sayılar. Mérida - Venezuela: Yayın Konseyi, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. ve Soto, A. (1998). Sayı Teorisine Giriş. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Sayı teorisinin temel dersi. Kuzey Üniversitesi.
5. Cofré, A. ve Tapia, L. (1995). Matematiksel Mantıksal Akıl Yürütme Nasıl Geliştirilir. Üniversite Yayınevi.
6. Guevara, MH (nd). Sayılar Teorisi. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Sayı teorisi Editoryal Vision Libros.