OLASILIK AKSIYOMLARI: TÜRLER, AÇIKLAMA, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - DUDAS - 2025

İhtimal aksiyomları liyakat kanıtı yok olasılık teorisi, atıfta matematiksel önermeler vardır. Aksiyomlar, 1933 yılında Rus matematikçi Andrei Kolmogorov (1903-1987) tarafından Olasılık Teorisinin Temelleri adlı eserinde oluşturulmuş ve olasılığın matematiksel çalışmasının temellerini atmıştır.

Belirli bir rasgele deney gerçekleştirirken ξ, örnek alanı E, deneylerin tüm olası sonuçlarının kümesidir, aynı zamanda olaylar da denir. Herhangi bir olay, A olarak gösterilir ve P (A), meydana gelme olasılığıdır. Sonra Kolmogorov şunu tespit etti:

Şekil 1. Olasılık aksiyomları, rulet gibi şans oyunlarına çarpma olasılığını hesaplamamıza izin verir. Kaynak: Pixabay.

- Aksiyom 1 (negatif olmama) : Herhangi bir A olayının meydana gelme olasılığı her zaman pozitif veya sıfırdır, P (A) ≥0. Bir olayın olasılığı 0 olduğunda buna imkansız olay denir.

- Aksiyom 2 (kesinlik) : E'ye ait herhangi bir olay olduğunda, meydana gelme olasılığı 1'dir ve bunu P (E) = 1 olarak ifade edebiliriz. Bu belirli bir olay olarak bilinir, çünkü bir deney yaparken kesinlikle bir sonuç vardır.

- Aksiyom 3 (toplama) : A ₁ , A ₂ , A ₃ … olarak adlandırılan iki veya daha fazla uyumsuz olay durumunda, A ₁ artı A ₂ artı A ₃ olayının meydana gelme olasılığı vb. ardışık olarak, her birinin ayrı ayrı olma olasılıklarının toplamıdır.

Bu şu şekilde ifade edilir: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Şekil 2. Aksiyomatik olasılığın temellerini atan dikkate değer Rus matematikçi Andrei Kolmogorov (1903-1987). Kaynak: Wikimedia Commons.

Misal

Olasılık aksiyomları, çok sayıda uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin:

Havaya bir raptiye veya raptiye atılır ve yere düştüğünde, nokta yukarı (U) veya aşağı (D) ile iniş seçeneği vardır (diğer olasılıkları dikkate almayacağız). Bu deney için örnek alan bu olaylardan oluşur, ardından E = {U, D}.

Şekil 3. Puntayı atma deneyinde, farklı olasılıklara sahip iki olay vardır: nokta yukarı veya yere doğru iniş. Kaynak: Pixabay.

Aksiyomları uygulayarak sahip olduğumuz:

Yukarı veya aşağı inme olasılığı eşitse, P (U) = P (D) = ½ (Aksiyom 1). Bununla birlikte, raptiyenin yapısı ve tasarımı, bir şekilde düşme olasılığını artırabilir. Örneğin, P (U) = ¾ iken P (D) = ¼ (Aksiyom 1) olabilir.

Her iki durumda da olasılıkların toplamının 1 verdiğine dikkat edin. Ancak aksiyomlar olasılıkların nasıl tayin edileceğini göstermez, en azından tamamen değil. Ancak 0 ile 1 arasında sayılar olduklarını ve bu durumda olduğu gibi hepsinin toplamının 1 olduğunu belirtirler.

Olasılık atamanın yolları

Olasılık aksiyomları, olasılık değerini atamanın bir yöntemi değildir. Bunun için aksiyomlarla uyumlu üç seçenek vardır:

Laplace kuralı

Her olaya aynı olma olasılığı atanır, ardından gerçekleşme olasılığı şu şekilde tanımlanır:

Örneğin, bir Fransız kart destesinden as çekme olasılığı nedir? Destede her renkten 13'er olmak üzere 52 kart vardır ve 4 takım vardır. Her renkte 1 as vardır, yani toplamda 4 as vardır:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Laplace kuralı, her olayın eşit derecede olası olduğu sonlu örnek uzaylarla sınırlıdır.

