TEORIK OLASILIK: NASIL ELDE EDILIR, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - DUDAS - 2025

Teorik (Kalkulus) olasılığı , P (E) = N (E): Bir olay e cereyan tüm olayların meydana gelme olasılığını aynı olduğu bir örnek alan S, aittir, matematiksel gösterimde tanımlanır / N (S)

P (E), n (E) olarak adlandırdığımız E olayının olası sonuçlarının toplam sayısının S örneklem uzayındaki olası sonuçların toplam N (S) sayısına bölünmesiyle elde edilen olasılıktır.

Şekil 1. Altı kenarlı bir zarın fırlatılmasında, üç noktalı kafanın üstte olma teorik olasılığı ⅙'dir. Kaynak: Pixabay.

Teorik olasılık, 0 ile 1 arasında gerçek bir sayıdır, ancak genellikle yüzde olarak ifade edilir, bu durumda olasılık% 0 ile% 100 arasında bir değer olacaktır.

Bir olayın meydana gelme olasılığını hesaplamak, ticaret, sigorta şirketleri, kumar ve daha pek çok alanda çok önemlidir.

Teorik olasılık nasıl elde edilir?

Örnek bir durum, çekilişler veya piyangolardır. Bir akıllı telefon çekilişi için 1.000 bilet verildiğini varsayalım. Çekiliş rastgele yapıldığından, biletlerden herhangi birinin kazanan olma şansı eşittir.

81 numaralı bilet alan bir kişinin kazanan olma olasılığını bulmak için aşağıdaki teorik olasılık hesaplaması yapılır:

P (1) = 1 / 1.000 = 0.001 =% 0.1

Yukarıdaki sonuç şu şekilde yorumlanır: eğer çekiliş sonsuz sayıda tekrar edildiyse, her 1.000 seferde bir 81 numaralı bilet ortalama bir kez seçilecektir.

Herhangi bir nedenle birisi tüm biletleri alırsa, ödülü kazanacağı kesindir. Tüm biletlere sahipseniz ödülü kazanma olasılığı şu şekilde hesaplanır:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 =% 100.

Yani% 1 veya% 100 olasılık, bu sonucun gerçekleşeceğinin tamamen kesin olduğu anlamına gelir.

Birinin 500 bileti varsa, kazanma ya da kaybetme şansı aynıdır. Bu durumda ödülü kazanmanın teorik olasılığı şu şekilde hesaplanır:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0.5 =% 50.

Bilet almayanın kazanma şansı yoktur ve teorik olasılığı şu şekilde belirlenir:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 =% 0

Örnekler

örnek 1

Bir yüzünüz ve diğer yüzünüzde kalkan veya mühür olan bir bozuk para var. Madeni para atıldığında, tura çıkma teorik olasılığı nedir?

P (yüz) = n (yüz) / N (yüz + kalkan) = ½ = 0,5 =% 50

Sonuç şu şekilde yorumlanır: Çok sayıda atış yapılırsa, ortalama olarak her 2 atışta bunlardan biri teker teker gelirdi.

Yüzde olarak, sonucun yorumlanması, sonsuz sayıda atışın yapılmasıyla, ortalama olarak 100'den 50'sinin kafalarla sonuçlanacağı şeklindedir.

Örnek 2

Bir kutuda 3 mavi bilye, 2 kırmızı bilye ve 1 yeşil vardır. Kutudan bir bilyeyi çıkardığınızda kırmızı olma ihtimali teorik olarak nedir?

Şekil 2. Renkli mermerlerin çıkarılma olasılığı. Kaynak: F. Zapata.

