SAYMA TEKNIKLERI: TEKNIKLER, UYGULAMALAR, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - DUDAS - 2026

Sayma teknikleri kümesi içinde mümkün düzenlemeler veya nesnelerin birçok kümesi sayısını saymak için olasılık yöntemleri dizisidir. Bunlar, çok sayıda nesne ve / veya değişken nedeniyle hesapları manuel olarak yapmak karmaşık hale geldiğinde kullanılır.

Örneğin, bu sorunun çözümü çok basit: patronunuzun sizden son bir saat içinde gelen en son ürünleri saymanızı istediğini hayal edin. Bu durumda gidip ürünleri tek tek sayabilirsiniz.

Ancak, sorunun şu olduğunu hayal edin: patronunuz sizden son bir saatte gelenlerle aynı türden 5 üründen kaç grup oluşturulabileceğini saymanızı istiyor. Bu durumda hesaplama karmaşıktır. Bu tür durumlar için, sözde sayma teknikleri kullanılır.

Bu teknikler çeşitlidir, ancak en önemlileri çarpımsal ve toplamsal olmak üzere iki temel ilkeye ayrılır; permütasyonlar ve kombinasyonlar.

Çarpma ilkesi

Uygulamalar

Katkı maddesi ile birlikte çarpma ilkesi, sayma tekniklerinin işleyişini anlamak için temeldir. Çarpımsal durumunda, aşağıdakilerden oluşur:

Belirli sayıda adım içeren (toplamı "r" olarak işaretleriz), ilk adımın N1 yöntemleriyle, ikinci adımın N2'de ve "r" adımının Nr yollarıyla yapılabildiği bir aktivite hayal edelim. Bu durumda, etkinlik, bu işlemden kaynaklanan şekil sayısından gerçekleştirilebilir: N1 x N2 x ……… .x Nr şekiller

Bu nedenle bu ilkeye çarpımsal denir ve bu, faaliyeti gerçekleştirmek için gereken adımların her birinin birbiri ardına gerçekleştirilmesi gerektiği anlamına gelir.

Misal

Bir okul inşa etmek isteyen bir insan düşünelim. Bunu yapmak için, binanın tabanının çimento veya beton olmak üzere iki farklı şekilde inşa edilebileceğini düşünün. Duvarlara gelince kerpiç, çimento veya tuğladan yapılabilir.

Çatıya gelince çimento veya galvaniz sacdan yapılabilir. Son olarak, son resim ancak tek bir şekilde yapılabilir. Ortaya çıkan soru şudur: Okulu inşa etmek için kaç yolu vardır?

İlk olarak, taban, duvarlar, çatı ve boya olacak adımların sayısını ele alıyoruz. Toplamda 4 adım, yani r = 4.

Aşağıdakiler N'leri listelemek olacaktır:

N1 = tabanı oluşturmanın yolları = 2

N2 = duvarları inşa etme yolları = 3

N3 = çatı yapmanın yolları = 2

N4 = boyama yolları = 1

Bu nedenle, olası şekillerin sayısı, yukarıda açıklanan formül kullanılarak hesaplanacaktır:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 okul yolu.

Katkı ilkesi

Uygulamalar

Bu ilke çok basittir ve aynı faaliyeti yürütmek için birkaç alternatif olması durumunda, olası yolların tüm alternatifleri gerçekleştirmenin farklı olası yollarının toplamından oluşması gerçeğinden oluşur.

Diğer bir deyişle, ilk alternatifin M, ikincisi N ve sonuncunun W şeklinde yapılabildiği üç alternatifli bir etkinlik gerçekleştirmek istiyorsak, etkinlik şu şekilde yapılabilir: M + N + ……… + W şekilleri.

Misal

Bu sefer tenis raketi almak isteyen birini hayal edelim. Bunu yapmak için seçebileceğiniz üç markanız var: Wilson, Babolat veya Head.

Mağazaya gittiğinizde Wilson raketinin kulplu olarak L2 veya L3 olmak üzere dört farklı modelde iki farklı boyutta satın alınabileceğini ve askılı veya telsiz olabileceğini görüyorsunuz.

Babolat raketinin ise üç tutacağı (L1, L2 ve L3) vardır, iki farklı modeli vardır ve askılı veya telsiz de olabilir.

Baş raket, kendi payına, yalnızca bir tutamakla, L2, iki farklı modelde ve yalnızca telsiz olarak mevcuttur. Soru şu: Bu kişinin raketini almak için kaç yolu var?

M = Bir Wilson raketini seçmenin yolu sayısı

N = Bir Babolat raketini seçmenin yolu sayısı

W = Bir Head raket seçmenin yolu sayısı

Çarpan ilkesini uyguluyoruz:

M = 2 x 4 x 2 = 16 şekil

N = 3 x 2 x 2 = 12 yol

W = 1 x 2 x 1 = 2 yol

M + N + W = 16 + 12 + 2 = bir raket seçmenin 30 yolu.

Çarpım prensibini ve katkı maddesini ne zaman kullanacağınızı bilmek için, yalnızca faaliyetin gerçekleştirilmesi gereken bir dizi adım olup olmadığına ve birkaç alternatif varsa katkı maddesine bakmanız gerekir.

Permütasyonlar

Uygulamalar

Bir permütasyonun ne olduğunu anlamak için, bir kombinasyonun ne olduğunu açıklamak önemlidir, böylece onları ayırt edebilir ve ne zaman kullanacağınızı bilirsiniz.

