EULER YÖNTEMI: NE IÇIN, PROSEDÜR VE EGZERSIZLER - MATEMATIK - 2025

Euler metodu sıradan bir diferansiyel denkleme yaklaşık sayısal çözümler bulmak için kullanılan en temel ve basit işlemleri olan başlangıç koşulu olarak bilinmesi şartıyla birinci dereceden,.

Sıradan bir diferansiyel denklem (ODE), tek bir bağımsız değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunu türevleriyle ilişkilendiren denklemdir.

Euler yöntemi ile ardışık yaklaşımlar. Kaynak: Oleg Alexandrov

Denklemde görünen en büyük türev birinci dereceden ise, o zaman birinci dereceden sıradan bir diferansiyel denklemdir.

Birinci dereceden bir denklem yazmanın en genel yolu şudur:

x = x ₀

y = y ₀

Euler'in yöntemi nedir?

Euler'in yönteminin fikri, X ₀ ve X _f arasındaki aralıkta diferansiyel denkleme sayısal bir çözüm bulmaktır .

İlk olarak, aralık n + 1 noktada ayrıştırılır:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Şu şekilde elde edilenler:
x _i = x ₀ + ih

H, alt aralıkların genişliği veya adımıdır:

Başlangıç ​​koşuluyla, türevi başlangıçta bilmek de mümkündür:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Bu türev, tam olarak bu noktada y (x) fonksiyonunun eğrisine teğet doğrunun eğimini temsil eder:

Ao = (x _o , y _o )

Ardından, aşağıdaki noktada y (x) fonksiyonunun değerinin yaklaşık bir tahmini yapılır:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Daha sonra çözümün bir sonraki yaklaşık noktası elde edilmiştir, bu da şuna karşılık gelir:

Bir ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Ardışık noktaları elde etmek için prosedür tekrarlanır

A ₂ , A ₃ …, x _n

Başlangıçta gösterilen şekilde mavi eğri diferansiyel denklemin kesin çözümünü temsil eder ve kırmızı eğri Euler prosedürü ile elde edilen ardışık yaklaşık noktaları temsil eder.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

I ) Diferansiyel denklem şöyle olsun:

Başlangıç ​​koşulu ile x = a = 0; ve _a = 1

Euler'in yöntemini kullanarak, aralığı n = 5 parçaya bölerek, X = b = 0.5 koordinatında y'nin yaklaşık bir çözümünü elde edin.

Çözüm

Sayısal sonuçlar şu şekilde özetlenmiştir:

Buradan, 0.5 değeri için Y çözümünün 1.4851 olduğu sonucuna varılmıştır.

Not: Hesaplamaları yapmak için ücretsiz kullanım için ücretsiz bir program olan Smath Studio kullanılmıştır.

Egzersiz 2

II ) Alıştırma I) 'deki diferansiyel denklemle devam ederek, kesin çözümü bulun ve bunu Euler'in yöntemiyle elde edilen sonuçla karşılaştırın. Kesin ve yaklaşık sonuç arasındaki hatayı veya farkı bulun.

Çözüm

Kesin çözümü bulmak çok zor değil. Sin (x) fonksiyonunun türevi, cos (x) fonksiyonu olarak bilinir. Bu nedenle, y (x) çözümü şöyle olacaktır:

y (x) = günah x + C

İlk koşulun karşılanması ve (0) = 1 olması için C sabiti 1'e eşit olmalıdır. Daha sonra kesin sonuç yaklaşık olanla karşılaştırılır:

Hesaplanan aralıkta, yaklaşımın üç önemli kesinlik rakamı olduğu sonucuna varılmıştır.

Egzersiz 3

III ) Aşağıda verilen diferansiyel denklemi ve başlangıç ​​koşullarını düşünün:

y '(x) = - y ²

Başlangıç ​​koşulu ile x ₀ = 0; ve ₀ = 1

X = aralığında y (x) çözümünün yaklaşık değerlerini bulmak için Euler'in yöntemini kullanın. H = 0.1 adımını kullanın.

