YÖNETMEN VEKTÖRÜ: ÇIZGININ DENKLEMI, ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - FIZIKSEL - 2025

Yönetmen vektörü , düzlemde veya uzayda bir çizginin yönünü tanımlayan bir vektör olarak anlaşılır . Bu nedenle, çizgiye paralel bir vektör, onun yönlendirici vektörü olarak düşünülebilir.

Bu, iki noktanın bir çizgiyi tanımladığını söyleyen Öklid geometrisinin aksiyomu sayesinde mümkündür. Daha sonra bu iki noktanın oluşturduğu yönlendirilmiş parça, aynı zamanda söz konusu doğrunun bir yönlendirici vektörünü de tanımlar.

Şekil 1. Bir çizginin yönetici vektörü. (Kendi detaylandırma)

(L) çizgisine ait bir P noktası verildiğinde ve bu doğrunun bir yönlendirici vektörü u verildiğinde , doğru tamamen belirlenir.

Çizgi ve yönetmen vektörünün denklemi

Şekil 2. Çizgi ve yönetmen vektörünün denklemi. (Kendi detaylandırma)

P: (Xo, I) koordinatlarının bir P noktası ve (L) çizgisinin bir u vektörü verildiğinde, Q: (X, Y) koordinatlarının her Q noktası, PQ vektörünün u'ya paralel olduğunu sağlamalıdır. PQ u ile orantılıysa bu son koşul garanti edilir :

PQ = t⋅ u

Yukarıdaki ifadede t, gerçek sayılara ait bir parametredir.

PQ ve u'nun Kartezyen bileşenleri yazılırsa, yukarıdaki denklem aşağıdaki gibi yazılır:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Vektör eşitliğinin bileşenleri eşitlenirse, aşağıdaki denklem çifti elde edilir:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Doğrunun parametrik denklemi

Bir koordinat noktasından (Xo, Yo) geçen ve u = (a, b) yönlendirici vektörüne paralel olan çizgiye (L) ait bir noktanın X ve Y koordinatları , değişken parametresi t'ye gerçek değerler atanarak belirlenir:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

örnek 1

Doğrunun parametrik denkleminin anlamını göstermek için, yönlendirme vektörü olarak alıyoruz

u = (a, b) = (2, -1)

ve çizginin bilinen bir noktası olarak nokta

P = (Xo, I) = (1, 5).

Çizginin parametrik denklemi:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Bu denklemin anlamını göstermek için, t parametresinin değerinin değiştiği ve koordinatların Q noktasının (X, Y) doğru üzerinde farklı konumlar aldığı şekil 3 gösterilmiştir.

Şekil 3. PQ = t u. (Kendi detaylandırma)

Vektör biçimindeki çizgi

Doğrudaki bir P noktası ve onun yönetici vektörü u verildiğinde, doğrunun denklemi vektör formunda yazılabilir:

OQ = OP + λ⋅ u

Yukarıdaki denklemde, Q herhangi bir noktadır ancak doğruya aittir ve λ gerçek bir sayıdır.

Çizginin vektör denklemi herhangi bir sayıda boyuta uygulanabilir, hatta bir hiper çizgi tanımlanabilir.

Bir yönlendirici vektör u = (a, b, c) ve bir P = (Xo, Yo, Zo) noktası için üç boyutlu durumda , doğrunun bir genel noktası Q = (X, Y, Z) koordinatları şu şekildedir: :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Örnek 2

Yönlendirme vektörü olan doğruyu tekrar düşünün.

u = (a, b) = (2, -1)

ve çizginin bilinen bir noktası olarak nokta

P = (Xo, I) = (1, 5).

Söz konusu doğrunun vektör denklemi:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Çizgi ve yönetmen vektörünün sürekli formu

Parametrik formdan başlayarak, λ parametresini temizleyip eşitleyerek, elimizde:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Bu, çizginin denkleminin simetrik şeklidir. A, b ve c'nin yönetici vektörünün bileşenleri olduğuna dikkat edin.