Kırmızı çıkma olasılığı:

P (kırmızı) = Olumlu vakaların sayısı / Olası vakaların sayısı

Demek ki:

P (kırmızı) = Kırmızı misket sayısı / Toplam misket sayısı

Son olarak, kırmızı bir bilye çekilme olasılığı:

P (kırmızı) = 2/6 = ⅓ = 0,333 =% 33,33

Yeşil bir bilye çekerken olasılığı:

P (yeşil) = ⅙ = 0.1666 =% 16.66

Son olarak, kör bir ekstraksiyonda mavi bilye elde etmenin teorik olasılığı şudur:

P (mavi) = 3/6 = ½ = 0,5 =% 50

Yani, çıkarılan mermerin değiştirildiği ve deneme sayısının çok çok fazla olduğu varsayımıyla, her 2 denemede bir sonuç, birinde mavi, başka bir denemede başka bir renk olacaktır.

Egzersizler

1. Egzersiz

Bir kalıbın yuvarlanmasının 4'e eşit veya daha küçük bir değer elde etme olasılığını belirleyin.

Çözüm

Bu olayın meydana gelme olasılığını hesaplamak için teorik olasılık tanımı uygulanacaktır:

P (≤4) = Olumlu vakaların sayısı / Olası vakaların sayısı

P (≤5) = 5/6 = =% 83,33

Egzersiz 2

Normal altı kenarlı bir zarın art arda iki atışında 5'in 2 kez yuvarlanma olasılığını bulun.

Çözüm

Bu alıştırmaya cevap vermek için, tüm olasılıkları gösteren bir tablo yapın. İlk rakam ilk kalıbın sonucunu ve ikincisi diğerinin sonucunu gösterir.

Teorik olasılığı hesaplamak için toplam olası vaka sayısını bilmemiz gerekir, bu durumda, önceki tablodan da görülebileceği gibi, 36 olasılık vardır.

Ayrıca tablo incelendiğinde, iki ardışık lansmanda 5'in çıkması olaya uygun vaka sayısının sadece 1, renkle vurgulanmış olduğu, dolayısıyla bu olayın meydana gelme olasılığının şu olduğu çıkarılabilir:

P (5x5) = 1/36.

Bu sonuca, iki bağımsız olayın birleşik olasılığının kendi bireysel olasılıklarının ürünü olduğunu belirten teorik olasılığın özelliklerinden biri kullanılarak da ulaşılabilir.

Bu durumda, ilk atışın 5 atma olasılığı is'dur. İkinci atış birinciden tamamen bağımsızdır, bu nedenle ikincide 5'in atılma olasılığı da ⅙'dir. Dolayısıyla, birleşik olasılık:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Egzersiz 3

İlk atışta 2'den küçük bir sayının, ikinci atışta 2'den büyük bir sayının yuvarlanma olasılığını bulun.

Çözüm

Yine, ilk atışın 2'den küçük ve ikincinin 2'den büyük olduğu olayların vurgulandığı olası olayların bir tablosu oluşturulmalıdır.

Toplamda 36 olasılıktan 4 olasılık vardır. Yani, bu olayın olasılığı:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 =% 11.11

Aşağıdaki olasılık teoremini kullanarak:

Aynı sonuç elde edilir:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 =% 11.11

Bu prosedürle elde edilen değer, olasılığın teorik veya klasik tanımı aracılığıyla önceki sonuçla örtüşür.

Egzersiz 4

İki zarı atarken değerlerin toplamının 7 olma olasılığı nedir?

Çözüm

Bu durumda çözümü bulmak için, değerlerin toplamının 7 olması koşulunu karşılayan durumların renkli olarak gösterildiği bir olasılıklar tablosu oluşturulmuştur.

Tabloya bakıldığında olası 6 durum sayılabilir, dolayısıyla olasılık şu şekildedir:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 =% 16,66

Referanslar

1. Canavos, G. 1988. Olasılık ve İstatistik: Uygulamalar ve yöntemler. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Olasılık ve Mühendislik ve Bilim için İstatistik. 8. Baskı. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Serisi: Olasılık. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Olasılık Teorisi. Editör Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Mühendislik ve Bilimler için Olasılık ve İstatistik. Pearson.