Çözüm

Euler'in yöntemi bir elektronik tablo ile kullanım için çok uygundur. Bu durumda, ücretsiz ve açık kaynaklı bir program olan geogebra hesap tablosunu kullanacağız.

Şekildeki elektronik tablo, üç sütunu (A, B, C) gösterir, ilki x değişkenidir, ikinci sütun y değişkenini temsil eder ve üçüncü sütun y 'türevidir.

Satır 2, X, Y, Y 'başlangıç ​​değerlerini içerir.

Değer adımı 0.1, mutlak konum hücresine ($ D $ 4) yerleştirildi.

Y0'ın başlangıç ​​değeri B2 hücresindedir ve y1, B3 hücresindedir. Y _1'i hesaplamak için formül kullanılır:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Bu elektronik tablo formülü, Sayı B3: = B2 + $ D $ 4 * C3 olacaktır.

Benzer şekilde y2, B4 hücresinde olur ve formülü aşağıdaki şekilde gösterilir:

Şekil aynı zamanda kesin çözümün grafiğini ve Euler yöntemi ile yaklaşık çözümün A, B,…, P noktalarını gösterir.

Newton dinamikleri ve Euler yöntemi

Klasik dinamikler Isaac Newton (1643 - 1727) tarafından geliştirilmiştir. Leonard Euler'in (1707 - 1783) yöntemini geliştirmesindeki orijinal motivasyonu, tam olarak Newton'un ikinci yasasının denklemini çeşitli fiziksel durumlarda çözmekti.

Newton'un ikinci yasası genellikle ikinci derecenin diferansiyel denklemi olarak ifade edilir:

X, t anında bir nesnenin konumunu temsil eder. Söz konusu cisim m kütlesine sahiptir ve F kuvvetine maruz kalır. F fonksiyonu kuvvet ve kütle ile aşağıdaki gibi ilişkilidir:

Euler'in yöntemini uygulamak için t zamanı, v hızı ve x konumunun başlangıç ​​değerleri gereklidir.

Aşağıdaki tablo, t1, v1, x1 başlangıç ​​değerlerinden başlayarak, yaklaşık v2 hızından ve x2 pozisyonundan, t2 = t1 + Δt anında nasıl elde edilebileceğini açıklamaktadır; burada Δt, küçük bir artışı temsil eder ve aşağıdaki yöntemdeki adıma karşılık gelir. Euler.

Egzersiz 4

IV ) Mekanikteki temel problemlerden biri, elastik sabit K'nin bir yaya (veya yaya) bağlı M kütlesindeki bir bloğun sorunudur.

Newton'un bu problem için ikinci yasası şuna benzer:

Bu örnekte, basitlik için M = 1 ve K = 1 alacağız. Aralığı 12 parçaya bölerek, zaman aralığı üzerinde Euler yöntemi ile x konumu ve v hızı için yaklaşık çözümler bulun.

İlk an, başlangıç ​​hızı 0 ve ilk konum 1 olarak 0 alın.

Çözüm

Sayısal sonuçlar aşağıdaki tabloda gösterilmektedir:

0 ile 1.44 arasındaki konum ve hız grafikleri de görüntülenir.

Ev için önerilen egzersizler

1. Egzersiz

Diferansiyel denklem için Euler'in yöntemini kullanarak yaklaşık bir çözüm belirlemek için bir elektronik tablo kullanın:

y '= - x = 0, y = -1 başlangıç ​​koşullarıyla x = aralığında Exp (-y)

0.1 adımla başlayın. Sonucu çizin.

Egzersiz 2

Bir elektronik tablo kullanarak, aşağıdaki ikinci dereceden denklemin sayısal çözümlerini bulun; burada y, bağımsız değişken t'nin bir fonksiyonudur.

y '' = - 1 / y² başlangıç ​​koşulu t = 0; ve (0) = 0.5; y '(0) = 0

Çözümü 0,05 adımını kullanarak aralıkta bulun.

Sonucu çizin: y - t; y 'vs t

Referanslar

1. Eurler yöntemi wikipedia.org'dan alınmıştır.
2. Euler çözücü. En.smath.com'dan alınmıştır