Örnek 3

Yönlendirme vektörü olan doğruyu düşünün

u = (a, b) = (2, -1)

ve çizginin bilinen bir noktası olarak nokta

P = (Xo, I) = (1, 5). Simetrik şeklini bulun.

Çizginin simetrik veya sürekli formu:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Doğrunun denkleminin genel şekli

XY düzlemindeki doğrunun genel formu, aşağıdaki yapıya sahip denklem olarak bilinir:

A⋅X + B⋅Y = C

Simetrik formun ifadesi genel forma sahip olacak şekilde yeniden yazılabilir:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

çizginin genel şekli ile karşılaştırıldığında:

A = b, B = -a ve C = b⋅Xo - a⋅Yo

Örnek 3

Yönetici vektörü u = (2, -1) olan doğrunun genel şeklini bulun

ve bu P = (1, 5) noktasından geçer.

Genel formu bulmak için verilen formülleri kullanabiliriz, ancak alternatif bir yol seçilecektir.

U'nun bileşenlerini değiş tokuş edip saniyeyi -1 ile çarparak elde edilen vektör olarak tanımlanan, yönetici vektörü u'nun ikili vektörünü w bularak başlıyoruz:

w = (-1, -2)

ikili vektör w , yön veren vektör v'nin saat yönünde 90 ° dönüşüne karşılık gelir .

W ile (X, Y) ve (Xo, Yo) ile skaler olarak çarpıyoruz ve eşit ayarlıyoruz:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

nihayet kaldı:

X + 2Y = 11

Doğrunun denkleminin standart şekli

Aşağıdaki yapıya sahip olan XY düzlemindeki çizginin standart formu olarak bilinir:

Y = m⋅X + d

burada m eğimi ve d Y ekseni ile kesişmeyi temsil eder.

U = (a, b) yön vektörü verildiğinde, m eğimi b / a'dır.

Y d, X ve Y'yi bilinen Xo, I noktası için ikame ederek elde edilir:

Ben = (b / a) Xo + d.

Kısaca, m = b / a ve d = I - (b / a) Xo

Eğim m'nin, yönetmen vektörünün y bileşeni ile x bileşeni arasındaki bölüm olduğuna dikkat edin.

Örnek 4

Yönetici vektörü u = (2, -1) olan doğrunun standart biçimini bulun

ve bu P = (1, 5) noktasından geçer.

m = -½ ve d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Çözülmüş egzersizler

-1. Egzersiz

Düzlem (Π): X - Y + Z = 3 ve düzlem (Ω): 2X + Y = 1 ile kesişen (L) doğrusunun bir yönlendirici vektörünü bulun.

Sonra (L) doğrusunun denkleminin sürekli formunu yazın.

Çözüm

Düzlem (Ω) boşluk denkleminden Y: Y = 1 -2X

Sonra düzlemin denklemini (Π) değiştiririz:

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Sonra X'i parametrelendiririz, X = λ parametresini seçeriz.

Bu, çizginin aşağıdaki şekilde verilen bir vektör denklemine sahip olduğu anlamına gelir:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

şu şekilde yeniden yazılabilir:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

bununla u = (1, -2, -3) vektörünün (L) çizgisinin bir yönlendirme vektörü olduğu açıktır.

(L) çizgisinin sürekli formu:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

Egzersiz 2

5X + a Y + 4Z = 5 düzlemi verildiğinde

ve denklemi X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2) olan doğru

Düzlem ve doğru paralel olacak şekilde a'nın değerini belirleyin.

2.Çözüm

Vektör , n = (5 a, 4) düzlemine dik bir vektördür.

Vektör U = (1, 3, -2) hattının bir yönlendirme vektörüdür.

Çizgi düzleme paralelse, n • v = 0 olur.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referanslar

1. Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs Öncesi Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Lineer Cebir. Pearson Education.
3. Leal, JM ve Viloria, NG (2005). Düzlem Analitik Geometri. Mérida - Venezuela: Editoryal Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektörler. Kurtuluş: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Ön hesaplama. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Temel Geometri Kavramları. Rowman ve Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Ön hesaplama. Pearson Education.