Göreceli frekans

Yöntem çok sayıda tekrar yapmaya dayandığından, burada deney tekrarlanabilir olmalıdır.

N'nin belirli bir A olayının meydana gelme sayısı olduğunu bulduğumuz ξ deneyinin tekrarlarını yapalım, sonra bu olayın meydana gelme olasılığı:

P (A) = lim _{ben → ∞} (n / i)

N / i, bir olayın göreceli sıklığıdır.

P (A) 'nın bu şekilde tanımlanması, Kolmogorov'un aksiyomlarını tatmin eder, ancak olasılığın uygun olması için birçok testin gerçekleştirilmesi dezavantajına sahiptir.

Öznel yöntem

Bir kişi veya bir grup insan, kendi yargılarıyla bir olaya olasılık atamayı kabul edebilir. Bu yöntemin dezavantajı, farklı kişilerin aynı olaya farklı olasılıklar atayabilmesidir.

Egzersiz çözüldü

Aynı anda 3 dürüst madeni para atma deneyinde, açıklanan olayların olasılıklarını elde edin:

a) 2 kafa ve bir kuyruk.

b) 1 kafa ve iki kuyruk

c) 3 haç.

d) En az 1 yüz.

Çözüm

Başlar C ve kuyruklar X ile gösterilir. Ancak iki tura ve bir kuyruk almanın birkaç yolu vardır. Örneğin, ilk iki jeton tura atabilir ve üçüncüsü yazı yazabilir. Veya birincisi tura, ikinci kuyruk ve üçüncü tura düşebilir. Ve son olarak, ilk yazı ve kalan yazı olabilir.

Soruları cevaplamak için ağaç diyagramı veya olasılık ağacı adı verilen bir araçta açıklanan tüm olasılıkları bilmek gerekir:

Şekil 4. Üç dürüst bozuk paranın aynı anda atılması için ağaç diyagramı. Kaynak: F. Zapata.

Herhangi bir madalyonun tura çıkma olasılığı ½'dir, aynı durum yazı için de geçerlidir çünkü madeni para dürüsttür. Sağdaki sütun, atışın sahip olduğu tüm olasılıkları, yani örnek alanı listeler.

Örnek uzaydan, istenen olaya yanıt veren kombinasyonlar seçilir, çünkü yüzlerin görünme sırası önemli değildir. Üç olumlu olay vardır: CCX, CXC ve XCC. Her olayın gerçekleşme olasılığı:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Aynısı CXC ve XCC olayları için de olur, her birinin gerçekleşme olasılığı 1/8'dir. Bu nedenle, tam olarak 2 tura çıkma olasılığı, tüm olumlu olayların olasılıklarının toplamıdır:

P (2 taraflı) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Çözüm b

Tam olarak iki çarpının oluşma olasılığını bulmak, öncekine benzer bir problemdir, ayrıca örnek uzaydan alınan üç olumlu olay vardır: CXX, XCX ve XXC. Böylece:

P (2 çarpı) = 3/8 = 0.375

Çözüm c

Sezgisel olarak, 3 yazı (veya 3 yazı) alma olasılığının daha düşük olduğunu biliyoruz. Bu durumda, aranan olay, sağ sütunun sonunda, olasılığı:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

Çözüm d

En az 1 yüz elde edilmesi istenir, yani 3 yüz, 2 yüz veya 1 yüz çıkabilir. Bununla uyumsuz olan tek olay, olasılığı 0.125 olan 3 kuyruğun çıkmasıdır. Bu nedenle aranan olasılık şudur:

P (en az 1 kafa) = 1 - 0.125 = 0.875.

Referanslar

1. Canavos, G. 1988. Olasılık ve İstatistik: Uygulamalar ve yöntemler. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Olasılık ve Mühendislik ve Bilim için İstatistik. 8. Baskı. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Serisi: Olasılık. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Olasılık Teorisi. Editör Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Mühendislik ve Bilimler için Olasılık ve İstatistik. Pearson.