Bir kombinasyon, her birinin işgal ettiği konumla ilgilenmediğimiz öğelerin bir düzenlemesi olacaktır.

Diğer yandan bir permütasyon, her birinin işgal ettiği konumla ilgilendiğimiz öğelerin bir düzenlemesi olacaktır.

Farkı daha iyi anlamak için bir örnek verelim.

Misal

35 öğrenciden oluşan ve aşağıdaki durumlara sahip bir sınıf düşünelim:

1. Öğretmen, öğrencilerinden üçünün sınıfı temiz tutmasına veya gerektiğinde diğer öğrencilere materyal dağıtmasına yardımcı olmalarını ister.
2. Öğretmen sınıf delegelerini (bir başkan, bir asistan ve bir finansçı) atamak ister.

Çözüm şu şekilde olacaktır:

1. Juan, María ve Lucia'nın oylamayla sınıfı temizlemek veya malzemeleri teslim etmek için seçildiğini hayal edelim. Açıktır ki, 35 olası öğrenci arasında başka üç kişilik gruplar da oluşturulabilirdi.

Kendimize şunu sormalıyız: Her öğrencinin sırası veya konumu onları seçerken önemli mi?

Düşünürsek, grup iki görevden eşit olarak sorumlu olacağı için gerçekten önemli olmadığını görürüz. Bu durumda, unsurların konumu ile ilgilenmediğimiz için bu bir kombinasyondur.

1. Şimdi Juan'ın başkan, Maria'nın asistan ve Lucia'nın finansör olarak seçildiğini hayal edelim.

Bu durumda sipariş önemli mi? Cevap evet, çünkü öğeleri değiştirirsek sonuç değişir. Yani, Juan'ı başkan olarak koymak yerine, onu asistan olarak ve Maria'yı da başkan olarak koyarsak, nihai sonuç değişirdi. Bu durumda bir permütasyondur.

Fark anlaşıldıktan sonra, permütasyonlar ve kombinasyonlar için formülleri elde edeceğiz. Ancak, önce "n!" Terimini tanımlamalıyız. (ene factorial), çünkü farklı formüllerde kullanılacaktır.

n! = 1'den n'ye kadar olan ürün.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Gerçek sayılarla kullanmak:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Permütasyon formülü aşağıdaki gibi olacaktır:

nPr = n! / (nr)!

Bununla, sıranın önemli olduğu ve n öğesinin nerede farklı olduğu düzenlemeleri bulabiliriz.

Kombinasyonlar

Uygulamalar

Daha önce yorumladığımız gibi kombinasyonlar, elementlerin konumunu önemsemediğimiz düzenlemelerdir.

Formülü aşağıdaki gibidir:

nCr = n! / (nr)! r!

Misal

Sınıfı temizlemek için gönüllü olmak isteyen 14 öğrenci varsa, her grubun 5 kişi olması gerekiyorsa kaç temizlik grubu oluşturulabilir?

Bu nedenle çözüm şu olacaktır:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupları

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Kaynak: Pixabay.com

Natalia, annesi tarafından bir markete gitmesi ve soğuması için ona soda alması istenir. Natalia katipten bir içecek istediğinde, ona üç çeşit ve üç boy olmak üzere dört çeşit meşrubat olduğunu söyler.

Alkolsüz içeceklerin aromaları kola, limon, portakal ve nane olabilir.

Kola türleri normal, şekersiz, kafeinsiz olabilir.

Boyutlar şunlar olabilir: küçük, orta ve büyük.

Natalia'nın annesi ne tür meşrubat istediğini belirtmedi. Natalia içeceği almak için kaç yol var?

Çözüm

M = Kolayı seçerken seçebileceğiniz boyut ve tip numarası.

N = Limonlu soda seçerken seçebileceğiniz boyut ve tip sayısı.

W = Portakallı sodayı seçerken seçebileceğiniz boyut ve tip numarası.

Y = Naneli sodanızı seçerken seçebileceğiniz boyut ve tip numarası.

Çarpan ilkesini uyguluyoruz:

M = 3 × 3 = 9 yol

N = 3 × 3 = 9 yol

W = 3 × 3 = 9 yol

Y = 3 × 3 = 9 yol

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = sodayı seçmenin 36 yolu.

Egzersiz 2

Kaynak: Pixabay.com

Bir spor kulübü, çocukların paten yapmayı öğrenmeleri için ücretsiz erişim atölyeleri sunar. 20 çocuk kayıtlıdır, bu yüzden onları on kişilik iki gruba ayırmaya karar verirler, böylece eğitmenler dersleri daha rahat öğretebilirler.

Buna karşılık, her çocuğun hangi gruba gireceğini çizmeye karar verirler. Bir çocuk kaç farklı gruba girebilir?

Çözüm

Bu durumda, bir cevap bulmanın yolu, formülü nCr = n! / (Nr)! R! Olan kombinasyon tekniğini kullanmaktır.

n = 20 (çocuk sayısı)

r = 10 (grup boyutu)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 grup.

Referanslar

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları", (Cilt 1), 3. Baskı, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Mantıksal temeller ve öznel olasılığın ölçümü". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean Joseph W. (2004). Matematiksel İstatistiğe Giriş (6. baskı). Upper Saddle Nehri: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Kanıt ve Olasılık Pascal'dan Önce, Johns Hopkins University Press.